Préliminaires à la preuve du théorème 3.3.7

Les méthodes utilisées pour démontrer la proposition 3.3.5 ne sont pas suffisantes pour

obtenir le théorème 3.3.7. En effet, si on considère la suite exacte courte

0→Ωe^k →Ω^k(logC)→RC →0 (3.14)

on obtient avec le lemme de la profondeur et la formule d’Auslander-Buchsbaum la

proposi-tion3.3.19, dont l’énoncé est plus faible mais qui nous sera tout de même utile pour terminer la

preuve du théorème 3.3.7.

La preuve du théorème 3.3.7 est fondée sur le calcul explicite de certains modules et

mor-phismes de la suite exacte longue obtenue en appliquant le foncteur HomO

S

(−,OS) à la suite

exacte courte (3.14) :

0→HomO

S

(RC,OS)→HomO

S

(Ω^k(logC),OS)→HomO

S

(Ωe^k,OS)→Ext¹O

S

(RC,OS)→. . .

(3.15)

Le plan de la preuve est le suivant. Nous commençons par calculer à l’aide du complexe

de Koszul les modules Ext^qO

S

e

Ω^k,OS

. Nous déterminons ensuite grâce à la suite spectrale de

changement d’anneaux les modules Ext^qO

S

(RC,OS) pour q6k. La partie la plus technique est

le calcul explicite du morphisme connectant

α⁰ : Ext^kO⁻

S

¹

e

Ω^k,OS

→Ext^kO

S

(RC,OS).

Ce calcul est nécessaire afin d’identifier le noyau et l’image deα⁰, qui sont tous deux utilisés

dans la fin de la preuve.

64 CHAPITRE 3. LIBERTÉ D’UNE INTERSECTION COMPLÈTE

Calcul des Ext^qO

S

e

Ω^k,OS

Commençons par calculer les termes de la suite (3.15) impliquant Ωe^k = _h¹ICΩ^k_S. Nous

utilisons le complexe de Koszul associé à la suite régulière (h1, . . . , h_k).

Notation 3.3.8. On note K(h) le complexe de Koszul associé à (h1, . . . , hk) dans OS :

K(h) : 0→

k

^

Ok

S

d

k

−→ · · · ^d

2

−→

1

^

Ok

S

d

1

−→OS →0 (3.16)

où pourI ⊆ {1, . . . , k}de cardinalp∈ {2, . . . , k},di(eI) =Pp

`=1(−1)<sup>`−1</sup>hi

_`

ei

1

∧· · ·∧e_ci

_`

∧· · ·∧ei

p

etd1(ei) =hipouri∈ {1, . . . , k}. On poseKf(h) : 0→VkOk

S

d

k

−→ · · · ^d

2

−→V1Ok

S →0 le complexe

obtenu à partir deK(h) en enlevant le dernierOS.

Remarque 3.3.9. D’après [Eis95, Corollary 17.5, Proposition 17.15], étant donné que la suite

(h1, . . . , hk) est régulière, le complexeK(h) est une résolution libre de OC, et le complexe dual

HomO

S

(K(h),OS) est aussi une résolution libre deOC.

Lemme 3.3.10. Le complexe Kf(h) fournit une résolution libre de Σ = ¹

h

Pk

i=1hiOS = ¹_hIC.

En particulier, la dimension projective de Σ estk−1.

Preuve. On remarque que Σ'Pk

i=1h_iOS. Ce dernier est l’image de l’application d₁ du

com-plexe de Koszul, qui est exact par la proposition 3.3.9.

Nous pouvons donc utiliser le complexeKf(h) pour calculer les Ext^•O

S

e

Ω^k,OS

:

Lemme 3.3.11. La dimension projective deΩe^k estk−1. De plus, on a :

HomO

S

e

Ω^k,OS

=hΘ^k_S,

Ext^kO⁻

S

¹

e

Ω^k,OS

= Θ^k_S⊗O

S

OC,

et pour tout j /∈ {0, k−1}, Ext^jO

S

e

Ω^k,OS

= 0.

