Une intersection de la bonne chose

Revenons à la preuve du théorème 6.1.1 afin de tenter de trouver une autre façon de généraliser celle-ci aux suites bornées de polynômes. De façon idéale, notre but serait

de caractériser localement J(X) comme étant quelque chose de la forme

JW = U M*).

neN

où chaque «/„ est une multifonction méromorphe continue, en vue d'appliquer le théo­ rème 5.2.11. À défaut de savoir comment le faire, on peut tout de même invoquer le théorème 3.4.2, qui nous fournit presque la forme désirée. Il nous informe, en effet, que pour tout A0 G U, il existe un voisinage ouvert V de Xo sur lequel

j(x) = n MA),

neN où chaque Ln est de la forme voulue, c'est­à­dire :

Ln(X):= IJ F^k{a,b},

k>n

pour n'importe quels a ^ b tels que |a| = \b\ =: R, où R est un rayon d'échappement commun à tous les A G V (par le lemme 6.2.2). Sachant, par le théorème 5.2.9, que les multifonctions méromorphes sont stables sous l'intersection monotone dénombrable, on peut donc espérer tirer des conclusions intéressantes à propos de J . Mais d'abord faut­il voir à quel point les multifonctions Ln sont véritablement convenables, et c'est

l'objet de la prochaine proposition.

Proposition 6.3.3. Soit n E N et soit Ln définie comme plus haut sur un voisinage

ouvert V d'un A0 G U. Alors :

(i) Ln est une multifonction méromorphe sur V,

(ii) dLn(X) Ç Ln(X) pour tout X E V \ En, où En est un ensemble polaire,

(iii) L*n(X) = Ln(X) pour tout X dans un Gs dense dans V.

Démonstration. Notons d'abord que pour tout k > n, on a :

FxZ1k{a,b} = { z E C : F x ;k( z ) E { a , b } } .

Par le théorème 5.2.7, la multifonction A y­> FX;l{a,b} est donc méromorphe sur V, et

continue puisqu'il s'agit de l'image inverse d'un polynôme. La conclusion suit donc en

appliquant le théorème 5.2.11. D

Ainsi, ce ne sont pas les multifonctions Ln qui sont méromorphes sur V, mais bien

leurs régularisations semi­continues supérieurement, L*. Ce sont donc à ces dernières qu'on souhaiterait appliquer l'intersection dénombrable, ce qui est faisable puisqu'on a L\ ^ L*2 3 L*. D ­ ■ ■. Pom A G V, on pose donc :

L(X) := Q K(X).

Avant d'établir, au prochain théorème, les propriétés qui nous intéressent particulière- ment à propos de la multifonction L, on a besoin d'un lemme.

Lemme 6.3.4. Soit L définie comme plus haut, sur un voisinage ouvert V d'un Xo G U. Alors pour tout X E V, on a L(X) Ç K(X).

Démonstration. Soit R le rayon d'échappement considéré dans la construction de L. Pour tout n G N et A G V, on a que

k>n k>n

Or, par la discussion suivant le théorème 3.4.3, on sait que

FA-„(DH) 2 FA-„+i(lfl) 2 FX- ^2( D R ) D - - - ,

d'où il suit que Ln(X) Ç FX.^(IS)R). Il en va donc de même de Ln(X), par minimalité.

Ainsi, en appliquant le théorème 3.4.3, on obtient :

LW= n^(A)ç n **»(©*)=*w

neN neN

D

Théorème 6.3.5. Soit L définie comme plus haut, sur un voisinage ouvert V d'un A0 G U. Alors :

(i) L est une multifonction méromorphe sur V,

(ii) dL(X) Ç jr(A) pour tout X G V \ E, où E est un ensemble polaire, (iii) L(X) = J(X) pour tout X dans un Gs dense dans V.

Démonstration.

(i) Chaque Ln est méromorphe sur V par la proposition 6.3.3, et le résultat suit donc

en appliquant la partie (ii) du théorème 5.2.9.

(ii) Par le théorème 6.3.3, pour tout n G N, il existe un ensemble polaire Fn tel

que pour tout A G V \ En, on a dL*n(X) Ç Ln(A). Posons F :— UneN-En- Par la

proposition 5.1.8, F est un ensemble polaire. On sait de plus que pour tout n G N et A G V \ F, on a dLn(A) Ç Ln(A). Montrons qu'on a également dL(X) Ç J(X)

sur V \ E.

