Forme fondamentale

4.2 Liberté d’un espace réduit de Cohen-Macaulay

4.2.1 Forme fondamentale

Nous aurons besoin de la proposition suivante, qui est une version plus forte du lemme4.1.1.

Proposition 4.2.1. SoitXun espace réduit équidimensionnel de codimensionkdansS. Il existe

une suite régulière (f₁, . . . , f_k) ⊆ IX = (h₁, . . . , h_r) telle que l’idéal (f₁, . . . , f_k) est radical.

Autrement dit, il existe une intersection complète réduite C contenant X.

Preuve. On considère un ouvertU deS contenant le point psur lequel h₁, . . . , h_r sont

conver-gentes. Comme l’idéal IX est radical, il existe f1 ∈IX non nulle et réduite, telle que de plus

pour tout i∈ {1, . . . , p},X_i n’est pas contenu dans le lieu singulier de la variété définie par f₁.

NotonsIX =p₁∩ · · · ∩p_p une décomposition primaire irréductible deIX.

Soitj ∈ {1, . . . , k−1}. Nous allons procéder par récurrence surj. L’hypothèse de récurrence

est la suivante : on suppose qu’il existe une suite régulière (f₁, . . . , f_j) dans IX telle que l’idéal

(f1, . . . , fj)OS est radical et telle qu’aucune composante irréductible de X n’est contenue dans

le lieu singulier de la variété Y définie par (f₁, . . . , f_j). SoitY =Y₁∪ · · · ∪Y_t une décomposition

de Y en composantes irréductibles. La variété Y est de dimension purem−j.

On considère une décomposition primaireIY =q₁∩ · · · ∩q_t. En particulier, commeIY est

radical, pour tout i∈ {1, . . . , t},q_i est premier.

On pose

V =

(

µ∈_C^r ; ∀i∈ {1, . . . , t},

r

X

`=1

µ_`h_`∈/ q_i

)

.

Si µ ∈ V alors Pr

`=1µ_`h_` est un non diviseur de zéro de OS/(f₁, . . . , f_j). En particulier,

V 6=∅ vu que profI

(OS) =k.

On considère le lieu singulier Sing(Y) deY, qui est défini par l’annulation des mineursj×jde

la matrice jacobienne de (f₁, . . . , f_j). Soit q⁰₁∩ · · · ∩q⁰_a une décomposition primaire de ISing(Y).

On pose P l’ensemble des idéaux premiers associés à ISing(Y) qui définissent une variété de

dimension⁵ m−j−1. On pose :

V⁰ =

(

µ∈_C^r ; ∀p∈P,

r

X

`=1

µ`h`∈/ p

)

.

Siµ∈V⁰, alors aucune composante du lieu des zéros de (f₁, . . . , fj,Pr

`=1µ_`h_`) n’est contenue

dans le lieu singulier de Y. De plus, V⁰ 6= ∅. En effet, si j 6= k−1, comme dimX = m−k <

m−j−1, il existe clairement `∈ {1, . . . , r} tel que h` ∈/ p. Dans le cas j=k−1, notons que

si p∈P vérifie pour tout `∈ {1, . . . , r},h_` ∈p alorsIX ⊆p. Il existe donc `⁰ ∈ {1, . . . , p}tel

CommeY est réduite, le lieu singulier deY est de dimension au plusm−j−1. En particulier,P peut être

vide.

80 CHAPITRE 4. LIBERTÉ D’UN ESPACE DE COHEN-MACAULAY

que p_`

⊆p, et comme les deux idéaux premiers p_`

etp sont de même hauteur, p_`

= p. Cela

contredit l’hypothèse X_`

6⊆Sing(Y).

Pour i∈ {1, . . . , p} on noteκ_i=OX,p

/p_iOX,p

le corps résiduel deOX en p_i. Pour h∈IX,

on pose le vecteur

∂h:=

∂h

∂x₁^{, . . . ,}

∂h

∂x_m

t

∈(OX,p

/p_iOX,p

)^m.

On pose

V⁰⁰=

(

µ∈_Cr ; ∀i∈ {1, . . . , r},dim_κ

∂f₁, . . . , ∂f_j,

r

X

`=1

µ_`∂h_`

!

