Mod´elisation des joints coll´es soumis `a des sollicitations op´erationnelles . 39

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1.4.1 Les chargements m´ecaniques

Les premiers travaux de pr´evision du comportement m´ecanique dans un joint coll´e, re-posent sur des mod`eles analytiques. Ils ont ´et´e r´ealis´es par Volkersen en 1938 et Goland et Reissner en 1944. Volkersen a propos´e un mod`ele de joint simple recouvrement (JSR) et pour faciliter la r´esolution du probl`eme de comportement ´elastique lin´eaire, il a constat´e que la colle travaille qu’en cisaillement alors que les adh´erents travaillent en traction/compression et que la distribution des contraintes est constante dans la direction de l’´epaisseur. Le probl`eme a ´et´e r´esolu pour donner l’expression (1.1) de la contrainte de cisaillement au sein du JSR :

τ= P

w.L (1.1)

AvecPla charge m´ecanique de traction,wet la largeur de l’assemblage etLest la longueur de recouvrement.

FIGURE1.24 – Mod`ele de Volkerson.

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En r´ealit´e, dans le JSR, un moment de flexion apparaˆıt par le fait que les forces ne sont pas colin´eaires (FIGURE 1.24) ce qui engendre des contraintes de pelage aux bords de l’as-semblage venant superposer aux contraintes de cisaillement, ce probl`eme qui n’a pas ´et´e consid´er´e par Volkersen, est trait´e par le mod`ele de Goland et Reissner. L’apparition d’un moment de flexion est donc d´emontr´e par le fait de la rotation des substrats, Goland et Reiss-ner ont donn´e l’expression du moment par l’´equation (3) :

M=k.P.h

2 (1.2)

O`uPest la charge appliqu´ee, hl’´epaisseur de l’adh´erent, l’´epaisseur de la couche adh´esive est n´eglig´ee etkun facteur g´eom´etrique du moment de flexion.

FIGURE 1.25 – Mod`ele de Goland et Reissner [9].

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Volkersen ,Goland et Reinssner ne se sont toutefois int´eress´es qu’`a l’´etude des assemblages ayant un comportement ´elastique. Cependant, dans la r´ealit´e, les mat´eriaux ont un comporte-ment ´elasto-plastique. Hart-Smith [10, 48] a donc d´evelopp´e les th´eories de Volkersen et de Goland et Reissner en prenant en compte le comportement plastique de l’adh´esif. Il a ´etudi´e deux configurations :le joint simple recouvrement (JSR) [10] et le joint double recouvrement (JDR) [48] afin de consid´erer les effets du cisaillement seulement dans le JDR.Hart-Smith a tenu compte de l’effet de grandes d´eformations, il a consid´er´e la d´eformation individuelle

des adh´erents sup´erieur et inf´erieur du joint, ainsi que la couche adh´esive. Il a montr´e que la r´esistance maximale du joint, pour des adh´erents identiques, est uniquement gouvern´ee par la d´eformation en cisaillement de l’adh´esif. De plus, la plasticit´e de l’adh´esif augmente consid´erablement la r´esistance `a la rupture du joint ce qui n’est pas le cas pour un mod`ele

´elastique. Hart-Smith a montr´e qu’il est pr´ef´erable d’avoir un adh´esif ductile, car il se fis-surera avant de rompre, redistribuera les contraintes tout en limitant la concentration des contraintes aux extr´emit´es de l’assemblage.

FIGURE 1.26 – Mod`ele de Hart Smith [10].

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Plus r´ecemment, Adams et al. [49] ont montr´e que le joint adh´esif et les adh´erents ont un comportement plastique non-lin´eaire. Les r´esines ´epoxydes renforc´ees par des charges, telles que des polym`eres `a l’´etat caoutchoutique, pr´esentent une grande ´energie de d´eformation plastique. Les conclusions d’ Adams et al. Viennent se superpose avec celles de Hart-Smith

`a savoir qu’une fissuration peut initier dans le substrat. Dans une configuration simple re-couvrement, l’utilisation d’adh´esifs structuraux engendre la flexion des assemblages quand ceux-ci sont sollicit´es. Une forte flexion entraˆıne une fissuration des substrats. En se r´ef´erant

`a la FIGURE 1.24 , la d´eformation des substrats engendre des concentration de contraintes de cisaillement aux bords du joint. Dans le cas o`u le substrat commence `a absorber l’effet de cette d´eformation qui augmente de plus en plus et par cons´equence le substrat accroˆıt ces contraintes dans l’adh´esif. Par exemple, dans le cas d’un collage d’une structure aluminium /composite, la rupture peut avoir lieu dans le composite `a cause s de son faible module dans le sens transverse [50]. Les contraintes de cisaillement et de pelage devenant importantes, le

composite se coupe car il devient incapable de transf´erer la charge.

