Continuité et semi­continuité

Commençons par définir formellement les fonctions multiformes, et les premières généralisations au cas multiforme des concepts habituels relatifs aux fonctions.

Définition 4.2.1. Soient X, Y deux espaces topologiques.

(i) Une multifonction de X vers Y est une fonction K : X ­> n(Y). On dit aussi que K est une fonction multiforme de X vers Y.

(ii) L'image par K d'un sous-ensemble F Ç X est l'ensemble K(E) := (J K(x).

xeE

(iii) Le graphe de K est l'ensemble Gr(K) :— {(x, y) E X x Y :y E K(x)}.

Dans le cas où Y est un espace métrique, une multifonction n'est, à toutes fins pratiques, rien d'autre qu'une fonction vers un espace que l'on peut munir de la métrique de Hausdorff. Il est donc naturel de définir (comme on le fera) la continuité d'une multifonction en utilisant cette métrique, puisqu'elle préserve la structure topologique de l'espace Y. Or, la métrique de Hausdorff est le maximum entre deux quantités (voir la définition 4.1.5) et il peut arriver (comme il nous arrivera!) que seulement l'une de celles-ci soit intéressante dans l'étude d'une multifonction donnée. Comme dans le cas des fonctions habituelles, on dira alors qu'on s'intéresse à la semi-continuité de la multifonction, et c'est ce qui nous conduit à la définition suivante :

Définition 4.2.2. Soient X un espace topologique, Y un espace métrique et K une multifonction de X vers Y. Fixons x G X et soit 5H comme dans la définition 4.1.2,

défini sur l'espace K(Y). Alors on dira que K est :

(i) semi-continue inférieurement (ou s.c.i.) en x si, pour toute suite (xn)n(:N Ç X

telle que xn —r x, on a ÔH(K(X), K(xn)) —> 0.

(ii) semi-continue supérieurement (ou s.es.) en x si, pour toute suite (x„)neN Ç X

telle que xn —> x, on a ÔH(K(xn), K(x)) —> 0.

(iii) continue en x, si K est à la fois semi-continue inférieurement et supérieurement en x.

Si, pour tout x G X, K est s.c.i., s.es. ou continue en x, alors on dira que K est, respectivement, s.c.i., s.c.s. ou continue sur X.

Il est de mise de présenter au lecteur une interprétation géométrique des multi- fonctions semi-continues qui permettrait de justifier l'emploi des termes « inférieure- ment » et « supérieurement ». Soit donc K une multifonction de X vers Y. Fixons une suite (xra)n6N Ç X qui converge vers un certain x G X et supposons que la suite

{K(xn))n e n de compacts dans Y admette une sous-suite qui converge, au sens de la

distance de Hausdorff, vers un certain compact H.I V En utilisant l'inégalité triangu-

laire du théorème 4.1.4, on obtient aisément que si K est semi-continue inférieurement en x, alors K(x) Ç H. L'ensemble K(x) est donc inférieur à toute limite éventuelle des images des xn. De même, si K est semi-continue supérieurement en x, on aura alors que

H Ç K(x) et donc que K(x) est supérieur à toute limite éventuelle des mêmes images.

IV. Une telle sous-suite existera assurément, par exemple, si Y est compact. Voir la discussion suivant la définition 4.1.5.

Les deux sous-sections qui suivent présentent, pour leur part, des interprétations topologiques des multifonctions semi-continues inférieurement et supérieurement.

4.2.1 Semi-continuité supérieure

Les multifonctions semi-continues supérieurement sont essentiellement celles dont le graphe est fermé. C'est ce que raconte le théorème suivant.

Théorème 4.2.3. Soit K une multifonction de X vers Y et soit d la métrique sur Y. Alors :

(i) Si K est s.es. sur X, alors Gr(K) est fermé dans X x Y.

(ii) Si C Ç X est compact et K est s.es. sur X, alors K(C) est compact.