>j+ 1

)

.

CommeXest de codimensionk>j+1 et réduite, pour touti∈ {1, . . . , p}, il existe un mineur

(j+ 1)×(j+ 1) de la matrice jacobienne de (h₁, . . . , h_k) qui n’est pas contenu dansp_i. Comme de

plus dim_κ

∂f₁, . . . , ∂f_j=j, il existeh∈IX tel que dim_κ

∂f₁, . . . , ∂f_j,Pr

`=1µ_`∂h_`>j+ 1,

et doncV⁰⁰ est un ouvert de Zariski non vide. Siµ∈V⁰⁰, aucune composante irréductible de X

n’est contenue dans le lieu singulier de la variété définie par (f₁, . . . , f_j,Pr

i=1µ_ih_i).

On considère la sous-variété lisse Y⁰ de Y définie par Y⁰ = Y\ {Sing(Y)∪X}. On pose

V0=V ∩V⁰∩V⁰⁰. AlorsV0 est un ouvert de Zariski non vide de _C^r.

Soit

Z =

(

(x, µ)∈Y⁰×V₀ ;

r

X

i=1

µihi(x) = 0

)

.

AlorsZ est une hypersurface lisse deY⁰×V0. En effet, commeX∩Y⁰ =∅, pour toutx∈Y⁰,

il existe i∈ {1, . . . , p} tel quehi(x)6= 0, et donc ∂

∂µi

r

X

i=1

µihi(x)

!

=hi(x) 6= 0. On considère

l’application ψ:Z → V₀ définie par ψ(x, µ) =µ. Par le théorème de Bertini-Sard, l’ensemble

des points critiques de ψ est de mesure nulle dans V0. Cela implique en particulier qu’il existe

µ⁽⁰⁾ ∈V0tel queψ⁻¹(µ⁽⁰⁾) est une variété lisse, et donc réduite. On posefj+1=Pr

i=1µ⁽⁰⁾_i hi. Les

conditions sur V₀ assurent que la suite (f₁, . . . , f_j₊₁) définit une intersection complète réduite

dont le lieu singulier ne contient aucune composante irréductible de X.

On obtient donc ainsi par récurrence une suite régulière (f1, . . . , f_k) de IX définissant une

intersection complète réduite contenant X.

On fixe donc une suite régulière (f1, . . . , fk) ⊆ IX telle que IC = (f1, . . . , fk) est un

idéal radical de OS. On note C l’intersection complète réduite définie par (f1, . . . , f_k). On note

C = X₁ ∪ · · · ∪X_p ∪Y₁ ∪ · · · ∪Y_` une décomposition de C en composantes irréductibles, où

X =X₁∪ · · · ∪X_p, etY =Y₁∪ · · · ∪Y_`.

La forme différentielle ^df₁∧ · · · ∧df_k

f₁· · ·f_k ^{joue un rôle fondamental pour l’intersection}

com-plète C. Cette forme différentielle n’est en revanche pas logarithmique relativement à la paire

(X, C). Dans ce paragraphe, nous introduisons la "forme trace", ou forme fondamentale (voir

notation 4.2.4), dont on peut trouver une définition dans [Ker84, (1.3)].

Notation 4.2.2. On note β_f l’élément deO

e

C =

p

M

i=1

O

e

X

⊕

`

M

j=1

O

e

Y

défini par







∀i∈ {1, . . . , p}, βf|

f

X

= 1∈O

e

X

∀j∈ {1, . . . , `}, β_f|

e

Y

= 0∈O

e

Y

Lemme 4.2.3. La forme différentielle β_fdf₁∧ · · · ∧df_k∈Ω^k_S⊗O

MC vérifie

β_fdf₁∧ · · · ∧df_k∈Ω^k_S⊗O

OC.

4.2. LIBERTÉ D’UN ESPACE RÉDUIT DE COHEN-MACAULAY 81

Preuve. On a df₁∧ · · · ∧df_k =P

|I|=kJ_Idx_I où J_I est le mineur de la matrice jacobienne de

(f1, . . . , fk) relatif à l’ensemble I. D’après la proposition 2.3.11, pour tout I ⊆ {1, . . . , m} tel

que |I|=k, on a J_IO

e

C ⊆OC. D’où le résultat.