1.4.2 Les contraintes d’origine thermique

Une variation de temp´erature engendre une variation dimensionnelle du mat´eriau : dila-tation lors d’un chauffage, et r´etraction pour un refroidissement. Cette variation dimension-nelle est quantifi´ee par le coefficient thermique d’expansion (CTE) ou coefficient de dila-tation. L’assemblage des mat´eriaux diff´erents g´en`ere l’apparition de contraintes thermiques du seul fait de la diff´erence des CTE entre les adh´erents et l’adh´esif. Les contraintes ther-miques peuvent r´eduire la durabilit´e du joint car lorsqu’une charge externe est appliqu´ee pour d´efaillir la structure, les contraintes thermique peuvent acc´el´erer la d´egradation [51]. La dilatation thermique d’un mat´eriau peut ˆetre ´evalu´ee en mesurant la d´eviation d’une poutre bi-mat´eriel. Si les propri´et´es ´elastiques et la dilatation thermique de l’un des mat´eriaux sont connues, la dilatation thermique de l’autre mat´eriau peut ˆetre d´etermin´ee [51]. La solution de ce probl`eme commence par l’´equation des contraintes `a l’interface des deux mat´eriaux en termes de leurs tensions, moments et contraintes thermiques respectifs [11].

F2 forces de traction et de compression normales `a la section transversale, M1 et M2 sont les moments qui doivent ´equilibrer les forces internes comme indiqu´e dans la FIGURE 1.27 .I1 etI2sont les moments quadratiques.

En appliquant l’´equilibre des moments et en supposant que le rayon de courbure est le mˆeme pour les deux poutres, l’´equation se r´eduit comme suit :

α21− 1 Enfin, lorsque la d´eflexionδ est beaucoup plus petite que la longueurL, le rayon de courbure Rpeut ˆetre approxim´e en utilisant l’´equation (6) :

R= L2

2δ (1.5)

FIGURE1.27 – (a) D´eflexion (b) Section de la poutre bi- mat´eriel [11].

Adh´esifs CTE

Tableau 1.2 – Coeficient d’expansion thermique (CTE) des adh´esifs ´epoxy

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Loh et al [11] ont d´etermin´e le CTE (coefficient de dilatation) de l’AV119 en mesurant la d´eviation d’une ´eprouvette bi-mati`ere d’acier et d’adh´esif Araldite 2011. Le CTE est 6.12.10−5. Peretz et Weitsman [52] ont mesur´e le coefficient de dilatation thermique directe-ment au moyen de jauges de contrainte. Le coefficient de dilatation thermique du FM73 est 6,6.10−5. Le CTE pour diff´erents adh´esifs ´epoxy est donn´e dans le Tableau 1.2 .

Les contraintes thermiques r´esiduelles sont dˆues `a la dilatation ou `a la contraction non libres d’un corps. Dans un joint coll´e, les contraintes thermiques sont g´en´er´ees par la diff´erence de propri´et´es de dilatation thermique de l’adh´esif et des adh´erents et le retrait de l’adh´esif g´en´er´e par le cycle de cuisson. Plusieurs auteurs ont constat´e que les contraintes caus´ees par le retrait de l’adh´esif ont beaucoup moins d’effet sur la r´esistance des joints que celles g´en´er´ees par la diff´erence des propri´et´es thermiques des adh´erents [46, 47, 53–57].

R.D.Adams et al [53] Ont ´etudi´e le probl`eme du retrait de la colle par la mod´elisation EF.

Ils ont constat´e que dans la zone de recouvrement, la contrainte pr´edominante dans l’adh´esif est la traction longitudinale. Elle est uniforme dans la r´egion centrale et diminue vers chaque extr´emit´e.

L’´etude d’un JSR de CFRP/ aluminium de Mallick [56] a mis en ´evidence les contraintes thermiques dues `a la contraction de l’adh´esif, les contraintes thermiques due `a la diff´erence de dilatation thermique des deux adh´erents et `a une r´eduction de temp´erature de 150 ˚ C et aux contraintes dues `a une charge appliqu´ee de 5 kN. Apr`es avoir superpos´e toutes les contraintes, Mallick a constat´e que les contraintes adh´esives de retrait ont moins d’effet que la diff´erence des propri´et´es des adh´erents.