(iii) Si Gr(K) est fermé dans X x Y, et s'il existe C Ç Y" compact tel que K(X) Ç C, alors K est s. es. sur X.

Démonstration.

(i) Soit ((xn,yn))n e N Ç Gr(K) et (x,y) G X x Y tels que xn ->• x et yn ->• y et

supposons K s.es. On veut montrer que (x, y) G Gr(K). Soit e > 0, et choisissons un n tel que

d(yn, y) < e/2 et 5H(K(xn), K(x)) < «s/2.

Alors, en utilisant l'inégalité triangulaire du théorème 4.1.4, on a dist(y,K(x)) = 8H({y},K(x))

< 8H({y}, {yn}) + 8H({yn}, K(xn)) + 6H(K(xn), K(x))

= d(y, yn) + dist(y„, K(xn)) + 5H(K(xn), K(x))

< e/2 + 0 + e/2 = e.

Comme cela fonctionne pour tout e > 0, on conclut que dist(y, K(x)) = 0. Comme K(x) est compact, on a donc y G K(x).

(ii) Supposons K s.es. et soit (yn)neN une suite dans K(C). Montrons que cette suite

admet une sous-suite convergente. Pour tout n, comme yn G K(C), alors il existe

xn E C tel que yn G K(xn). Puisque C est compact, alors la suite (xn)n e N admet

une sous-suite, disons ( xn) je N, qui converge vers un certain x E C.

Or, pour tout j , puisque ynj G K(xn j), on a dist(ynj, K(x)) < 8H(K{xnj),K(x)),

Donc, si on fixe e > 0. il existe un N E N tel que pour tout j > N, il existe Zj G K(x) avec d(ynj,Zj) < e/2.

Enfin, comme K(x) est compact, cette dernière suite admet elle-même une sous- suite, disons (zjJfceN qui converge vers un certain y G K(x). Pour k assez grand, on a alors

d{ynjk,y) < d(ynjk,zjk) + d{zjk,y) < e/2 + e/2 = e,

d'où que la suite (ynj )k €^ converge vers y, comme voulu.

(iii) Soit (:r„)neN Ç X et x E X tels que xn —> x. On veut montrer qu'on a alors

8H(K(xn), K(x)) —>• 0 en procédant par contradiction. Supposons donc qu'il y ait

un e > 0 pour lequel il existe une sous-suite (xnj)j(zN telle que, pour tout j , il

existe yj G K(xn j) avec dist(?/j, K(x)) > e.

Comme la suite (yj)j€^ se trouve dans le compact C, alors elle admet une sous-

suite, disons (yjk)keN, qui converge vers un certain y G C. De plus, pour tout k,

le point (xnj ,yjk) se trouve dans Gv(K), et comme cet ensemble est fermé, on

déduit que (x, y) G Gr(K), c'est-à-dire que y G K(x).

Donc, pour tout k, on a d\st(yjk, K(x)) < d(yjk,y). Comme cette dernière quantité

converge vers 0, c'est une contradiction.

D

La propriété du graphe fermé étant géométriquement très parlante, il sera toujours intéressant de considérer des multifonctions qui la satisfont. Comme elle est équiva- lente à la semi-continuité supérieure dans le cas où l'espace Y est compact (et c'est le terrain sur lequel on se trouvera par la suite), il sera naturel, lorsqu'on rencontrera une multifonction qui n'est pas s.es, de s'interroger sur ce qu'il adviendrait si jamais elle le devenait. On s'intéresse en fait à la multifonction s.es la plus semblable à une multifonction K originale. C'est ainsi qu'on définit l'objet suivant :

Définition 4.2.4. Soit K une multifonction de X vers Y telle que K(X) soit contenu dans un compact, et supposons X muni d'une métrique d. La régularisation semi- continue supérieurement de K est la multifonction K* allant de X vers Y définie par :

K\x) := f) IJ K(w).

