2.3 Mod` ele de chauffage suppl´ ementaire
3.1.4 Analyse des performances de l’asservissement
Une m´ethode sˆure d’analyse des propri´et´es spectrales d’un laser est sans doute de le comparer `a une r´ef´erence, une autre cavit´e ULE par exemple. Pour cette mesure, nous ne disposions pas d’une r´ef´erence ind´ependante, la seule m´ethode possible est donc d’utiliser le bruit sur le signal d’erreur. Cela nous permettra d’obtenir une estimation de la largeur spectrale du laser.
Densit´e spectrale de puissance de la fr´equence
Le bruit sur le signal d’erreur est en effet la manifestation ´electronique des fluctuations de fr´equence du laser agissant sur la cavit´e. Un fois le laser asservi sur la cavit´e, nous avons donc mesur´e le bruit sur le signal d’erreur au moyen d’un analyseur de spectre. C’est la r´esolution de l’analyseur (1 kHz) qui limite la courbe vers les basses fr´equences. Cependant Y. Bidel ayant montr´e que pour notre laser le bruit est maximum autour de quelques kilohertz, ce seront ces composantes qui imposeront la largeur spectrale. `A partir d’une seule courbe prise avec l’analyseur de spectre, on peut finalement avoir une estimation de la largeur du laser asservi. Les deux grandeurs qui caract´erisent le bruit en fr´equence et le bruit sur le signal d’erreur sont respectivement la densit´e spectrale de puissance de la fr´e- quence instantan´ee Sν(f ) et la densit´e spectrale de puissance du bruit sur le
104 105 106 10-12 10-11 10-10 10-9 10-8 Fréquence (Hz)
Densité spectrale de puissance du bruit sur le signal d'erreur (V²/Hz)
Fig. 3.4 – Bruit sur le signal d’erreur Ss(f )
signal d’erreur Ss(f ).
Les deux grandeurs sont reli´ees par une formule simple dont Y. Bidel fournit une d´emonstration [21, p.260] : Sν(f ) = Ss(f ) scc2 ∆νc2 4 1 + 2f ∆νc 2! (3.1)
o`u scc est l’amplitude crˆete `a crˆete (scc = 210 mV dans notre cas).
`
A partir de la mesure de Ss(f ), on peut maintenant calculer Sν(f ). Le r´esultat
est fourni par la figure3.5.
Moyennant quelques hypoth`eses suppl´ementaires, on peut maintenant calculer le spectre du laser.
Spectre du laser asservi
Il n’est pas possible de connaˆıtre de fa¸con g´en´erale le spectre du laser `a partir de la densit´e spectrale de puissance de la fr´equence sans faire d’hypoth`eses sur
104 105 106 100 101 102 103 104 105 106 Fréquence (Hz)
Densité spectrale de puissance de la fréquence du laser (Hz²/Hz)
Fig. 3.5 – Densit´e spectrale de puissance de la fr´equence du laser asservi : Sν(f )
le type de bruit rencontr´e. On peut montrer que si l’on a affaire uniquement `
a une bruit de phase et que la densit´e de probabilit´e de la variable al´eatoire ϕ(t + τ ) − ϕ(t) est gaussienne, la fonction d’autocorr´elation du champ RE(τ )
s’obtient en int´egrant comme suit :
RE(τ ) = E02eiωLτexp − 1 2π Z Sω(Ω) 1 − cos(Ωτ ) Ω2 dΩ (3.2) Ensuite, le spectre du laser s’obtient en r´ealisant la transform´ee de Fourier de la fonction d’autocorr´elation :
SE(Ω) =
Z
RE(τ )e−iΩτdτ (3.3)
En g´en´eral, l’´equation 3.2 doit ˆetre int´egr´ee num´eriquement. Dans quelques cas simples, elle peut ˆetre calcul´ee analytiquement, ce qui nous permet de donner une estimation grossi`ere du spectre optique du laser.