Lucas F.M et al [46] ont travaill´e sur le concept de joint multi adh´esifs. L’objectif de cette

´etude ´etait de concevoir un joint convenable pour une utilisation de basse `a haute temp´erature, par la combinaison de deux adh´esifs, l’un pour la r´esistance `a haute temp´erature et l’autre pour la r´esistance `a basse temp´erature. Ils ont bas´e leur ´etude sur le concept de module mixte d´ecrit par Hart-Smith [48]. `A haute temp´erature, un adh´esif fragile (module ´elev´e) au milieu du joint conserve la force et transf`ere toute la charge. A basse temp´erature, un adh´esif ductile est utilis´e aux extr´emit´es du joint. Pour garantir que la charge est transf´er´ee `a travers l’adh´esif

`a basse temp´erature, les extr´emit´es du recouvrement peuvent ˆetre raidies.

Une analyse num´erique a ´et´e effectu´ee `a l’aide de mod`eles ´el´ements finis pour ´etudier la r´epartition des contraintes dans un joint adh´esif mixte afin de trouver la meilleure conception possible des JDR de titane/composite/titane. Il a ´et´e d´emontr´e que, pour un joint mixte, la

combinaison de deux adh´esifs donne une meilleure performance (capacit´e de charge accrue) sur la plage de temp´erature consid´er´ee que l’utilisation d’un adh´esif `a haute temp´erature seul.

1.4.3 Les contraintes hygroscopiques

Durant un cycle de vie, les mat´eriaux composites sont soumis `a des conditions climatiques variables incluant des conditions hygroscopiques instables. Ces conditions peuvent engendrer des ph´enom`enes d’absorption ou de d´esorption d’eau conduisant `a une d´egradation des pro-pri´et´es du mat´eriau. En outre, il est connu que dans le cas des mat´eriaux composites renforc´es de fibres hydrophiles telles que les fibres textiles, l’absorption d’humidit´e conduit `a une dila-tation hydrique consid´erable du mat´eriau. le gonflement de ces fibres en milieu humide peut alors poser des probl`emes d’ajustement de la bande. Pour quantifier les variations dimension-nelles engendr´ees par une exposition en milieu humide, un coefficient hydrique d’expansion CHE est d´efinie. Le principe de calcul de CHE est de lier la variation de longueur suite `a l’exposition humide `a la longueur mesur´ee `a l’´etat sec. Plusieurs travaux ont abord´e la ca-ract´erisation de CHE [11, 51, 58]. Le gonflement se produit par la p´en´etration des mol´ecules d’eau entre les mol´ecules de polym`ere, forc¸ant ces macromol´eculaires de se d´eformer. La relation reliant la d´eformation dˆue au gonflement hydriqueεhygro au coefficient d’expansion hydrique (CHE)β est donn´ee par l’expression (1.6) :

εhygro=β×∆C (1.6)

∆C est la variation de la teneur en eau dans le mat´eriau au cours de la dilataion hygrosco-pique.

Loh et al [11] ont caract´eris´e le gonflement d’un adh´esif ´epoxy AV119 (Araldite 2007) qui a

´et´e soumis `a trois valeurs d’humidit´e relative :81.5%RH, 95.8%RH et l’immersion dans l’eau

`a 50 ˚ C. Ils ont montr´e que le gonflement de l’adh´esif d´epend seulement de la teneur en eau.

Liljedahl et al [18] ont ´etudi´e l’effet de l’environnement humide sur la durabilit´e des joints simple et double recouvrements. Ils ont d´etermin´e les CHE de l’adh´esif FM73 et du com-posite CFRP. L’expansion de l’adh´esif est suppos´ee isotrope alors que deux CHE ont ´et´e d´etermin´e pour le cas du composite : dans les deux directions transversale et longitudinale `a la direction des fibres. Le coefficient CHE dans la direction longitudinale est beaucoup plus faible que dans la direction transversale car les fibres qui gouvernent le comportement dans cette direction ont un plus faible coefficient d’expansion hydrique que la matrice. Dans la direction transversale, les propri´et´es du composite sont r´egies par la matrice ´epoxy, qui a un CHE plus ´elev´e et absorbe plus d’humidit´e que les fibres de carbone.