Notation 4.2.4. On fixe donc α0 ∈Ω^k_S telle que α0 =β_fdf1∧ · · · ∧df_k ∈Ω^k_S⊗O

MC. Cette

forme est la forme fondamentale de X dansS. L’application :

c_X : Ω^q_X →ω_X^q

β7→

"

β∧α₀

f1, . . . , fk

#

est laclasse fondamentale deX dansS(voir définition2.3.23pour le cas intersection complète).

La propriété suivante est une conséquence de la définition deα0 et de [Ker84, (1.3)].

Proposition 4.2.5. On a :

α₀

f ^∈^Ω

k(logX/C).

De plus, res_X/C^α

f

= 1∈MX. En particulier, α₀∈IYΩ^k_S.

Preuve. Soit h∈IX. Alors comme β_f est nul sur Y, on a :

hα₀=hβ_fdf₁∧ · · · ∧df_k= 0∈Ω^k_S⊗O

MC.

Par conséquent on a hα₀ ∈ ICΩ^k_S. De plus, pour tout i ∈ {1, . . . , p}, la forme différentielle

dh∧df₁∧ · · · ∧df_k est nulle en restriction àX_i, étant donné que (h, f₁, . . . , f_k)⊆IX etX est

de codimensionk dansS. Commeβf est nul en restriction àY, on en déduit que

dh∧β_fdf₁∧ · · · ∧df_k= 0∈Ω^k_S⁺¹⊗O

MC.

Par conséquent, dh∧α₀ ∈ICΩ^k_S⁺¹, et donc ^α

f ∈Ω^k(logX/C).

Soit a, g∈OC tels que βf = ^a_g ∈MC. En particulier, g est un non diviseur de zéro de OC.

On a

gres_X/C

α0

f

= res_X/C

adf1∧ · · · ∧df_k

f

=a∈MX.

Commeg est un non diviseur de zéro de OC, il induit un non diviseur de zéro deOX, et donc

res_X/C

α0

f

=β_f = 1∈MX.

Etant donné queβfdf1∧ · · · ∧dfk=α0= 0∈Ω^k_S⊗O

MY, on en déduit que α0 ∈IYΩ^k_S.

Proposition 4.2.6. Soit ω ∈ 1

fΩ^q_S. Alors ω ∈ Ω^q(logX/C) si et seulement s’il existe g ∈ OS

induisant un non diviseur de zéro de OC, ξ∈Ω^q_S⁻^k, et η∈Ωe^q_f tels que

gω= α₀

f ^∧^ξ⁺^η. ^(4.6)

De plus, avec cette écriture, res_X/C(ω) = ξ

g _X^.

82 CHAPITRE 4. LIBERTÉ D’UN ESPACE DE COHEN-MACAULAY

Preuve. Soit ω ∈Ωq(logX/C). Alorsω ∈Ωq(logC). Soitg, ξ, η satisfaisant les hypothèses du

théorème3.1.15 tels que

gω= ^df1∧ · · · ∧dfk

f ^∧^ξ⁺^η.

Alorsgres_X/C(ω) =ξ= res_X/C^α

f ∧ξdonc d’après le corollaire4.1.9il existeη⁰∈Ωe^q_f tel que

gω= α0

f ^∧^ξ⁺^η

0 .

Réciproquement, soit ω ∈ 1

fΩ^q_S tel qu’il existe g, ξ, η vérifiant les conditions de la

proposi-tion 4.2.6et

gω= α₀

f ^∧^ξ⁺^η.

Soit h ∈IX. Comme ^α

f ∈Ω^k(logX/C), on a hα₀∧ξ ∈ ICΩ^q_S et dh∧α₀∧ξ ∈ICΩ^q_S⁺¹.

Commef η∈ICΩ^q_S, et commeginduit un non diviseur de zéro deOC, on en déduit quehω∈Ωf^q_f

et dh∧ω∈Ω^]^q_f⁺¹. Par conséquent,ω∈Ω^q(logX/C).

