Multi-valuations

Soit C un germe de courbe analytique réduit, et OC son anneau des fonctions. Comme

C est réduit et de dimension 1, l’anneau OC est de Cohen-Macaulay. On note C1, . . . , Cp les

composantes irréductibles deC. CommeC est de dimension un, la normalisation Ce deC est en

fait une désingularisation de C et on a :

OC ,→O

e

C =_C{t₁} ⊕ · · · ⊕_C{t_p}

g7→(g₁(t₁), . . . , g_p(t_p))

Définition 5.1.1. Soitg ∈OC d’image (g1, . . . , gp) dans O

e

C eti∈ {1, . . . , p}. La valuation de

g le long deCi est l’ordre en ti de gi(ti). On la note val_i(g). Si g est identiquement nulle le long

de C_i on pose val_i(g) =∞.

94 CHAPITRE 5. COURBES ET MULTI-VALUATIONS

La multi-valuation1 deg est

val(g) = (val₁(g), . . . ,val_p(g))∈(_N∪ {∞})^p.

De plus, MC =M

e

C. On pose pour g= a

b ^∈MC, val(g) = val(a)−val(b)∈(_Z∪ {∞})^p.

Exemple 5.1.2. Soit h(x, y) = (x³−y²)(x⁶−y⁷). Un paramétrage de cette courbe est donné

parx₁(t₁) =t²₁, y₁(t₁) =t³₁pour la première branche, etx₂(t₂) =t⁷₂, y₂(t₂) =t⁶₂pour la deuxième

branche. On le note aussi :

x= (t²₁, t⁷₂), y= (t³₁, t⁶₂).

La multi-valuation de xⁱy^j pour i, j∈_N est donc val(xⁱy^j) = (2i+ 3j,7i+ 6j). Par ailleurs, la

multi-valuation de x3−y2 est val(x3−y2) = (∞,12).

Notation 5.1.3. Soit I ⊆MC un idéal fractionnaire. On pose

val(I) ={val(g) ; g∈I non diviseur de zéro } ⊆_Z^p,

val(I) ={val(g) ; g∈I} ⊆(_Z∪ {∞})^p.

Remarque 5.1.4. Nous verrons dans le paragraphe5.1.2que l’ensemble val(I) détermine

l’en-semble val(I). De plus, on a val(I) = val(I)∩_Zp.

Exemple 5.1.5. Considérons la courbe plane C définie par h(x, y) = (x³ −y²)(x³−y⁴). Un

paramétrage est donné parx= (t²₁, t⁴₂) ety= (t³₁, t³₂) La figure5.1représente l’ensemble val(OC).

Nous ferons dans la suite plusieurs fois référence à cet exemple. Comme il s’agit d’un exemple

simple, on peut déterminer facilement val(OC) de la façon suivante. On commence par indiquer

les croix correspondant aux éléments de la forme xⁱy^j pour i, j ∈ _N. On complète ensuite en

utilisant la proposition5.1.12. On remarque quex³−y² = (0, t¹²₂ −t⁶₂) etx³−y⁴ = (t⁶₁−t¹²₁ ,0). En

utilisant de nouveau la proposition5.1.12, on en déduit respectivement les points dont l’ordonnée

est 6, respectivement les points dont l’abscisse est 6. On peut alors compléter en suivant le même

principe en considérant les xⁱy^j(x³−y²) et xⁱy^j(x³−y⁴).

Un algorithme de calcul basé sur l’article [CDGZ99] est implémenté sous _Singular qui

permet le calcul de val(OC) pour les courbes planes. Il s’agit de la procédure semigroup de la

librairiealexpoly.lib, développée par Fernando Hernando Carrillo et Thomas Keilen.

Définition 5.1.6. On définit l’idéal conducteurdeOC parCC =O∨

e

C, où−^∨ désigne le foncteur

HomO

C

(−,OC).

Pour α∈_Zp on pose t^α= (t^α

1

1 , . . . , t^α

p

p )∈MC.

Lemme 5.1.7. L’idéal conducteur CC est aussi un idéal de O

e

C. Il existe donc γ ∈ _Np tel que

CC =t^γO

e

C. On appelle γ le conducteur de la courbe C.

Preuve. On a par la proposition 2.3.16 CC = ⁿf ∈MC ; fO

e

C ⊆OC

o

. Par conséquent, si

f ∈ CC, pour tout g∈ O

e

C, f gO

e

C ⊆fO

e

C ⊆OC donc f g ∈CC. Nous pouvons en conclure que

CC est un idéal deO

e

C. Comme de plusO

e

C =Lp

i=1C{ti} et chacun des_C{ti}est principal, on

en déduit l’existence d’un élémentγ ∈_Np tel queCC =t^γO

e

C.

On considère l’ordre produit2 sur _Zp, c’est-à-dire que pour α, β ∈ _Zp, α 6 β signifie pour

tout i∈ {1, . . . , p},αi 6βi. On définit inf(α, β) = (min(α1, β1), . . . ,min(αp, βp)).

On a donc :

γ = inf{α∈_Np ; α+_N^p ⊆val(OC)}. (5.1)

1

"value" en anglais

5.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES 95

val₁

val₂

γ

0

5

5

10

10

15

15

Figure ^{5.1 – Multi-valuations de}OC

Exemple 5.1.8. Revenons à l’exemple5.1.5. La figure5.1permet de déterminer le conducteur

de C, qui estγ = (8,12).

