Pr´ esentation du spectre du laser

En comparant VRMS = 80 cm/s `a la largeur de la distribution initiale apr`es

une phase de refroidissement dans le pi`ege bleu et Γr/kr = 0,48 cm/s, il apparaˆıt

irr´ealiste d’utiliser un rayonnement monochromatique pour capturer les atomes dans le pi`ege rouge. Nous avons donc ´elargi le spectre du laser par modulation de fr´equence (FM).

1_{Pour simplifier dans la suite, le terme (( rouge )) d´esignera la transition}1_S

0→3P1, le terme

(( bleu )) la transition1_S

D´efinition des param`etres du spectre FM

Dans le cas d’une modulation sinuso¨ıdale, on d´efinit sans ambigu¨ıt´e l’excur- sion ∆. Si Af d´esigne par ailleurs la fr´equence de modulation, alors la fr´equence

instantan´ee aura pour expression :

ω(T ) = ω0+

∆

2 cos(AfT ) (4.1)

On d´efinit l’indice de modulation par β = ∆ 2.Af

. On peut ensuite d´evelopper le champ E(t) = E0exp(i 2π

Rt

0 ω(T )dT ) en s´erie de Fourier. On obtient un spectre

discret dont l’amplitude de la composante not´ee l de fr´equence ω0+l Af(l ∈ Z) est

donn´ee par la fonction de Bessel de premi`ere esp`ece d’ordre l prise en β (Jl(β)) :

E(t) = E0  J0(β) exp(iω0t) + X l<0 (−1)lJl(β) exp (i(ω0 + l Af)t) + X l>0 Jl(β) exp (i(ω0+ l Af)t)  (4.2)

Un exemple avec des valeurs typiques utilis´ees par la suite est illustr´e par la figure 4.1.a).

Mˆeme si le spectre d´ecroˆıt significativement pour des fr´equences sup´erieures `a ω0+ ∆/2 (l > β) et inf´erieures `a ω0− ∆/2 (l < −β), il n’est pas rigoureusement

nul. Afin de donner une d´efinition simple du param`etre de saturation moyen, nous allons supposer que la puissance est essentiellement contenue dans la gamme de fr´equence [ω0 − ∆/2; ω0 + ∆/2]. En cons´equence le nombre de bandes sera

simplement 2β = ∆

Af

. Dans la mesure o`u β reste grand devant 1, on supposera qu’il ne prend que des valeurs enti`eres. On d´efinit ensuite la saturation moyenne par bande :

s1b= sTotale

Af

∆ (4.3)

L’essentiel du spectre est en fait constitu´e par les composantes num´erot´ees l ∈ Z avec −β ≤ l ≤ β qui correspond `a la gamme [ω0− ∆/2; ω0 + ∆/2]. Lors

de l’interaction avec les atomes refroidis, on r´ef´erencera le d´esaccord de chaque bande par rapport `a la r´esonance atomique. D´etaillons un peu cette d´efinition qui dans le cas d’un spectre large n’est pas usuelle.

-1000 -500 0 500 1000 -10 -8 -6 -4 -2 0

Fréquence par rapport à la porteuse (kHz)

Densité spectrale de puissance (Echelle log.) -2000 -1500 -1000 -500 0

-10 -8 -6 -4 -2 0 Désaccord (kHz) l=0 l=β l=-β

a)

b)

δ

ω

ω

∆

Fig. 4.1 – Spectre issu d’une modulation sinuso¨ıdale de fr´equence ∆ = 2π × 1,2 MHz et Af = 2π × 25 kHz. a) : les fr´equences sont r´ef´erenc´ees par rapport `a la

porteuse. b) : les fr´equences sont r´ef´erenc´ees par rapport `a la r´esonance atomique (δL = −2π × 200 kHz).

D´efinition du d´esaccord par rapport `a la r´esonance atomique

Dans le cas d’un laser monochromatique, elle est sans ´equivoque. Pour un spectre de modulation, il nous faudra choisir une composante particuli`ere comme r´ef´erence. Par analogie, on pourrait la d´efinir comme la diff´erence entre la fr´e- quence de la porteuse et la fr´equence de r´esonance. Il nous semble plus judicieux de r´ef´erencer le d´esaccord par rapport aux composantes de fr´equences ´elev´ees. En effet si l’on souhaite ralentir les atomes, il faut que l’int´egralit´e du spectre soit (( d´ecal´ee vers le rouge )) par rapport `a la r´esonance, y compris les composantes de fr´equences ´elev´ees. Nous posons :

δL= (ω0+ ∆/2) − ωat (4.4)

ω0 est la fr´equence de la porteuse et ωat la fr´equence de r´esonance. δL est par

d´efinition le d´esaccord du laser par rapport `a la r´esonance atomique. Sur la figure 4.1.b) le lecteur pourra retrouver ces d´efinitions : nous y avons y repr´esent´e le spectre pour δL= −2π × 200 kHz.

