Pr´esentation du mod`ele unidimensionnel

2.2.1 G´eom´etrie et notations

Dans cette partie un mod`ele analytique unidimensionnel est d´evelopp´e pour calculer les distributions de contraintes r´esultant des chargements hygro-thermom´ecaniques coupl´es dans une structure form´ee par 5 couches ; trois couches de substrat assembl´ees au moyen de deux couches de colle adh´esive (FIGURE 2.1). Elle repr´esente l’application d’une r´eparation struc-turale par collage de patch.

FIGURE2.1 – (a) R´eparation structurale par collage de patch (b) mod´elisation de la structure multi-couches par les param`etres hygro-thermom´ecaniques et g´eom´etriques.

Les couches adh´erentes sont mod´elis´ees par les param`etres hygro-thermom´ecanique alors que les couches de colle sont mod´elis´ees seulement par le module de cisaillement. Les nota-tions suivantes sont utilis´ees :

- La longueur de recouvrement selon la direction x est not´eeL_x, -h1,h2 eth3 sont les ´epaisseurs des adh´erents,

- L’´epaisseur de chaque couche de colle est not´ee parha1 etha2,

-E_1x,E_2x etE_3x repr´esentent les modules d’Young de chaque substrat dans la direction lon-gitudinale (X),

-Ga₁etGa₂repr´esentent les modules de cisaillement de chaque couche de colle,

-α1x, α2x,α3x repr´esentent les coefficients de dilatation thermique de chaque substrat selon l’axeX,

- β_1x, β_2x, β_3x repr´esentent les coefficients de dilatation hydrique de chaque substrat selon l’axeX.

2.2.2 Hypoth`eses du probl`eme

Le mod`ele d´ecrit dans cette partie est d´evelopp´e en se basant sur la loi de comportement

´elastique lin´eaire des mat´eriaux de chaque couche de la structure ´etudi´ee. Les mat´eriaux des adh´erents sont suppos´es isotropes dans le plan transversalY Z.

La structure est suppos´ee suffisamment rigide pour empˆecher les ph´enom`enes de flexion, cette hypoth`ese est prise comme une premi`ere approche et peut ˆetre int´egr´ee `a l’avenir pour enrichir le mod`ele et tenir compte du moment de flexion g´en´er´e dans la structure. Par cons´equence, les couches repr´esentatives des adh´erents ne sont soumises actuellement qu’`a des chargements dans la direction longitudinale (suivant l’axeX).

L’adh´esion est consid´er´ee parfaite, les calculs seront fait avec l’hypoth`ese des petites d´eformations

FIGURE 2.2 – Le m´ecanisme de d´eformation d’une structure multi-couche sous l’effet ther-mique∆T et hydrique∆C(a) avant d´eformations (b) apr`es d´eformations.

Il en r´esulte que les contraintes normales g´en´er´ees au niveau des trois mat´eriaux adh´erents ne d´ependent que de la directionX (mod`ele unidimensionnel) et elles sont not´ees parσ1x, σ2x et σ3x. Les adh´esifs travaillent seulement en cisaillement plan et les contraintes ainsi g´en´er´ees dans chaque adh´esif sont not´ees par τ<sub>1xz</sub><sup>a</sup> et τ<sub>2xz</sub><sup>a</sup> . Un chargement m´ecanique est appliqu´e au niveau des bords libres de la structure et pr´esent´e par des forces de traction lon-gitudinales not´es par F (FIGURE 2.2 (a)),les forces par unit´e de longueur g´en´er´ees au sein de chaque adh´erent sont not´ees parN<sub>1x</sub>,N<sub>2x</sub>etN<sub>3x</sub>et elles sont le r´esultat des d´eplacements rela-tifs des adh´erents not´ees parU1,U2 etU3 (FIGURE 2.2 (b)). La distribution des champs ther-miques∆T et hydriques∆C( FIGURE 2.2 (b)) est lin´eaire dans toute la structure et bas´ee sur la loi de Fourrier et de Fick respectivement. Il est `a souligner ´egalement que les ph´enom`enes d’expansion hydrique et thermique ne sont pas consid´er´es au niveau des adh´esives, ils sont mis en ´evidence au niveau des adh´erents les plus souvent expos´es aux conditions environne-mentales.