r > 0 w € X d(w,x)<r

Le lecteur avisé n'aura nulle peine à trouver des justifications pour l'appellation formulée à la définition 4.2.4. En effet, ce lecteur constatera que Gr(K*) = Gr(K) et déduira, du théorème 4.2.3, que puisque K{X) se trouve dans un compact, alors K* est la plus petite multifonction s.es. qui contient K. Bien sûr, dans le cas où K(X) n'est pas contenu dans un compact, rien ne garantit a priori que K* sera une multifonction

s.es., et il faudrait donc peut-être lui prévaloir un nom comme « l'adhérence de K » ou un autre nom de nature topologique évoquant la relation Gr(K*) = G T ( K ) . Or, le

problème est que, dans le cas général, rien ne garantit même l'existence d'une multifonc- tion s.es. dont le graphe contienne celui d'une multifonction de départ K quelconque. Dans les cas où de telles multifonctions existent, toutefois, le même lecteur avisé consta- tera, en se servant toujours du théorème 4.2.3, que la plus petite d'entre elles coïncide avec K*. Par ailleurs, rien ne garantit même que l'objet K* de la définition 4.2.4 sera une multifonction, si K(X) n'est pas contenu dans un compact : il pourrait arriver que, pour certains x, l'ensemble K*(x) ne soit pas un compact! On s'abstiendra donc prudemment de définir K* dans le cas général, comme le veut la littérature sur le sujet (voir, par exemple, [BR]), dans laquelle K* est généralement utilisé comme outil pour étudier des multifonctions qui prennent leurs valeurs dans C ou une région bornée de C, de la même façon qu'il en sera fait usage dans la suite de ce mémoire.

4.2.2 Semi-continuité inférieure

Pour ce qui a trait à donner une intuition topologique des multifonctions semi- continues inférieurement, elles sont telles que chacun des points qui les composent se trouve à être un point limite d'une certaine suite pigée dans les images avoisinantes. C'est ce que raconte le théorème suivant.

Théorème 4.2.5. Soit K une multifonction de X vers Y et soit d la métrique sur Y. Fixons x G X. Alors K est semi-continue inférieurement en x si et seulement si, pour toute suite (xn)neN telle que xn —> x et pour tout ouvert V tel que V fl K(x) ^ 0 , il

existe un m EN tel que, pour tout n > m, on a V D K(xn) ^ 0 .

Démonstration. Supposons d'abord K semi-continue inférieurement en x, et fixons un ouvert V tel que V fl K(x) ^ 0. Prenons un y G V C\ K(x), et soit e > 0 tel que le e-voisinage de y soit contenu dans V. Puisque K est s.c.i. en x, il existe m G N tel que pour tout n > m, on a 8H{K(X), K(xn)) < e. Or, pour ces mêmes n, puisque

dist(y,K(xn)) < 8H{K(x),K(xn)), il existe donc un yn G K(xn) tel que d(y,yn) < e.

On a donc yn G V C\ K(xn), d'où que V n K(xn) ^ 0 .

Dans la direction réciproque, supposons la conclusion du dernier paragraphe sa- tisfaite, fixons e > 0 et cherchons un m G N tel que, pour tout n > m, on ait

8 H ( K ( X ) , K(xn)) < e. L'ensemble K(x) étant compact, on peut le recouvrir par un

nombre fini de boules ouvertes de rayon e/2, disons B\, B2, . . . , BN, centrées respec-

tivement en yi,y2,.-.,yN G K(x). Or, par hypothèse, pour tout k G { 1 , 2 , . . . , N } , il

dist(yk,K(xn)) < e/2 pour tout k et n > mk. Posons m := max{mi,m2, -.. , m ^ } .

Alors pour tout y G K(x), puisque les boules Bk recouvrent complètement K(x), il

existe un certain k tel que d(y,yk) < e/2. Par l'inégalité triangulaire (théorème 4.1.4),

on a donc que, pour tout n > ra,

d\st(y, K(xn)) < d(y, yk) + d\st(yk, K(xn)) < e.

En prenant le supremum sur tous les y G K(x), on obtient la conclusion recherchée. D