Dans le cas o`u la densit´e spectrale de la fr´equence est constante (Sν0) et la bande passante du bruit consid´er´e beaucoup plus grande que S0
montrer que le spectre du laser sera une lorentzienne dont la largeur est donn´ee par 2πSν0. Mˆeme si notre spectre de bruit n’est visiblement pas constant, on peut dans un premier temps s’int´eresser au spectre dans la bande passante de correction (< 1 MHz), cela nous donnera une id´ee de la partie centrale du spectre du champ ´electrique. Typiquement, la densit´e spectrale de la fr´equence reste toujours inf´erieure `a 200 Hz, on peut donc s’attendre `a un spectre (( plus fin )) qu’une lorentzienne de 2π × 200 Hz = 1,250 kHz. Une telle largeur suffirait pour nos exp´eriences. Il est cependant possible de calculer plus pr´ecis´ement le spectre aussi bien `a basse fr´equence (< 1 MHz) qu’au del`a de la bande passante de correction.
Calcul num´erique du spectre du champ ´electrique `a partir de la densit´e spectrale de la fr´equence
Ayant d´ej`a calcul´e la densit´e spectrale de la fr´equence (figure 3.5), on peut maintenant d´eduire la fonction d’autocorr´elation du champ en appliquant la for- mule 3.2. Tr`es simplement, les variations rapides de RE(τ ) correspondent aux
fr´equences ´elev´ees dans la spectre du champ. `A l’inverse les variations lentes de RE(τ ), nous donneront les composantes de basses fr´equences.
En haut de la figure3.6 (fig. 3.6.a et3.6.b), on voit la fonction d’autocorr´ela- tion du champ. Distinguons bien les deux ´echelles de temps (qui nous donnerons deux ´echelles de fr´equence pour le spectre).
– Sa d´ependance lente entre 0 et 2 ms (fig. 3.6.a) est remarquablement ajust´ee par une d´ecroissance exponentielle (temps caract´eristique 0,8 ms). Cela nous donnera par transform´ee de Fourier, une partie centrale du spectre `
a forme lorentzienne dont la largeur totale `a mi-hauteur est de
1/(π 8.10−4) = 399 Hz. Il s’agit de la partie basse fr´equence du spectre du champ, trac´ee en3.6.d).
– Les variations rapides entre 0 et 20 µs (fig.3.6.b) auront une incidence sur la partie haute fr´equence du spectre7. Les oscillations que l’on observe sont en fait une cons´equence de la remont´ee du bruit au del`a de la bande passante de l’asservissement. Dans le spectre du champ (fig.
3.6.c), elles produisent un paquet de composantes autour de 2 MHz.
Notons cependant que leur amplitude est d’environ 3 ordres de grandeur inf´erieure `a celle la partie centrale du spectre.
En d´efinitive, le spectre semble bien repr´esent´e dans sa partie centrale par une lorentzienne de largeur 399 Hz. Les composantes autour de 2 MHz
gardent une amplitude faible. Nous discuterons des cons´equences de leur
7Sur cette courbe, on observe des variations brusques (`a l’´echelle de la r´esolution num´erique).
Dans la formule3.2, on int`egre selon Ω une fonction fortement oscillante (de p´eriode 1/τ ). Pour
l’int´egration, nous avons gard´e un maillage ind´ependant de τ car cela assure une bonne rapidit´e
de calcul. Il semble cependant que ce maillage conduise pour certaines valeurs de τ `a des
r´esultats irr´ealistes. Dans la mesure o`u cela ne nuit pas `a la lisibilit´e g´en´erale de la courbe, nous
Fig. 3.6 – Calcul du spectre du champ `a partir de la densit´e spectrale de la fr´equence. En haut (a et b), la fonction d’autocorr´elation du champ. b) est un zoom proche de l’origine. En bas (c et d), le spectre du champ calcul´e comme la transform´ee de Fourier de la fonction d’autocorr´elation. d) est un zoom sur la partie basse fr´equence.
pr´esence en conclusion de cette partie.
Comparaison au spectre exp´erimental au del`a de 1 MHz
Afin d’´etudier l’effet de la remont´ee du bruit au del`a de 1 MHz, nous avons mesur´e le signal de battement du laser asservi avec le faisceau transmis par la
cavit´e. Il s’agit certes du mˆeme laser, sauf qu’un des deux champs est filtr´e spec- tralement par la cavit´e. Notre cavit´e agit en effet comme un filtre de largeur 330 kHz.