Preuve. On aΩek = Ωk

S⊗O

S

Σ. On rappelle que le complexe Kf(h) fournit une résolution libre

de Σ, on en déduit donc que Ω^k_S ⊗O

S

K^f(h) fournit une résolution libre de Ωe^k. En particulier,

dimproj(Ωe^k) =k−1.

De plus, on a HomO

S

Ω^k_S⊗O

S

Σ,OS

= Θ^k_S⊗O

S

HomO

S

(Σ,OS). Soit ψ∈ HomO

S

(Σ,OS).

Alors ψ est entièrement déterminée par ψ(1). Comme pour tout i ∈ {1, . . . , k}, ψ

1

b

h

i

=

1

b

h

i

ψ(1)∈OS, on a ψ(1)∈hOS. Réciproquement, il est clair qu’un élémentα∈hOS définit une

application ψ∈HomO

S

(Σ,OS) en posant ψ(1) =α, ce qui nous donne la première égalité.

La deuxième égalité se déduit de la remarque3.3.9, qui assure que Ext^kO⁻

S

¹(Σ,OS) =OC.

Calcul des Ext^qO

S

(RC,OS)

Contrairement au cas deΩe^k, nous ne calculerons que les Ext^qO

S

(RC,OS) pour q6k.

Nous utilisons la suite spectrale de changement d’anneaux (voir par exemple [CE56, Chapter

XV, XVI]). Nous l’énonçons pour unOC-moduleM quelconque, car nous en aurons besoin pour

un autre module dans la suite.

E₂^pq = Ext^pO

C

M,Ext^qO

S

(OC,OS)⇒Ext^pO⁺

S

^q(M,OS). (3.17)

Nous avons besoin du lemme suivant, qui nous permet dans le cas M = RC de déterminer

les modules recherchés.

3.3. CARACTÉRISATIONS DE LA LIBERTÉ 65

Lemme 3.3.12. Soit C une intersection complète et M un OC-module de type fini. Pour tout

q < k, Ext^qO

S

(M,OS) = 0 et

Ext^kO

S

(M,OS) = HomO

C

(M,OC).

Preuve. Comme (h₁, . . . , h_k) est une suite régulière, on a grâce au complexe de Koszul 3.3.8

pour tout q 6=k, Ext^qO

S

(OC,OS) = 0 et Ext^kO

S

(OC,OS) =OC. Par conséquent, les seuls termes

éventuellement non nuls de la deuxième feuille de la suite spectrale (3.17) sont les E₂^pk pour

p ∈ _N, et donc la suite spectrale dégénère au rang 2. En particulier, Ext^qO

S

(M,OS) ' E₂^q−k,k,

ce qui nous donne le résultat.

On déduit des calculs précédents la suite exacte suivante :

Corollaire 3.3.13. La suite exacte longue (3.15) donne :

· · · →0→Ext^kO⁻

S

¹

Ω^k(logC),OS

→Θ^k_S⊗O

S

OC

α

−→R∨

C →Ext^kO

S

Ω^k(logC),OS

→0→. . .

(3.18)

Calcul du morphisme connectant α

En résumé, on dispose d’isomorphismesβ etβ⁰ tels que le diagramme suivant commute :

Θ^k_S⊗O

S

OC R∨

C

Ext^kO⁻

S

¹

e

Ωk,OS

Ext^kO

S

(RC,OS)

β

0

β

α

α

0

L’objectif de ce paragraphe est de montrer la proposition suivante :

Proposition 3.3.14. Le morphisme connectant α de la suite exacte du corollaire 3.3.13 est :

α: Θ^k_S⊗O

S

OC →R∨

C

δ⊗a7→a·δ(dh1∧ · · · ∧dh_k)

En particulier, l’image deα est JC.

Cette proposition permet de comparerJC etR∨

C, ce qui est utilisé dans la fin de la preuve

du théorème 3.3.7.