En service, l’absorption d’humidit´e dans le cas des structures assembl´ees par des joints adh´esifs d´epend de plusieurs param`etres, tels que : le mat´eriau adh´esif, le mat´eriau d’adh´erent, m´ethode de collage, conditions et temps d’exposition, temp´erature de durcissement, etc [59].

Il est bien connu que l’adh´esif et la matrice de r´esine sont les plus affect´es par l’humidit´e dans les structures composites coll´ees. En g´en´eral, l’humidit´e engendre des effets de plastification, de gonflement, d’augmentation des fissures, d’hydrolyse et de diminution de la temp´erature de transition vitreuse de l’adh´esif. D’autre part, l’humidit´e augmente la ductilit´e et r´eduire le

module d’´elasticit´e et la r´esistance de la r´esine, mais dans l’´etat d’exposition cyclique `a l’hu-midit´e, la ductilit´e est perdue avec le module ´elastique. Il a ´et´e sugg´er´e que la pr´esence d’eau plastifie la r´esine et induit une perte de ductilit´e de l’adh´esif apr`es une exposition cyclique `a l’humidit´e [60, 61]. Ces observations mettent en ´evidence la n´ecessit´e de caract´eriser les pro-pri´et´es des mat´eriaux des adh´esifs et des r´esines en fonction de leur historique d’absorption d’humidit´e.

En g´en´eral, l’humidit´e peut potentiellement attaquer les composites `a matrice organique par l’un ou l’ensemble des m´ecanismes suivants :

- modifier la matrice de r´esine,

- endommager l’interface fibre / matrice, - d´egradation au niveau de la fibre.

La majorit´e des chercheurs [62–66] ont trouv´e une r´eduction des propri´et´es m´ecaniques du mat´eriau composite en pr´esence d’humidit´e.

Le gonflement suite `a l’absorption d’humidit´e affecte principalement les propri´et´es de la ma-trice. Par cons´equent, l’apparition des contraintes hygroscopique sont `a l’origine de retirer la matrice de la fibre et d’endommager l’interface de la matrice / fibres. Par cons´equent, les propri´et´es domin´ees par la r´esine, telles que la r´esistance au cisaillement interlaminaire, sont plus sensibles `a la d´egradation induite par l’humidit´e que les propri´et´es domin´ees par les fibres, telles que la r´esistance `a la traction. Cependant, une corr´elation directe entre la teneur en humidit´e et la d´egradation des propri´et´es ne peut ˆetre identifi´ee en raison de diff´erents m´ecanismes d’endommagement `a l’interface fibre / matrice, de l’orientation et du type de fibre et de la matrice.

1.5 M´ethodologie d’´etudes

L’analyse des structures assembl´ees par des joints adh´esifs est g´en´eralement investigu´ee par trois m´ethodologies typiques d’´etude : ´etude exp´erimentale, ´etude (simulation) num´erique et ´etude analytique. Les m´ethodes analytiques analysent les joints facilement, rapidement et avec une grande pr´ecision, mais certaines hypoth`eses sont n´ecessaires pour les joints complexes ce qui pourraient limiter la pr´ecision des r´esultats. D’autre part, la simulation num´erique a la capacit´e d’analyser des g´eom´etries complexes avec un mod`ele de mat´eriau complexe, seul le temps de calcul est la contrainte.

Afin de bien arranger nos futurs travaux , il faudrait faire un aperc¸u global sur l’´etude des joints adh´esifs au sein des structures assembl´ees tel que le cas des bandes de convoyeurs.

En profitant des r´esultats obtenus par d’autres chercheurs, nous pouvons d´eterminer correc-tement un proc´ed´e de r´eparation des bandes convoyeurs , cr´eer raisonnablement un mod`ele num´erique et proposer un mod`ele d’aide `a la conception et `a l’optimisation de la r´eparation des bandes endommag´ees.