Le choix d’une telle d´efinition est guid´e par l’analogie avec l’approche classique du refroidissement Doppler dans laquelle le laser est d´esaccord´e vers le rouge (δL < 0). Nous avons cependant d´ej`a fait remarquer que le spectre n’est pas nul

Elle sera cependant particuli`erement adapt´ee `a l’´etude du regime final dans un spectre large pour lequel on peut d´efinir l’´equivalent d’une constante de raideur. Nous en ferons une ´etude sommaire en 4.6. Cela ne fait pourtant pas l’objet de notre ´etude principale : nous allons essentiellement ´etudier la phase de transfert, pendant laquelle la pr´esence de(( quelques )) composantes du spectre d´esaccord´ees vers le bleu ne semble pas une limitation. Pour simplifier nos notations, nous avons choisi d’exprimer les ´el´ements caract´eristiques du spectre en termes de param`etres pertinents en vue de l’interaction avec les atomes. Les fr´equences seront exprim´ees `a partir du d´esaccord. Dans cette mˆeme approche, nous allons d´efinir les amplitudes en utilisant la saturation de la transition.

Saturation par bande et saturation totale

Nous avons d´ej`a d´efini la saturation moyenne par bande : s1b = sTotale

Af

∆. Il s’agit d’une d´efinition, qui prend tout son sens puisque l’essentiel de la puissance est contenue dans les ∆/Af composantes r´eparties autour de la porteuse (Af/∆

´

etant le nombre de bandes).

Elle suffit en fait `a d´efinir l’intensit´e de saturation (( exacte )) d’une bande num´erot´ee l d’amplitude |Jl(β)2|. Elle vaudra s1b

∆ Af

|Jl(β)|2 = sTotale|Jl(β)|2 qui

paraˆıt ´evident compte tenu de la relationX

l∈Z

|Jl(β)2| = 1.

Il est maintenant possible de calculer la saturation vue par un atome `a vitesse v. La bande num´erot´ee l est d´esaccord´ee de δ(l) par rapport `a la r´esonance o`u :

δ(l) = δ(0) + l Af = δL− ∆/2 + l Af (4.5)

Rappelons que le d´esaccord du laser est d´efini comme ´etant le d´esaccord de la composante de fr´equence (( la plus ´elev´ee )) c’est `a dire δL= δ(β). Ainsi la satura-

tion d’un atome par la composante l sera :

s(l, v) = s1b ∆ Af |Jl(β)|2 1 1 + 4(δ(l) + krv)2/Γr2 (4.6)

Les vecteurs−→kr et −→v sont ici de sens oppos´e.

Pour calculer la saturation totale S(v) vue par un atome `a vitesse v, on somme ind´ependamment les param`etres de saturation pour les diff´erentes composantes :

S(v) = X l∈Z s(l, v) (4.7) =X l∈Z s1b ∆ Af |Jl(β)|2 1 1 + 4(δ(l) + krv)2/Γr2 (4.8)

Il n’est pas ´evident que l’on puisse se permettre de sommer ind´ependamment les param`etres de saturation pour chaque bande. Ce type d’approximation n’est en g´en´eral valide qu’`a faible saturation. Nous travaillerons pourtant le plus souvent avec s1b > 1. Ce n’est pourtant pas compl`etement r´edhibitoire. Dans la mesure o`u

Af est bien sup´erieure `a Γr, il est difficile de saturer l’atome(( `a la fois )) avec deux

composantes du spectre. On pourra donc dans ce cas sommer ind´ependamment

les deux composantes. Ce ne sera pas toujours vrai en pratique, cela revient `a n´egliger tout processus multi-chromatique de redistribution de photons entre les diff´erents modes (longitudinaux) du laser.

Nous avons dans cette partie d´efini les param`etres du spectre du laser que nous retrouverons tout au long de notre analyse. Autant que possible ces param`etres sont rapport´es aux ´el´ements caract´eristiques de l’interaction avec les atomes, `a savoir le d´esaccord et la saturation.

Nous allons maintenant essayer d’estimer grossi`erement les valeurs num´eriques caract´erisant le potentiel de pi´egeage.