Dualité entre l’idéal jacobien et les multi-résidus

∂h

i

∂x

j₁

. . . ^∂h

i

∂x

_jk+1

∂h

1

∂x

j₁

. . . ^∂h

1

∂x

_jk+1

..

. .._.

∂h

k

∂x

j₁

. . . ^∂h

k

∂x

_jk+1

= 0.

Par conséquent, δ_Jⁱ ∈Der^k(−logC). Soitω =P1

ha_Idx_I ∈ HomO

S

Der^k(−logC),Σ, avec

a_I∈OS. Alors pour tout J ⊆ {1, . . . , m} eti∈ {1, . . . , k} on a :

ω(δⁱ_J) =^X

I

1

h^aIdxI(δ

i

J) = ¹

h

k+1

X

`=1

(−1)^`−1 ∂h_i

∂xj

`

a_J\{j

_`

_}∈Σ.

Par (3.9), pour tout i ∈ {1, . . . , k}, on a dhi ∧ω = P

|J|=k+1ω(δ_Jⁱ)dxJ ∈ Ωe^k+1, et donc

ω∈Ω^k(logC). D’où le résultat : HomO

S

Der^k(−logC),Σ= Ω^k(logC).

3.2.4 Dualité entre l’idéal jacobien et les multi-résidus

Le lemme 5.4 de [Sch16] et le théorème3.1.40assurent que le dual de l’idéal jacobienJC est

le module des multi-résidusRC. Nous proposons ici une autre preuve de ce résultat, qui n’utilise

pas l’isomorphisme du théorème 3.1.40. La preuve que nous développons est la généralisation

d’une partie de la preuve de la proposition 3.4 de [GS14] au cas des intersections complètes.

Nous aurons besoin du lemme suivant :

Lemme 3.2.15 (Lemme d’Ischebeck, [Mat80, (15.E) Lemma 2]). Soit A un anneau

lo-cal noethérien et M 6= 0, N 6= 0 deux A-modules de type fini. Alors pour tout i < prof(M)−

dim(N), on a :

Extⁱ_A(N, M) = 0.

On peut à présent montrer le résultat suivant :

Lemme 3.2.16. Supposonsk>2. Alors Ext¹O

S

(JC,OS) = 0 et :

Ext¹O

S

(JC,Σ) = HomO

C

(JC,OC).

Preuve. On applique le foncteur HomO

S

(JC,−) à la suite exacte :

0→Σ−−→^×h OS→OC →0. (3.10)

On obtient :

0→HomO

S

(JC,OC)→Ext¹O

S

(JC,Σ)→Ext¹O

S

(JC,OS)→. . .

La profondeur de OS est m et comme JC est un idéal fractionnaire (voir définition2.3.15), la

dimension deJC est m−k= dimOC. D’après le lemme d’Ischebeck (voir lemme3.2.15), on a

Ext¹O

S

(JC,OS) = 0. D’où le résultat.

60 CHAPITRE 3. LIBERTÉ D’UNE INTERSECTION COMPLÈTE

SoitI ⊂MC un idéal fractionnaire. On rappelle que le dual deI vérifie (voir lemme2.3.16) :

I^∨ = HomO

C

(I,OC) ={f ∈MC ; f ·I ⊆OC}.

Proposition 3.2.17. Le dual de l’idéal jacobien est J∨

C =RC.

Preuve. On suppose k>2. Pourk= 1, on renvoie à [GS14, Proposition 3.4].

Considérons le complexe double HomO

S

Der^k(−logC),→Θ^k_S, h: Σ→OS

. On obtient un

diagramme semblable au dual du diagramme (3.8) de [GS14]. De plus, par le lemme 3.2.16,

Ext¹O

S

(JC,OS) = 0, et donc on obtient le diagramme commutatif suivant qui est basé sur les

suites exactes (3.5) et (3.10) :

0 0

0 HomOS Θ^k_S,Σ HomOS

Der^k(−logC),Σ Ext¹OS⁽JC,Σ) 0

0 HomOS ^ΘkS,OS

HomOS

Der^k(−logC),OS 0

0 HomOS(JC,OC) HomOS Θ^k_S,OC

HomOS

Der^k(−logC),OC Ext¹OS⁽JC,OC) 0

Ext¹OS⁽JC,Σ) 0 Ext¹OS

Der^k(−logC),Σ Ext²OS⁽JC,Σ) 0

0

λ

σ ^µ

·h

π _π

0

Montrons à l’aide de ce diagramme que J∨

C =RC.