Le calcul deα est assez technique. Nous déterminons explicitement les isomorphismes β et

β⁰, ainsi que le morphisme connectantα⁰.

Nous fixons dans tout ce paragraphe une résolution injective (I•, ε•) deOS.

Lemme 3.3.15. SoitM unOC-module de type fini. L’isomorphisme du lemme 3.3.12 est :

β : Ext^kOS^(M,OS) =H^k(HomOS^(M,I•))→HomOC ^{M, Hk(Hom}OS⁽OC,I•))

= HomOC^(M,OC)

[ψ]7→ψe:ρ7→[ψeρ:a7→a.ψ(ρ)]

Preuve. Soit (P•, δ•) une résolution projective duOC-moduleM. On obtient ainsi le complexe

double Apq = HomO

C

(P_p,HomO

S

(OC,Iq)). Deux suites spectrales ayant le même

aboutisse-ment y sont associées :

0E₂^pq=H^p(HomO

C

(P∗, H^q(HomO

S

(OC,I•))) = Ext^pO

C

66 CHAPITRE 3. LIBERTÉ D’UNE INTERSECTION COMPLÈTE

00E₂^pq =H^q(HomO

C

(H_p(P∗),HomO

S

(OC,I•)))⇒Ext^pO⁺

S

^q(M,OS).

Les seuls termes éventuellement non nuls de la première suite spectrale sont les⁰E₂^pk et pour

la seconde, ce sont les ⁰⁰E₂^0q. En particulier, les deux suites spectrales dégénèrent au rang deux,

et pour tout j>1,⁰⁰E_∞^j,k−j et⁰E_∞^j,k−j sont nuls. On a donc :

Ext^kO

S

(M,OS) =⁰E₂^0k=⁰E⁰_∞^k=⁰⁰E_∞^0k=⁰⁰E₂^0k.

À partir des définitions des suites spectrales (voir [CE56, Chapter XV,XVI]) on voit qu’un

élément dans ⁰E_∞^0k peut être représenté par un élémentψ∈HomO

C

P0,HomO

S

OC,Ikqui

définit la même classe dans⁰⁰E_∞^0k. Dans ⁰⁰E₂^0k,ψ définit un élément [ψ]∈H^k(HomO

S

(M,I•)),

et dans ⁰E₂^0k, il définitψe :ρ 7→ [ψeρ : a7→ a.ψ(ρ)] ∈ HomO

C

M, H^k(HomO

S

(OC,I•)). Cela

nous donne l’isomorphisme annoncé.

Le lemme suivant permet d’exprimer précisément l’isomorphisme du lemme3.3.11 par

l’in-termédiaire de la résolution injective (I•, ε•) de OS.

Lemme 3.3.16. Le deuxième isomorphisme du lemme3.3.11 est :

β⁰ :H^k−1HomO

S

e

Ω^k,I•

| {z }

=Ext

^kO⁻S¹

Ω^e

k

,O

S

→Θ^k_S⊗O

S

H^k−1(I•

/AnnI

•

(h1, . . . , hk))

| {z }

=O

C

[ϕ]7→^X

I

∂xI⊗[mI]

où m_I ∈Ik−1 vérifie h·m_I=ϕ(dx_I).

Preuve. Pour toutj∈_Non a un isomorphismeζ : HomO

S

e

Ω^k,Ij→Θ^k_S⊗O

S

HomO

S

Σ,Ij

donné par ζ(ϕ) =P

I∂x_I⊗(a7→ϕ(adx_I)).