– Si l’on s’int´eresse au spectre du laser au del`a de 1 MHz : en supposant que les composantes du spectre transmis par la cavit´e sont n´egligeables dans cette gamme de fr´equence par rapport `a celles du spectre du laser asservi. Alors les composantes pr´esentes dans le spectre d’h´et´erodynage sont issues du battement de la partie haute-fr´equences (> 1 MHz) du spectre du laser asservi avec la partie centrale du spectre plus ´etroit transmis par la cavit´e. Dans cette gamme de fr´equence, on peut voir le spectre d’h´et´erodynage comme le produit de convolution des deux spectres. L’un ´etant nettement plus ´etroit que l’autre, on observe directement les ailes (> 1 MHz) du spectre du laser asservi.
– Notons bien qu’aux fr´equences inf´erieures `a 330 kHz, les deux champs sont parfaitement corr´el´es et le signal est un pic de Dirac, limit´e exp´erimentale- ment par la r´esolution de l’analyseur de spectre. `A basse fr´equence cela ne nous donne finalement aucune information sur la largeur du spectre.
-3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Spectre d'hétérodynage (MHz)
Puissance (Echelle logarithmique)
Fig. 3.7 – Signal de battement entre le laser asservi et le faisceau transmis par la cavit´e ULE. La r´esolution de l’analyseur de spectre est de 1 kHz, on en d´eduit que quelques pourcent de la puissance sont inclus dans les remont´ees `a hautes fr´equences.
Le r´esultat sur la figure 3.7 laisse apparaˆıtre les mˆemes remont´ees au-del`a de 1 MHz que celles calcul´ees `a partir de la densit´e spectrale de la fr´equence. Leur amplitude est bien inf´erieure `a celle de la bande centrale et confirme la valeur calcul´ee, c’est `a dire trois `a quatre ordres de grandeur inf´erieure (voir fig.3.6.c).
Leur position d´epend essentiellement de l’optimisation de la boucle rapide. Dans le signal d’h´et´erodynage, elles apparaissent autour de 1,5 MHz et une meilleure optimisation de la phase sur la boucle rapide permet de les repousser autour de 2 MHz comme nous l’avons vu sur le spectre obtenu plus haut.
La puissance dans cette gamme de fr´equence est certes n´egligeable par rapport `
a la bande centrale. Il faut cependant dans l’absolu la comparer `a l’intensit´e de saturation de la transition (3 µW/cm2). Nous avions malgr´e tout d´ej`a observ´e ces
remont´ees du spectre sur les atomes froids. Des mesures rapides de spectroscopie du nuage atomique utilisant le laser asservi avaient mis en ´evidence des remont´ees autour de 1 MHz. Dans cette s´erie de mesures tr`es pr´eliminaires, nous avions choisi d’´elargir la transition par saturation8 afin d’exciter une classe de vitesse plus large dans le profil des vitesses du nuages. Dans une telle situation, il est tout `a fait possible d’exciter aussi la transition avec les remont´ees du spectre `a 1,5 MHz
Conclusion
La largeur de la partie centrale du spectre est bien adapt´ee `a l’in- teraction du laser asservi avec les atomes froids. Les remont´ees dans les ailes sont suffisamment faibles pour ne pas poser probl`eme `a faible saturation et on peut s’en affranchir facilement. La solution choisie que nous d´evelopperons dans 3.4 consiste `a exploiter le faisceau transmis par la cavit´e qui agit en fait comme un filtre spectral. C’est donc le spectre du laser transmis par la cavit´e qui interagira avec les atomes froids, on efface ainsi les remont´ees au del`a de la bande passante de l’asservissement en gagnant encore trois ordres de grandeur environ. Seule subsiste la partie basse fr´equence du spectre, c’est `a dire une lorentzienne de largeur 399 Hz.
Cette derni`ere mesure est pleinement satisfaisante. Il est en effet n´ecessaire d’avoir une largeur de l’ordre du kilohertz pour pi´eger et refroidir sur la tran- sition d’intercombinaison. Ce n’est cependant pas suffisant : des d´erives lentes de la fr´equence peuvent sortir le laser de r´esonance. Afin de les ´etudier et de les compenser ´eventuellement par un asservissement, nous avons r´ealis´e une cellule de r´ef´erence.