Soit ϕ : Der^k(−logC) → Σ. Par une chasse au diagramme, nous allons lui associer une

application ψ : JC → OC. Par l’isomorphisme β de la preuve de la proposition 3.2.13, ϕ

correspond àωϕ = _h¹P

Iϕ(h∂xI)dxI ∈Ω^k(logC). Alors ϕ(δ) =ωϕ(δ).

Par l’application verticale,ϕest envoyée surhϕ: Der^k(−logC)→OS, δ7→hωϕ(δ). Comme

l’application horizontale λest un isomorphisme, il existe Φ : Θ^k_S →OS tel que Φ|_Der

k

(−logC) =

hϕ. Pour tout i∈ {1, . . . , k}, h_i∂x_I ∈Der^k(−logC) donc h_iΦ(∂x_I) = hϕ(h_i∂x_I) = h_iϕ(h∂x_I)

et donc Φ(∂xI) =ϕ(h∂xI) =hωϕ(∂xI).

Notons Φ : Θ^k_S → OC l’image de Φ par l’application verticale π. L’image de Φ par

l’appli-cation horizontale µ est zéro donc Φ est l’image par σ d’un élément ψ de HomO

S

(JC,OC).

Calculons-le. Comme ωϕ ∈ Ω^k(logC), on a d’après le théorème 3.1.15, gωϕ = ξ^dh

1

∧···∧dh

k

h +η

avec g∈OS qui induit un non diviseur de zéro deOC,ξ ∈OS etη∈Ωek. Alors :

gΦ(∂xI) =ghωϕ(∂xI) =ξ∂xI(dh1∧ · · · ∧dh_k)∈OC.

Commeg est un non diviseur de zéro deOC, on a

Φ(∂xI) =σ(ψ)(∂xI) =ψ(∂xI(dh1∧ · · · ∧dhk)) = res_C(ωϕ)∂xI(dh1∧ · · · ∧dhk).

L’applicationψ s’identifie donc à res_C(ω_ϕ) dansJ∨

C.

En identifiant les modules HomO

S

Der^k(−logC),Σ et Ω^k(logC), on obtient donc

l’appli-cation

res_C : Ω^k(logC)→J∨

C

ω7→res_C(ω)

Réciproquement, soit ψ : JC → OC. Son image par σ est une application Φ : Θ^k_S → OC

définie par Φ(δ) =ψ(δ(dh1∧ · · · ∧dh_k)). La surjectivité deπ assure l’existence d’un antécédent

Φ : Θ^k_S →OSde Φ. Par l’isomorphismeλ, on lui associe une applicationϕ_e: Der^k(−logC)→OS.

3.3. CARACTÉRISATIONS DE LA LIBERTÉ 61

Comme l’image de ϕ_e par π⁰ est nulle, elle provient d’une application ϕ : Der^k(−logC) → Σ

qui vérifie hϕ = ϕ_e. On identifie ϕ à une forme ωϕ ∈ Ω^k(logC). Le raisonnement précédent

montre que l’application ψ est donnée pour a ∈ JC par ψ(a) = res_C(ω_ϕ)a. Par conséquent,

res_C : Ω^k(logC)→J∨

C est surjective et doncJ∨

C =RC.

Remarque 3.2.18. De la même façon que dans [GS14, (3.8)], on peut considérer le complexe

double associé à

HomO

S

e

Ω^k,→Ω^k(logC), h: Σ→OS

.

On obtient alors la suite exacte longue :

0→Der^k(−logC)→Θ^k_S −→^σ Ext¹O

S

(RC,Σ)→Ext¹O

S

Ω^k(logC),Σ→Ext¹O

S

e

Ω^k,Σ→ · · ·

(3.11)

Par une preuve semblable à la preuve du lemme 3.2.16 et de [GS14, Proposition 3.4] on

obtient Ext¹O

S

(RC,Σ) =R∨

C etσ(δ) = dh₁∧ · · · ∧dh_k(δ).

3.3 Caractérisations de la liberté

Nous montrons dans ce paragraphe le résultat principal de ce chapitre, à savoir le

théo-rème3.3.7.

Nous avons rappelé dans le Chapitre2 plusieurs caractérisations de la liberté des diviseurs.

Nous commençons par donner la définition de liberté proposée par M. Granger et M. Schulze

dans [GS12], qui s’inspire clairement du théorème 2.2.10(voir définition3.3.1). On montre sans

difficultés que cette notion de liberté conduit à une condition sur la dimension projective du

module desk-champs de vecteurs multi-logarithmiques qui est alorsk−1 (voir proposition3.3.5).

Dans le cas des hypersurfaces, la liberté du module Der(−logD) est clairement équivalente

à la liberté de Ω¹(logD) grâce à la proposition2.1.23. La situation dans le cas d’une intersection

complète se complique, et le fait que la dimension projective de Der^k(−logC) estk−1 n’indique

a priori rien sur la dimension projective de Ω^k(logC).

