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Mod`ele bidimensionnel

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 72-76)

Le mod`ele unidimensionnel d´evelopp´e permet d’´etudier diff´erents cas de chargement sui-vant une seule direction. Il s’av`ere donc insuffisant pour le calcul des contraintes dans les structures de g´eom´etries planes bidimensionnelles couramment rencontr´ees dans la plupart des applications industrielles. Un mod`ele analytique bidimensionnel a donc ´et´e d´evelopp´e pour une structure multi-couches rectangulaires soumise `a des chargements m´ecaniques plans coupl´es avec des chargements hydrique et thermique.

FIGURE2.14 – Mod`ele bidimensionnel d’une structure multi-couches soumise `a des charge-ments hygro-thermom´ecanique.

L’effet bidimensionnel li´e `a la diff´erence des coefficients de poisson dans une structure multi-couches est ´etudi´e. Le mod`ele est bas´e sur les mˆemes hypoth`eses d´etaill´ees pr´ec´edemment en tenant compte de la g´eom´etrie plane rectangulaire repr´esent´ee sur la FIGURE (2.14). Une solution analytique pour les distributions de contraintes dans le plan (X,Y) est d´evelopp´ee

dans les cinq couches : trois adh´erents et deux colles, pour le cas de chargements hygro-thermom´ecanique. Cette solution est bas´ee sur la mˆeme approche d´etaill´ee dans le mod`ele unidimensionnel en ajoutant un terme de couplage entre les deux directions longitudinale L(prise dans la directionX) et transversaleT(prise dans la directionY) des trois mat´eriaux adh´erents. Ce terme traduit l’effet de bord g´en´er´e par la diff´erence des coefficients de poisson.

Ce mod`ele prend en compte trois types de chargement : hydrique, thermique et m´ecanique et permet de comprendre les ph´enom`ene de couplage dans le plan.

Le principe est d’´ecrire les mˆemes ´equations d’´equilibre d’une partie repr´esentative de la structure multi couches (FIGURE 2.15) dans la directionY que celles ´ecrites dans la direction X (Eq (2.1)).

FIGURE 2.15 – Equilibre d’une partie repr´esentative de la structure multi couches.

Les r´esultats obtenus sont r´esum´es. Les notations suivantes sont utilis´ees : - La longueur de recouvrement selon la directionY est not´eeLy.

-σ1x,σ2xetσ3xrepr´esentent les contraintes longitudinales g´en´er´ees dans les trois mat´eriaux d’adh´erents suivant la directionX. Elles d´ependent des deux directionsX etY (mod`ele bidi-mensionnel).

-σ1y,σ2yetσ3yrepr´esentent les contraintes transversales g´en´er´ees dans les trois mat´eriaux d’adh´erents suivant la directionY .elles d´ependent des deux directionsX etY (mod`ele bidi-mensionnel).

ajxzetτajyzsont les contraintes de cisaillement dans les deux couches de colle (j=1,2) dans

les plansX ZetY Zrespectivement.

-FxetFyrepr´esentent les forces de traction longitudinale et transversale impos´ees `a la struc-ture selon les directionsX etY.

- Nix et Niy repr´esentent les forces par unit´e de longueur g´en´er´ees au niveau de chaque adh´erent selon les directions longitudinaleX et transversaleY aveci=1,2,3.

- les mat´eriaux des adh´erents sont suppos´es avoir un comportement lin´eaire ´elastique ortho-trope de param`etresEix,Eiy, etνxy.

ixetαiyrepr´esentent les coefficients de dilatation thermique de chaque adh´erent selon les directionsX etY.

ix et βiy repr´esentent les coefficients de dilatation hydrique de chaque adh´erent selon les directionsX etY.

Dans ce cas, le syst`eme d’´equations diff´erentielles qui gouverne le comportement de l’assem-blage coll´e est donn´e par :

 caract´eristiques des mat´eriaux dans les directions longitudinale (selon l’axeX) et transversale (selon l’axeY) respectivement. Ils sont d´efinis comme suit :

 CHT ML (x,y)etCHT MT (x,y)repr´esentent les termes de couplage hygro-thermo m´ecanique dans les deux directions longitudinale et transversale respectivement, ils sont d´efinis pr´ec´edemment mais cette fois un terme de couplage entre les deux directions X etY est ajout´e en tenant compte de l’effet de bord.

aL1HT(x,y),aL2HT(x,y)etaT1HT(x,y),aT2HT(x,y)sont des termes de couplage hygro-thermique et bidirectionnel d´efinis dans les directions longitudinale et transversale respectivement : aLnHT(x,y) = (α(n+1),x−αn,x)∆T+ (β(n+1),x−βn,x)∆C−νn,xypn(N(n+1),y−Nn,y);n=1,2

aTnHT(x,y) = (α(n+1),y−αn,y)∆T+ (β(n+1),y−βn,y)∆C−νn,xypn(N(n+1),x−Nn,x)

(2.32) Le couplage entre les deux directions X etY est int´egr´e initialement dans l’´equation de la d´eformation r´esultante d´efinie dans (Eq (2.5)). Il en r´esulte la contribution de l’effet de bord avec l’effet de la superposition des d´eformations hygro thermom´ecaniques. La d´eformation r´esultante dans chaque direction X etY est d´ecrite dans ce cas par le syst`eme d’´equations suivant :

Le syst`eme d’´equations ( Eq (2.33)) est coupl´e entreNixetNiy. Il est d´ecoupl´e dans le cas ou les termesνxyhNix

iEix sont nuls. Comme les coefficients de Poisson sont positifs, ce d´ecouplage n’est possible que si tous ces coefficients sont suppos´es nuls, ce qui aboutit dans ce cas `a la solution 1D d´evelopp´ee pr´ec´edemment (´eq (2.5)) dans chaque directionX etY.

La r´esolution du syst`eme d’´equations diff´erentielles (2.28) est ensuite obtenue en passant par la mˆeme d´emarche d´evelopp´ee pr´ec´edemment pour le mod`ele 1D et en appliquant les conditions aux limites regroup´ees dans l’Eq (2.34)

Les solutions du syst`eme d’´equations diff´erentielles (2.28) permet d’obtenir les contraintes normales du premier adh´erent dans les deux directions comme suit :

Les expressions des contraintes normales dans les deux autres adh´erents sont ensuite d´etermin´ees

`a partir de la d´erivation des ´equations d’´equilibre dans le plan (X,Y) et la relation de l’´equilibre statique aux bords des trois adh´erents dans les deux directions de l’orthotrope. La solution des contraintes dans le deuxi`eme et le troisi`eme adh´erent est d´ecrite dans les expressions

suivantes :

Les contraintes de cisaillement g´en´er´ees au sein des deux couches adh´esives dans le plan sont donn´ees par les ´equations suivantes :

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