On déduit de [Sch16, (2.14)] l’égalité suivante :

RX ={ρ|_X ; ρ∈RC tel que ρ|_Y = 0}. (4.7)

On a donc :

Proposition 4.2.7. Soit ω∈Ω^k(logC). Alors :

ω∈Ω^k(logX/C) ⇐⇒ res_C(ω)|_Y = 0.

En particulier, cela implique queO

e

X ⊆RX.

Preuve. Soit ω∈Ω^k(logX/C). On a :

ρ _Y = 0 ⇐⇒ ∃ω⁰ ∈Ω^k(logX/C), ρ_X = res_X/C(ω⁰)

⇐⇒ ∃w⁰ ∈Ω^q(logX/C),∃η∈Ωe^q_f, ω=ω⁰+η∈Ω^q(logX/C).

CommeΩe^k_f ⊆Ω^k(logX/C), on en déduit le résultat.

4.2.2 Champs de vecteurs multi-logarithmiques

Nous conservons les notations du paragraphe précédent, en particulier, α0 désigne la forme

fondamentale de X (voir notation 4.2.4).

Nous proposons la définition suivante :

Définition 4.2.8. Soit δ ∈ Θ^k_S un k-champ de vecteurs holomorphe. On dit que δ est

multi-logarithmique le long de X relativement àC si

δ(α₀)∈IX.

On note Der^k(−logX/C) le OS-module des k-champs de vecteurs multi-logarithmiques le long

de X relativement àC.

Remarque 4.2.9. Etant donné que α₀ ∈IYΩ^k_S, on en déduit que pour tout δ ∈Θ^k_S,δ(α₀) ∈

IY. On a donc

Der^k(−logX/C) =ⁿδ∈Θ^k_S ; δ(α0)∈IC

o

4.2. LIBERTÉ D’UN ESPACE RÉDUIT DE COHEN-MACAULAY 83

Lemme 4.2.10. On a l’inclusion suivante :

Der^k(−logC)⊆Der^k(−logX/C). (4.8)

Preuve. Soit a, g∈OS tel que βf = ^a_g ∈MC. En particulier, g induit un non diviseur de zéro

dansOC. Soitδ ∈Der^k(−logC). Alorsδ(adf1∧ · · · ∧df_k)∈IC. Commegest un non diviseur

de zéro de OC, on en déduit que δ(β_fdf₁∧ · · · ∧df_k) = δ(α₀) = 0 ∈ MC. Par conséquent,

δ(α₀)∈IC, doncδ ∈Der^k(−logX/C).

Lemme 4.2.11. Soitδ ∈Der^k(−logX/C) et ω∈Ω^k(logX/C). Alors

δ(ω)∈Σ =

k

X

i=1

1 b

f_iOS = ¹

fIC.

Preuve. D’après la proposition4.2.6, on agω=ξ^α

f +η.

On a doncgδ(ω) =ξ_f¹δ(α₀) +δ(η)∈ ¹

fIC. Commeg induit un non diviseur de zéro deOC,

on a δ(ω)∈ ¹

fIC.

Proposition 4.2.12. On suppose k>2. Le foncteur HomO

(−,Σ) appliqué à la suite

d’inclu-sions

e

Ω^k_f ⊆Ω^k(logX/C)⊆Ω^k(logC) (4.9)

donne la suite d’inclusions

Θ^k_S⊇Der^k(−logX/C)⊇Der^k(−logC). (4.10)

Réciproquement, si on applique le foncteurHomO

(−,Σ)à la suite d’inclusions(4.10), on obtient

la suite d’inclusions (4.9).

Preuve. Les seules égalités à prouver sont HomO

Ω^k(logX/C),Σ = Der^k(−logX/C) ainsi

que HomO

Der^k(−logX/C),Σ = Ω^k(logX/C), les autres étant données par la

proposi-tion 3.2.13.

On a :

Θ^k_S⊇HomO

Ω^k(logX/C),Σ⊇Der^k(−logC).

Le lemme4.2.11 nous assure que Der^k(−logX/C)⊆HomO

Ω^k(logX/C),Σ.

Soit δ ∈HomO

Ω^k(logX/C),Σ. Comme ^α

f ∈Ω^k(logX/C), on a en particulier δ(α₀) ∈

IC, doncδ ∈Der^k(−logX/C). On a donc

HomO

Ω^k(logX/C),Σ= Der^k(−logX/C).