L’objectif de ce paragraphe est de montrer que la liberté d’une intersection complète est

équivalente au fait que la dimension projective de Ω^k(logC) estk−1. Pour obtenir ce résultat,

nous étudions en détails la suite exacte longue obtenue en appliquant le foncteur HomO

S

(−,OS)

à la suite exacte courte 0→Ωe^k→Ω^k(logC)→RC →0.

Commençons par définir la notion de liberté pour une intersection complète. Dans tout ce

paragraphe, nous ne considérons que des germes d’espaces et de fonctions en un point p ∈ D,

que nous ne mentionnons pas.

Définition 3.3.1 ([GS12, Definition 5.1]). Une intersection complète réduiteCest dite libre

si elle est lisse ou si le lieu singulier muni de l’anneau OC/JC est un OC-module de

Cohen-Macaulay de dimension m−k−1.

Proposition 3.3.2. Une intersection complète réduite C est libre si et seulement si l’idéal J(h)

de OS engendré par les mineursk×kde la matrice jacobienne et h₁, . . . , h_k est un idéal parfait

de codimension k+ 1dans OS.

Preuve. La preuve est essentiellement la même que la preuve de la proposition 2.2.20. Comme

OS est régulier, il est Cohen-Macaulay et donc grade(J(h)) = ht(J(h)) =m−dim(OS/J(h)).

D’après la formule d’Auslander-Buchsbaum2.2.14, on a dimproj(OS/J(h)) =m−prof(OS/J(h)).

Par conséquent,J(h) est parfait de codimensionk+1 dansOSsi et seulement si dim(OS/J(h)) =

prof(OS/J(h)) =m−k−1, c’est-à-dire si et seulement siOS/J(h) est Cohen-Macaulay de

62 CHAPITRE 3. LIBERTÉ D’UNE INTERSECTION COMPLÈTE

Exemple 3.3.3. Soit C une courbe intersection complète réduite. Alors C est libre. En effet,

si C est lisse, elle est libre par définition, et dans le cas contraire, comme C est réduite et de

dimension 1, son lieu singulier est de dimension 0 et est donc Cohen-Macaulay.

La caractérisation des surfaces libres de _C³ de la proposition 2.2.23 se généralise aux

in-tersections complètes réduites de dimension deux avec une preuve essentiellement identique.

Proposition 3.3.4. Soit C ⊆ S un germe de surface intersection complète réduite. Soit J(h)

l’idéal deOS engendré par les équationsh₁, . . . , h_m−2 et par les mineurs maximaux de la matrice

jacobienne de (h1, . . . , hm−2). Alors C est libre si et seulement si J(h) est saturé.

Preuve. Par définition,Cest libre si et seulement siOS/J(h) est Cohen-Macaulay de dimension

1. Comme C est réduite, la dimension de OS/J(h) est au plus 1. Le lemme 2.2.22 nous donne

alors le résultat.

Les trois premiers points de la proposition suivante sont mentionnés dans [GS12]. On rappelle

que dimproj(M) désigne la dimension projective d’un OS-moduleM.

Proposition 3.3.5. SoitCune intersection complète réduite singulière. Les assertions suivantes

sont équivalentes :

1. C est libre,

2. l’idéal jacobien JC est un OC-module de Cohen-Macaulay,

3. dimprojDer^k(−logC)6k−1,

4. dimprojDer^k(−logC)=k−1.

Remarque 3.3.6. Comme JC est un idéal fractionnaire de OC, il est de dimensionm−k et

donc la condition 2.est équivalente àJC est unOC-module de Cohen-Macaulay maximal.

Nous ajoutons à la liste précédente les caractérisations suivantes, ce qui nous amène au

résultat principal de ce chapitre :

Théorème ^{3.3.7. On peut ajouter les assertions suivantes à la liste d’équivalences de la}

pro-position 3.3.5 :

5. dimprojΩ^k(logC)6k−1,

6. dimprojΩ^k(logC)=k−1.

En particulier, pour k = 1, on reconnaît plusieurs des caractérisations de la liberté des

hypersurfaces mentionnées dans le Chapitre 2, à savoir la définition2.2.3et le théorème2.2.10.

Nous verrons sur des exemples dans la partie6.1 que le nombre de générateurs du module

Ω^k(logC) dépend de l’intersection complète considérée et pas seulement deketm. En particulier,

cela indique qu’il semble plus difficile d’obtenir une généralisation du Critère de Saito2.2.8.

3.3. CARACTÉRISATIONS DE LA LIBERTÉ 63

Dans le document Singularités libres, formes et résidus logarithmiques (Page 60-64)