Intéressons-nous maintenant à HomO

S

Σ,Ij

. Comme pour tout j∈_N,Ij est un module

injectif, le foncteur HomO

S

−,Ij

est exact. De plus

0→Σ−→^h OS →OC →0

est exacte donc on en déduit l’isomorphisme :

HomO

S

OS,Ij

/HomO

S

OC,Ij

→HomO

S

Σ,Ij

h

ϕ:OS →Iji

7→(a7→ϕ(h·a))

De plus,







HomO

S

OS,Ij ∼

−→Ij

ϕ7→ϕ(1)

et







HomO

S

OC,Ij ∼

−→AnnI

j

(h₁, . . . , h_k)

ϕ7→ϕ(1)

sont des

isomorphismes. Par conséquent on a l’isomorphisme :

ξ :Ij/AnnI

j

(h1, . . . , hk)→HomO

S

Σ,Ij

[m]7→(a7→a·hm)

En utilisant les isomorphismesζ etξ⁻1, on en déduit l’isomorphisme β⁰.

Comme nous l’avons déjà remarqué dans la preuve du lemme3.3.11en utilisant le complexe de

Koszul, H^k−1(HomO

S

(Σ,OS)) =OC, et donc il existe un isomorphisme

3.3. CARACTÉRISATIONS DE LA LIBERTÉ 67

De plus, comme pour tout j ∈ _N, AnnI

j

(h₁, . . . , h_k) est isomorphe à HomO

S

OC,Ij

, en

utilisant la remarque 3.3.9on en déduit un isomorphisme

γ₂:H^k(AnnI

•

(h₁, . . . , h_k))→OC.

Le lemme suivant explicite l’isomorphisme entre les modulesH^k−1(I•/AnnI

•

(h₁, . . . , h_k))

etH^k(AnnI

•

(h₁, . . . , h_k)).

Lemme 3.3.17. On a un isomorphisme :

γ :H^k−1(I•/AnnI

•

(h₁, . . . , h_k))→H^k(AnnI

•

(h₁, . . . , h_k))

[m]7→[ε_k−1(m)]

Preuve. On noteεk−1 :Ik−1/AnnI

k−1

(h1, . . . , hk)→Ik/AnnI

k

(h1, . . . , hk). Montrons d’abord

que γ est bien définie.

Si m ∈ Ker(ε_k−1) alors ε_k−1(m) ∈ AnnI

k

(h₁, . . . , h_k). Si m = ε_k−2(m0) pour un m0 ∈

Ik−2/AnnI

k−2

(h1, . . . , hk), alors [εk−1(εk−2(m⁰))] = 0 et donc l’application γ est bien définie.

Supposons que [ε_k−1(m)] = 0. Alors il existe m⁰ ∈AnnI

k−1

(h1, . . . , h_k) tel que ε_k−1(m) =

ε_k−1(m⁰), et doncm−m⁰ ∈Ker(ε_k−1) = Im(ε_k−2). D’où [m] = 0, et donc γ est injective.

Considérons [m]∈ H^k(AnnI

•

(h1, . . . , hk)). Alors εk(m) = 0 donc il existe m⁰ ∈ Ik−1 tel

que ε_k−1(m⁰) =m. Alors [m] =γ([m0]), et doncγ est surjective.

Nous disposons à présent de toutes les identifications nécessaires au calcul deα.

Preuve (de la proposition 3.3.14). Nous voulons construire le morphisme connectant :

α⁰ :H^k−1HomO

S

e

Ω^k,I•

→H^k(HomO

S

(RC,I•

)).

On procède par une chasse au diagramme fondée sur le diagramme commutatif suivant :

0 HomO

S

e

Ω^k,Ik−1 HomO

S

Ω^k(logC),Ik−1 HomO

S

RC,Ik−1 0

0 HomO

S

e

Ω^k,Ik HomO

S

Ω^k(logC),Ik HomO

S

RC,Ik 0

i

^∗

^res

^∗C

i

^∗

^res

^∗C

ε

k−1

ε

k−1

ε

k−1

Soit δ⊗[m]∈Θ^k_S⊗H^k−1(I•/AnnI

•

(h1, . . . , h_k)). Comme β⁰ est un isomorphisme, il existe

ϕ:Ωe^k →Ik−1

η 7→δ(hη)·m

vérifiant la condition εk−1(ϕ) = 0 et dont la classe dans Ext^kO⁻

S

¹

e

Ω^k,OS

est un antécédent de

δ⊗[m] parβ⁰.