Réciproquement, on a

e

Ω^k_f ⊆HomO

Der^k(−logX/C),Σ⊆Ω^k(logC).

Le lemme 4.2.11nous assure que Ω^k(logX/C)⊆HomO

Der^k(−logX/C),Σ.

Soit ω∈HomO

Der^k(−logX/C),Σ. Montrons que ω ∈Ω^k(logX/C). Nous devons donc

montrer que IXω ∈Ωe^k_f et dIX ∧ω ∈Ω^]^k_f⁺¹. On écrit ω=P

|I|=k_f¹ω_Idx_I.

Soit h ∈ IX. Pour tout I ⊆ {1, . . . , m} tel que |I| =k, on a h∂x_I ∈ Der^k(−logX/C), vu

que h∂x_I(α₀)∈IX. Cela implique que h∂x_I(ω) =h¹_fω_I ∈Σ, et donc finalement hω∈Ωe^k_f.

84 CHAPITRE 4. LIBERTÉ D’UN ESPACE DE COHEN-MACAULAY

Comme dans la preuve de la proposition3.2.13, on remarque que

dh∧ω= ¹

f

X

|J|=k+1

k+1

X

`=1

(−1)^`⁻¹ ∂h

∂xj

ω_J\j

dxJ.

On pose pour J ⊆ {1, . . . , m}avec |J|=k+ 1 :

δJ =

k+1

X

`=1

(−1)^`⁻¹ ∂h

∂x_j

^∂x^j

∧ · · · ∧∂xdj

∧ · · · ∧∂xj

_k+1

.

On a donc

δJ(ω) =∂xJ(dh∧ω). (4.11)

Montrons queδJ ∈Der^k(−logX/C). Montrer que δJ(α0)∈IC revient à prouver que

δJ(βfdf1∧ · · · ∧dfk) = 0∈MC.

On a :

δJ(β_fdf1∧ · · · ∧df_k) =β_f

k+1

X

`=1

(−1)^`⁻¹ ∂h

∂x_j

^∆j

...j_b

...j

_k+1

=β_f

∂h

∂x

j₁

. . . _∂x^∂h

jk+1

∂f

∂x

j₁

. . . ^∂f

∂x

_jk+1

..

. .._.

∂f

∂x

j₁

. . . ^∂f

∂x

_jk+1

.

On obtient donc un mineur (k+ 1)×(k+ 1) d’une matrice jacobienne associée à X. Or, X

est de de codimension k dans S donc ce mineur est nul le long de chacune des composantes

irréductibles de X. Comme de plusβ_f est nul le long de Y, on en déduit que

β_fdf₁∧ · · · ∧df_k(δ_J) = 0∈MC.

Par conséquent,δ_J ∈Der^k(−logX/C). D’après (4.11), cela implique que dh∧ω ∈Ω^]^k_f⁺¹, et donc

HomO

Der^k(−logX/C),Σ= Ω^k(logX/C).

De même que dans le cas intersection complète, les champs de vecteurs logarithmiques de la

définition 3.2.5permettent de construire desk-champs de vecteurs multi-logarithmiques le long

de X :

Proposition 4.2.13. On a l’inclusion

Der(−logX)∧Θ^k_S⁻¹ ⊆Der^k(−logX/C).

Preuve. Soit η ∈Der(−logX) etδ2, . . . , δk ∈Θ_S. Alors par définition η(IX) ⊆IX, donc en

particulier, η(IC)⊆IX. On a donc :

β_fdf₁∧ · · · ∧df_k(η∧δ₂∧ · · · ∧δ_k)∈IX.

4.2. LIBERTÉ D’UN ESPACE RÉDUIT DE COHEN-MACAULAY 85

Dans le document Singularités libres, formes et résidus logarithmiques (Page 80-86)

4.2 Liberté d’un espace réduit de Cohen-Macaulay

4.2.1 Forme fondamentale

Nous aurons besoin de la proposition suivante, qui est une version plus forte du lemme4.1.1.