1.5.1 Etude analytique

L’´etude analytique est un outil d’analyse utile `a la conception pr´eliminaire des joints coll´es, ce qui r´eduit les tests coˆuteux et le temps d’analyse pour les joints. Banea et da Silva [67] ont pr´esent´e les m´ethodes analytiques et leurs am´eliorations et limitations. De plus, plusieurs chercheurs [10, 40, 48, 59, 68–71] ont fourni des mod`eles analytiques et num´eriques concernant l’analyse des joints coll´es. Yousefsani et al. [71] ont propos´e une solution analy-tique pour les joints composites coll´es par des joints adh´esifs ´epais et minces en utilisant la th´eorie de Full layerwise. (FLT). Chaque JSR est divis´ee en N sous-couches num´eriques `a travers l’´epaisseur. Pour chaque r´egion, un ensemble d’´equations d’´equilibre peut ˆetre obtenu en utilisant le principe de l’´energie potentielle totale et les ´equations d’´elasticit´e tridimen-sionnelle. Ils ont continu´e l’application de cette th´eorie pour d´eterminer les contraintes inter laminaires `a travers l’´epaisseur de l’adh´esif et le long des joints composites simples et double recouvrement. L’approche FLT a ´et´e utilis´ee pour mod´eliser les joints double recouvrement avec de bons r´esultats.

Les travaux de Beker et al [12,72–75] sont bas´es sur les r´eparations des structures composites par patchs externes. La r´eparation d’une structure composite trou´ee par des patchs elliptiques est ´elabor´ee. L’analyse de probl`eme de r´eparation est confirm´ee parthe complex potential methodcompos´ee de 3 parties (FIGURE 1.28) le substrat, la r´egion r´epar´ee et la zone du trou. La solution ´elabor´ee offre un outil exacte et effectif pour l’estimation de la r´eparation par patchs ext´erieurs.

FIGURE 1.28 – Mod´elisation analytique r´ealis´e par Becker [12] pour la r´eparation avec des patchs externes elliptiques.

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1.5.2 Etude num´erique

Le comportement des joints coll´es n’est pas seulement influenc´e par la g´eom´etrie des joints, mais aussi par les propri´et´es des mat´eriaux et les conditions aux limites diff´erentes.

La g´eom´etrie des joints complexes et sa nature tridimensionnelle se combinent pour aug-menter la difficult´e d’obtenir un syst`eme global d’´equations math´ematiques pour pr´edire les propri´et´es m´ecaniques des joints coll´es.

En outre, dans tous les types de structures dans lesquelles le collage a ´et´e utilis´e comme m´ethode d’assemblage d’´el´ements, la durabilit´e du joint doit ˆetre trait´ee comme l’un des in-dices de base de leur utilit´e op´erationnelle. Une solution potentielle `a ce probl`eme est de re-chercher les informations indispensables en analysant la distribution des d´eformations et des contraintes dans la zone de jonction en utilisant des m´ethodes num´eriques. On peut s’attendre

`a ce que l’identification des contraintes dans le joint adh´esif permettra sa conception appro-pri´ee, la s´election des mat´eriaux constitutifs et de leurs propri´et´es, et permettra de pr´eciser la mani`ere dont le joint doit ˆetre r´ealis´e dans un contexte purement structural. Une analyse appropri´ee peut ˆetre effectu´ee au moyen de la mod´elisation num´erique en utilisant la m´ethode classique des ´el´ements finis. Les relations entre forces et d´eplacements sont exprim´ees dans cette m´ethode au moyen de la matrice de rigidit´e dont les ´el´ements constitutifs comprennent des constantes de mat´eriaux d´ecrivant les propri´et´es m´ecaniques des mat´eriaux mod´elis´es.

Un probl`eme important dans la mod´elisation FEM est la d´efinition appropri´ee des mod`eles des mat´eriaux analys´es. Dans le cas des joints coll´es dans une bande transporteuse compos´ee de caoutchouc et d’un adh´esif caoutchouc de gomme, les analyses trouv´ees dans la litt´erature, en r`egle g´en´erale, adoptent le mod`ele de mat´eriau hyper´elastique bas´e sur la loi de Mooney-Rivlin [76]. D. Mazurkiewicz [76, 77] a identifi´e les probl`emes de la simulation num´erique pour la mod´elisation des joints adh´esifs au sein des bandes transporteuses.

Des mod`eles de mat´eriaux non lin´eaires ´elastiques (hyper´elastiques) ont ´et´e utilis´es pour les calculs num´eriques de D. Mazurkiewicz [76].Dans le cas du tissu analys´e, il a d´ecid´e d’uti-liser des caract´eristiques de mat´eriau lin´eaire-´elastique. Les calculs ´etaient totalement non lin´eaires et impliquaient `a la fois des facteurs physiques et g´eom´etriques non lin´eaire.

Le probl`eme g´eom´etrique non lin´eaires a ´et´e analys´e en utilisant des techniques de calcul

Le probl`eme g´eom´etrique non lin´eaires a ´et´e analys´e en utilisant des techniques de calcul

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