L’objectif est de calculer ces champs de contraintes lorsque la structure multi-couches est soumise `a des chargements m´ecaniques, thermiques et hydriques en tenant compte de l’effet

de couplage lorsqu’on fait superposer ces diff´erents types de chargement.

”

2.2.3 D´emarche analytique pour la r´esolution 1D

Le d´eveloppement du mod`ele pr´esent´e dans cette section se fait suivant la directionX.

L’´equilibre de l’´el´ement repr´esentatif de l’assemblagedx(FIGURE 2.2) est d´ecrit dans chaque couche d’adh´erents par les ´equations d’´equilibre (2.1) :



La relation de l’´equilibre statique aux bords des trois adh´erents est la suivante :

N_1x+N_2x+N_3x=N₁₀+N₂₀+N₃₀=N_1L+N_2L+N_3L (2.2)

N_ixsont les efforts sur la longueur de chaque substrat.

Dans le cadre des petites d´eformations de cisaillement g´en´er´ees dans les deux couches adh´esives, les ´equations des d´eplacements angulaireγjau niveau des deux interfacesnsont [88] :



Les d´eformations g´en´er´ees dans les trois couches d’adh´erents et r´esultantes de leurs d´eplacements relatifs sont d´ecrites dans chaque adh´erentipar l’´equation (2.4) :

ε_i,x= dU_i,x

dx (2.4)

D’autre part, la d´eformation r´esultante des diff´erents types de chargement est d´ecrite par le principe de superposition. Elle doit int´egrer l’effet des trois types de chargement m´ecanique, thermique et hydrique comme suit :

ε_i,x= N_i,x

h_i.E_ix+α_ix∆T+β_ix∆C i=1,2,3 (2.5) Le premier terme de l’´equation (2.5) est bas´e sur la th´eorie du comportement ´elastique des adh´erents et d´ecrit la d´eformation m´ecanique dans chaque adh´erent, le second terme est bas´e sur la loi de Fourrier ajoutant ainsi l’effet de la d´eformation thermique apport´ee par un gra-dient de temp´erature∆T et le dernier terme est bas´e sur la loi de Fick pr´esentant l’expansion

des trois adh´erents suite `a une exposition `a un milieu humide. L’expression de la concentra-tion normalis´ee d´eduite de la loi de Fick est exprim´ee par l’´equaconcentra-tion( 2.6) [92] :

∆C=1−4

Avec C₀ la concentration `a la saturation en humidit´e relative, N est le nombre de termes de sommation jusqu’`a la saturation, Z est la direction de diffusion selon l’axe Z, D_i est la diffusibilit´e des trois mat´eriaux de chaque adh´erent ett l’incr´ement de temps. On obtient la diff´erence de d´eformation dans les deux interfaces par la d´erivation de l’´equation (2.3) en utilisant l’´equation (2.4) :

εn+1,x−εn,x= h_{a j} G_{a j}.τ^a_jxz

dx n=1,2 (2.7)

En tenant compte l’´equation (2.7) dans celle de la d´eformation r´esultante (2.5), on obtient la relation entre la d´erivation des contraintes de cisaillement dans les deux couches d’adh´esives et les param`etres hygro-thermom´ecaniques :

i repr´esente l’une des trois couches d’adh´erents et j repr´esente l’une des deux couches d’adh´esives. La d´erivation des ´equations d’´equilibre (2.1) donne la relation entre la d´eriv´ee seconde des forces de traction g´en´er´ees dans les trois adh´erents et la d´eriv´ee des contraintes de cisaillement produites dans les deux adh´esives :