Proposition 4.2.1. SoitXun espace réduit équidimensionnel de codimensionkdansS. Il existe

une suite régulière (f1, . . . , fk) ⊆ IX = (h1, . . . , hr) telle que l’idéal (f1, . . . , fk) est radical.

Autrement dit, il existe une intersection complète réduite C contenant X.

Preuve. On considère un ouvertU deS contenant le point psur lequel h1, . . . , hr sont

conver-gentes. Comme l’idéal IX est radical, il existe f1 ∈IX non nulle et réduite, telle que de plus

pour tout i∈ {1, . . . , p},Xi n’est pas contenu dans le lieu singulier de la variété définie par f1.

NotonsIX =p1∩ · · · ∩pp une décomposition primaire irréductible deIX.

Soitj ∈ {1, . . . , k−1}. Nous allons procéder par récurrence surj. L’hypothèse de récurrence

est la suivante : on suppose qu’il existe une suite régulière (f1, . . . , fj) dans IX telle que l’idéal

(f1, . . . , fj)OS est radical et telle qu’aucune composante irréductible de X n’est contenue dans

le lieu singulier de la variété Y définie par (f1, . . . , fj). SoitY =Y1∪ · · · ∪Yt une décomposition

de Y en composantes irréductibles. La variété Y est de dimension purem−j.

On considère une décomposition primaireIY =q1∩ · · · ∩qt. En particulier, commeIY est

radical, pour tout i∈ {1, . . . , t},qi est premier.

On pose

V =

(

µ∈Cr ; ∀i∈ {1, . . . , t},

r

X

`=1

µ`h`∈/ qi

)

.

Si µ ∈ V alors Pr

`=1µ`h` est un non diviseur de zéro de OS/(f1, . . . , fj). En particulier,

V 6=∅ vu que profI

(OS) =k.

On considère le lieu singulier Sing(Y) deY, qui est défini par l’annulation des mineursj×jde

la matrice jacobienne de (f1, . . . , fj). Soit q01∩ · · · ∩q0a une décomposition primaire de ISing(Y).

On pose P l’ensemble des idéaux premiers associés à ISing(Y) qui définissent une variété de

dimension5 m−j−1. On pose :

V0 =

(

µ∈Cr ; ∀p∈P,

r

X

`=1

µ`h`∈/ p

)

.

Siµ∈V0, alors aucune composante du lieu des zéros de (f1, . . . , fj,Pr

`=1µ`h`) n’est contenue

dans le lieu singulier de Y. De plus, V0 6= ∅. En effet, si j 6= k−1, comme dimX = m−k <

m−j−1, il existe clairement `∈ {1, . . . , r} tel que h` ∈/ p. Dans le cas j=k−1, notons que

si p∈P vérifie pour tout `∈ {1, . . . , r},h` ∈p alorsIX ⊆p. Il existe donc `0 ∈ {1, . . . , p}tel

CommeY est réduite, le lieu singulier deY est de dimension au plusm−j−1. En particulier,P peut être

vide.

80 CHAPITRE 4. LIBERTÉ D’UN ESPACE DE COHEN-MACAULAY

que p`

⊆p, et comme les deux idéaux premiers p`

etp sont de même hauteur, p`

= p. Cela

contredit l’hypothèse X`

6⊆Sing(Y).

Pour i∈ {1, . . . , p} on noteκi=OX,p

/piOX,p

le corps résiduel deOX en pi. Pour h∈IX,

on pose le vecteur

∂h:=

∂h

∂x1, . . . ,

∂h

∂xm

t

∈(OX,p

/piOX,p

)m.

On pose

V00=

(

µ∈Cr ; ∀i∈ {1, . . . , r},dimκ

∂f1, . . . , ∂fj,

r

X

`=1

une suite régulière (f₁, . . . , f_k) ⊆ IX = (h₁, . . . , h_r) telle que l’idéal (f₁, . . . , f_k) est radical.

Preuve. On considère un ouvertU deS contenant le point psur lequel h₁, . . . , h_r sont

pour tout i∈ {1, . . . , p},X_i n’est pas contenu dans le lieu singulier de la variété définie par f₁.