Le lemme suivant nous sera utile dans le paragraphe5.2, et vient directement de la définition

d’idéal fractionnaire.

Lemme 5.1.9. Soit I un idéal fractionnaire. Alors il existe ν etλ dans _Zp tels que

t^νO

e

C ⊆I ⊆t^λO

e

C. (5.2)

En particulier, cela implique que ν+_N^p ⊆val(I)⊆λ+_N^p. De plus, siλ⁰6λetν⁰ >ν, on peut

remplacer λparλ⁰ et ν parν⁰ dans la suite d’inclusion (5.2).

Preuve. Pour la première inclusion, il suffit de remarquer que siv∈val(I),v+γ+_N^p ⊆val(I)

puisque I est un sous-OC-module de MC et γ +_N^p ⊆ val(OC). Pour la deuxième inclusion,

comme I est de type fini, il suffit de prendre le minimum des multi-valuations d’une famille

génératrice de I.

Définition 5.1.10. Soit I un idéal fractionnaire. On appelle

νI = inf{α∈_Z^p ; α+_N^p ⊆val(I)}

le conducteur de l’idéal I. On appelle l’idéal t^ν

I

O

e

C l’idéal conducteur de I.

Remarque 5.1.11. Un idéal fractionnaireI d’une courbe est Cohen-Macaulay maximal³, donc

le théorème 2.3.20s’applique, et les inclusions sont renversées par dualité.

3

car il est de même dimension queO

C

, c’est-à-dire 1, et de plus un non diviseur de zéro deO

C

est aussi un

non diviseur de zéro deI

96 CHAPITRE 5. COURBES ET MULTI-VALUATIONS

val₁

val₂

α

β

inf(α, β)

val₁

val₂

α β

v

Figure5.2 – Illustration des propositions 5.1.12et5.1.13

En dualisant la suite d’inclusions du lemme 5.1.9, on obtient donc, vu que O∨

e

C =CC =t^γO

e

C,

t^γ−λO

e

C ⊆I^∨ ⊆t^γ−νO

e

C.

Nous aurons par ailleurs besoin des propriétés suivantes, qui généralisent [DdlM88, 1.1.2,

1.1.3] à un idéal fractionnaire quelconque I. Elles sont illustrées par la figure 5.2.

Proposition 5.1.12. SoitI un idéal fractionnaire deC. Siα, β ∈val(I)alorsinf(α, β)∈val(I).

De plus, si par exempleα∈val(I), alors inf(α, β)∈val(I).

Preuve. Soit α∈val(I) et β ∈val(I), etf, g∈I tels que val(f) =α et val(g) =β. Alors pour

une combinaison linéaire c₁f +c₂g générale, la multi-valuation est val(c₁f+c₂g) = inf(α, β)∈

val(I). Si de plus α∈val(I) alors le minimum est clairement dans _Z^p.

Proposition 5.1.13. Soitα 6=β∈val(I). S’il existei∈ {1, . . . , p}tel que αi =βi alors il existe

v∈val(I) tel que :

1. v_i > α_i

2. ∀j ∈ {1, . . . , p}, j6=i, v_j >min(α_j, β_j)

3. Si de plusαj 6=βj, alors vj = min(αj, βj).

Preuve. Soit f₁, f₂ des éléments de I de multi-valuations respectives α, β. Pour ` ∈ {1,2},

l’image de f` dans O

e

C est de la forme f` = P

j>val

k

(f

`

)akj`t^j_k

k∈{1,...,p}, avec pour tout k ∈

{1, . . . , p} et`∈ {1,2},a_k,val

_k

_(f

_`

_),`6= 0, et val_i(f₁) = val_i(f₂) =α_i. Soit

g=a_i,val

_i

_(f

₁

_),1f2−a_i,val

_i

_(f

₂

_),2f1.

Alors val(g) vérifie les trois propriétés. Si val(g)∈/ _Np, ce qui pourrait arriver si les restrictions

de f₁ etf₂ à une ou plusieurs branches sont égales, il suffit d’utiliser la proposition 5.1.12avec

val(g) et un élémentw>ν_I assez grand, où ν_I est le conducteur deI.

Proposition 5.1.14. SoitI ⊆J deux idéaux fractionnaires. Si val(I) = val(J) alors I =J.

Preuve. Supposons que I 6= J et val(I) = val(J). On note νI le conducteur de I. Soit alors

g ∈J\I. Alors g /∈t^ν

I

O

e

C vu que t^ν

I

O

e

C ⊆I. Il existe donc i∈ {1, . . . , p} tel que val_i(g)< ν_I,i.

Comme val(g)∈val(I), il existef₁ ∈I tel que val(f₁) = val(g). Par conséquent, une combinaison

linéaire convenableg+λf1avecλ∈_Cvérifie⁴val(g+λf1)∈val(I) = val(J), val(g+λf1)>val(g)

et val_i(g+λf₁) >val_i(g). En recommençant autant de fois que nécessaire, on obtient de cette

façon un élément g−f avec f ∈I et val(g−f) >ν. Par conséquent, g−f ∈I et doncg ∈I,

ce qui est contradictoire. D’où le résultat.

4

En ajoutant éventuellement un élément de l’idéal conducteur deI de multi-valuation assez grande sig+λf

1

5.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES 97

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