Il existe Φ : Ω^k(logC)→Ik−1 tel que Φ◦i=ϕ. Soitω ∈Ω^k(logC). Par le théorème3.1.15,

il existe g, ξ, η tels quegω=ξ^dh

1

∧···∧dh

k

h

1

···h

_k

+η. Alors

gΦ(ω) =ξΦ

dh1∧ · · · ∧dhk

h₁· · ·h_k

+ϕ(η).

De plus, pour touti∈ {1, . . . , k},

h_iΦ

dh₁∧ · · · ∧dh_k

h₁· · ·h_k

=ϕ

h_i^{dh1∧ · · · ∧dhk}

h₁· · ·h_k

=h_iδ(dh₁∧ · · · ∧dh_k)·m.

Par conséquent,

Φ

dh₁∧ · · · ∧dh_k

h1· · ·hk

=δ(dh1∧ · · · ∧dhk)·m+m⁰

68 CHAPITRE 3. LIBERTÉ D’UNE INTERSECTION COMPLÈTE

avec m⁰∈AnnI

k−1

(h₁, . . . , h_k).

L’image parεk−1 de Φ vérifie :

g·ε_k−1(Φ)(ω) =ξ δ(dh₁∧ · · · ∧dh_k)·ε_k−1(m) +ε_k−1(m⁰)

.

Commei^∗ε_k−1(Φ) = 0, il existe Ψ : RC → Ik tel que ε_k−1(Φ) = res^∗_C(Ψ). En particulier,

pour toutρ∈RC, on a3 :

gΨ(ρ) =gρ δ(dh₁∧ · · · ∧dh_k)·ε_k−1(m) +ε_k−1(m⁰)

Cela nous donne alors l’expression degα⁰ β⁰⁻¹(δ⊗[m])

∈Ext^kO

S

(RC,OS). Nous allons en

déduire l’expression deα(δ⊗[m])∈R∨

C.

Par l’isomorphisme β du lemme 3.3.15, et en utilisant l’identification de HomO

S

(OC,I•)

avec AnnI

•

(h1, . . . , hk), la classe [gΨ]∈H^k(HomO

S

(RC,I•)) correspond à l’application

RC →H^k(AnnI

•

(h1, . . . , hk))

ρ7→[gρ· δ(dh₁∧ · · · ∧dh_k)·ε_k−1(m) +ε_k−1(m⁰)

]

De plus, comme m⁰ ∈AnnI

k−1

(h₁, . . . , h_k), on a pour tout ρ∈RC :

[gρ· δ(dh1∧ · · · ∧dhk)·εk−1(m) +εk−1(m⁰)

] = [gρ·(δ(dh1∧ · · · ∧dhk)·εk−1(m))].

On a des isomorphismes :

OC

γ

1

←−H^k−1(I•/AnnI

•

(h₁, . . . , h_k))−→^γ H^k(AnnI

•

(h₁, . . . , h_k))−→^γ

²

OC.

Soit a = γ₁([m]) ∈ OC. Comme γ, γ₁, γ₂ sont des isomorphismes, on peut supposer⁴ que

γ₂◦γ◦γ⁻¹(1) = 1, et doncγ₂([ε_k−1(m)]) =a∈OC.

Par conséquent, [gΨ] s’identifie à l’application

(RC →OC

ρ7→ρgδ(dh₁∧ · · · ∧dh_k)a ^{et comme g}

est un non diviseur de zéro dansOC, on en déduit que [Ψ] s’identifie à

RC →OC

ρ7→ρδ(dh₁∧ · · · ∧dh_k)a

D’où le résultat : siδ⊗a∈Θ_S⊗O

S

OC, alorsα(δ⊗a) =a·δ(dh1∧ · · · ∧dh_k).

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