En utilisant les ´equations (2.2), (2.8) et (2.10), le syst`eme d’´equations diff´erentielles suivant est obtenu :

a_1HT et a_2HT repr´esentent l’effet de la diff´erence des coefficients d’expansion hydrique et thermique entre deux adh´erents adjacents :

a_1HT = (α_2x−α_1x)∆T+ (β_2x−β_1x)∆C

a_2HT = (α_3x−α_2x)∆T+ (β_3x−β_2x)∆C (2.12) En remplac¸ant l’Eq.(2.11 c) dans l’Eq. (2.11 b), on obtient le syst`eme d’´equations diff´erentielles dont les inconnus sont les forces de traction g´en´er´ees dans les adh´erents (1) et (2) :

( p_a1.[^d2N1x

La r´esolution du syst`eme d’´equations (2.13) est obtenue en utilisant la m´ethode d’it´eration pas `a pas dans le but de trouver les expressions des contraintes normales et de cisaillement dans les couches d’adh´erents et d’adh´esives respectivement. L’´equation diff´erentielle du qua-tri`eme ordre r´eduite `a un seul inconnu N1x `a partir de l’´equation (2.13) est la suivante :

A₄d⁴N_1x C_{HT M} repr´esente le terme de couplage hygro-thermo m´ecanique donn´e par l’´equation sui-vante :

L’´ecriture polynomiale d’ordre 4 sans second membre de l’´equation (2.14) est :

A₄K⁴+A₃K²+A₂=0 (2.17)

En supposant queK²=t , on obtient l’´ecriture biquadratique r´eduite suivante :

A₄t²+A₃t+A₂=0 (2.18)

Pour obtenir des solutions r´eelles de l’´equation (2.18), des simples calculs sont r´ealis´es pour v´erifier la condition A²₃−4A₄A₂ >0. Quatre solutions de la forme K_1,2,3,4 =±√

t_1,2 sont obtenues. La solution de l’´equation (2.14) selon la directionX est donn´ee par une combinai-son de fonction sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique conventionnellement identique `a celle des expressions de contraintes dans les assemblages coll´es :

N_1x=c₁sinh(K₁x) +c₂cosh(K₂x) +c₃sinh(K₃x) +c₄cosh(K₄x) +C_{HT M}

A₂ (2.19)

Les expressions des forces de traction par unit´e de longueur g´en´er´ees dans les deux autres adh´erents sont d´eduites `a partir des ´equations (2.10) et (2.2) :

N_2x=M₁c₁sinh(K₁x) +M₂c₂cosh(K₂x) +M₃c₃sinh(K₃x)

2.2.5 Conditions aux limites et type de chargement

Les expressions coupl´ees des forces par unit´e de longueur produites dans les trois adh´erents suivant la directionX et repr´esent´ees par les ´equations (2.19-2.21) sont r´esolues en imposant les chargements de traction aux bords de l’assemblage coll´e (FIGURE 2.2(b)) :

N_1x= ^−F_L N_2x= ^−F_L N_3x=^−F_L ;x=x1=0

N_1x= ^F_L N_2x= ^F_L N_3x=^F_L ;x=x2=L (2.23) Par cons´equent, les constantesc₁,c₂,c₃, et c₄, repr´esent´es dans l’´equation suivante par l’in-diceksont obtenues par le syst`eme d’´equations lin´eaire suivant :

4

∑

k=1

AA_hkc_k=B_h ,h=1, ..,6 (2.24)

AvecAA_hkles termes matriciels etB_hles termes vectoriels relatifs `a l’´ecriture des conditions de chargement dans les deux extr´emit´es de l’assemblage.

Finalement, les contraintes normales dans les trois couches d’adh´erents sont obtenues :

 Par d´erivation des ´equations (2.19) et (2.21) et en utilisant les ´equations d’´equilibre (2.1), les contraintes de cisaillement dans les deux couches d’adh´esives sont obtenues :

τ_1xz^a =−(K₁c₁cosh(K₁x) +K₂c₂sinh(K₂x)

+K₃c₃cosh(K₃x) +K₄c₄sinh(K₄x)) (2.26)

τ_2xz^a =−(1+M₁)c₁cosh(K₁x)−(1+M₂)c₂sinh(K₂x)

−(1+M₃)c₃cosh(K₃x)−(1+M₄)c₄sinh(K₄x)) (2.27)