NotonsIX =p₁∩ · · · ∩p_p une décomposition primaire irréductible deIX.

est la suivante : on suppose qu’il existe une suite régulière (f₁, . . . , f_j) dans IX telle que l’idéal

le lieu singulier de la variété Y définie par (f₁, . . . , f_j). SoitY =Y₁∪ · · · ∪Y_t une décomposition

On considère une décomposition primaireIY =q₁∩ · · · ∩q_t. En particulier, commeIY est

radical, pour tout i∈ {1, . . . , t},q_i est premier.

µ∈_C^r ; ∀i∈ {1, . . . , t},

µ_`h_`∈/ q_i

`=1µ_`h_` est un non diviseur de zéro de OS/(f₁, . . . , f_j). En particulier,

la matrice jacobienne de (f₁, . . . , f_j). Soit q⁰₁∩ · · · ∩q⁰_a une décomposition primaire de ISing(Y).

dimension⁵ m−j−1. On pose :

V⁰ =

µ∈_C^r ; ∀p∈P,

Siµ∈V⁰, alors aucune composante du lieu des zéros de (f₁, . . . , fj,Pr

`=1µ_`h_`) n’est contenue

dans le lieu singulier de Y. De plus, V⁰ 6= ∅. En effet, si j 6= k−1, comme dimX = m−k <

si p∈P vérifie pour tout `∈ {1, . . . , r},h_` ∈p alorsIX ⊆p. Il existe donc `⁰ ∈ {1, . . . , p}tel

que p_`

⊆p, et comme les deux idéaux premiers p_`

etp sont de même hauteur, p_`

contredit l’hypothèse X_`

Pour i∈ {1, . . . , p} on noteκ_i=OX,p

/p_iOX,p

le corps résiduel deOX en p_i. Pour h∈IX,

∂x₁^{, . . . ,}

∂x_m

/p_iOX,p

)^m.

V⁰⁰=

µ∈_Cr ; ∀i∈ {1, . . . , r},dim_κ

∂f₁, . . . , ∂f_j,

µ_`∂h_`

(j+ 1)×(j+ 1) de la matrice jacobienne de (h₁, . . . , h_k) qui n’est pas contenu dansp_i. Comme de

plus dim_κ

∂f₁, . . . , ∂f_j=j, il existeh∈IX tel que dim_κ

∂f₁, . . . , ∂f_j,Pr

`=1µ_`∂h_`>j+ 1,

et doncV⁰⁰ est un ouvert de Zariski non vide. Siµ∈V⁰⁰, aucune composante irréductible de X

n’est contenue dans le lieu singulier de la variété définie par (f₁, . . . , f_j,Pr

i=1µ_ih_i).

On considère la sous-variété lisse Y⁰ de Y définie par Y⁰ = Y\ {Sing(Y)∪X}. On pose

V0=V ∩V⁰∩V⁰⁰. AlorsV0 est un ouvert de Zariski non vide de _C^r.

(x, µ)∈Y⁰×V₀ ;

AlorsZ est une hypersurface lisse deY⁰×V0. En effet, commeX∩Y⁰ =∅, pour toutx∈Y⁰,

l’application ψ:Z → V₀ définie par ψ(x, µ) =µ. Par le théorème de Bertini-Sard, l’ensemble

µ⁽⁰⁾ ∈V0tel queψ⁻¹(µ⁽⁰⁾) est une variété lisse, et donc réduite. On posefj+1=Pr

i=1µ⁽⁰⁾_i hi. Les

conditions sur V₀ assurent que la suite (f₁, . . . , f_j₊₁) définit une intersection complète réduite

On obtient donc ainsi par récurrence une suite régulière (f1, . . . , f_k) de IX définissant une

idéal radical de OS. On note C l’intersection complète réduite définie par (f1, . . . , f_k). On note

C = X₁ ∪ · · · ∪X_p ∪Y₁ ∪ · · · ∪Y_` une décomposition de C en composantes irréductibles, où

X =X₁∪ · · · ∪X_p, etY =Y₁∪ · · · ∪Y_`.

La forme différentielle ^df₁∧ · · · ∧df_k

f₁· · ·f_k ^{joue un rôle fondamental pour l’intersection}

Notation 4.2.2. On note β_f l’élément deO