Fixons donc A G V \ F e t z G dL(X) puis supposons, pour obtenir une contra- diction, qu'on a z 0 J(X). Donc z se trouve dans l'ensemble de Fatou .F(A) de la suite PA et puisque dL(X) Ç L(X) Ç K(X) (Lemme 6.3.4), on a z G" A»(A),

le bassin d'attraction à l'infini de PA. C'est donc dire que z se trouve dans une

composante connexe bornée, disons C, de F(A).

Puisque pour tout n G N on a Ln(A) C .Aoo(A), alors C n L„(A) = 0 . Ainsi, pour

tout n, ou bien C fl Ln(X) = 0 également, ou bien C intersecte Ln(X), ce qui

impliquerait, puisque dLn(X) Ç Ln(A), que C Ç Ln(X).

Donc, s'il advenait que la première de ces deux éventualités se produise pour un certain n, on aurait :

C n L ( A ) = n ( C n L ; ( A ) ) = 0, neN

et ce serait une contradiction avec le fait que z G C fl L(X). C'est donc que la seconde éventualité se produit à chaque fois, ce qui entraîne que C Ç L(A). Or, puisque C est ouvert, ceci contredit le fait que z G dL(X).

(iii) Par la proposition 6.3.3, on sait que pour tout n G N, on a Ln(X) = Ln(X) pour

tout A G An, où An est un Gs dense dans V. En appliquant la proposition 5.1.6

ainsi que le théorème de Baire [Mas, Théorème 7.5], on trouve que l'ensemble A := flneN An est également un Gs dense dans V. Or, pour A G A et n G N, on a

L*(A) = Ln(X). Donc

L(X) = f) Ln(X) = Q Ln(X) = J(X).

neN neN

D

On observe, en scrutant l'énoncé du théorème 6.3.5, que la multifonction L possède exactement les propriétés qu'on cherchait à démontrer à propos de J * en formulant la conjecture 6.3.1. Or, en comparant les définitions de L et de J*, on ne peut s'empêcher de remarquer à quel point elles sont peu étrangères :

J* = ( f ) Lny , L = f)(Ln).

neN neN

En bref, J * est obtenue en prenant d'abord l'intersection des Ln, puis en régularisant,

alors que L est obtenue en régularisant d'abord les Ln, puis en prenant l'intersection

dénombrable. Il n'est donc pas idiot de croire que, peut-être, dans ce cas-ci, les deux multifonctions pourraient coïncider. Si tel était le cas, la conjecture 6.3.1 serait alors équivalente au théorème 6.3.5 qu'on vient de démontrer (à quelques arguments topolo- giques près, en vue de rendre le résultat global). Ceci conduit à la prochaine question. Question 3. Est-ce que L = J * l

Théorème 6.3.6. Soit L définie comme plus haut, sur un voisinage ouvert V d'un A0 G U. Alors pour tout X E V , on a J*(X) Ç L(A).

Démonstration. Pour tout n G N et A G V, on a Ln(X) Ç L*(A). Donc

J(X) = f| Ln(X) Ç f) Ln(X) = L(X).

neN neN

Or, comme L est semi-continue supérieurement par le théorème 6.3.5, il suit de la

minimalité de J * que J*(X) Ç L(A), pour tout A G V. D

On peut immédiatement déduire la partie (iii) de la conjecture 6.3.1.

Corollaire 6.3.7. Soit U Q C ouvert et (Px)xeu u n e famille analytique de suites

bornées de polynômes. Alors il existe un ensemble A de type Gs dense dans U tel que, pour tout X E A, on ait J(X) = J*(X).

Démonstration. Il suffit de démontrer le résultat localement, le cas global suivant de la même manière qu'au théorème 6.1.1. Soit donc A0 G U et soit V un voisinage ouvert

de Ao sur lequel L est définie. Par la partie (iii) du théorème 6.3.5, il existe un ensemble A de type Gs dense dans V tel que pour tout A G A, on a L(X) = J(X). En appliquant le théorème 6.3.6, on déduit que pour tout A G A, on a

MA) = J(X) ç J'(X) ç MA).

Donc, MA) = J(X) = J*(X) sur A. D