Dualité entre les résidus et l’idéal jacobien restreint

4.2 Liberté d’un espace réduit de Cohen-Macaulay

4.2.3 Dualité entre les résidus et l’idéal jacobien restreint

Notation 4.2.14. On noteJX/C =ⁿδ(α0)∈OX ; δ ∈Θ^k_S^o⊆OX.

Remarque 4.2.15. Etant donné que la restriction deβ_f àXest identiquement égal à 1, l’idéal

JX/C est en fait l’image de l’idéal jacobien JC de C par l’application de passage au quotient

OC →OX, c’est-à-dire l’idéal jacobien de C restreint à X.

Proposition 4.2.16. On a la suite exacte de OS-modules :

0→Der^k(−logX/C)→Θ^k_S →JX/C →0.

Preuve. La surjectivité vient de la définition de JX/C. De plus,δ(α₀) = 0 équivaut à δ(α₀)∈

IX, ce qui est la définition de Der^k(−logX/C).

Nous allons montrer l’analogue de la proposition3.2.17 :

Proposition 4.2.17. On aHomO

JX/C,OC

=RX.

Preuve. On supposek>2. D’après le lemme3.3.10, la dimension projective de Σ estk−1, et

donc sa profondeur estm−k+ 1 par la formule d’Auslander-Buchsbaum.

D’après le lemme d’Ischebeck 3.2.15on a HomO

JX/C,OS

= 0, HomO

JX/C,Σ= 0

et Ext¹O

JX/C,OS

= 0.

On considère le complexe double HomO

Der^k(−logX/C),→Θ^k_S, f : Σ→OS

. On obtient

le diagramme suivant :

0 0

0 HomOS ^Θ^kS,Σ

HomOS

Der^k(−logX/C),Σ Ext¹OS JX/C,Σ

0 0 HomOS ^Θ^kS,OS

HomOS

Der^k(−logX/C),OS 0

0 HomOS JX/C,OC

HomOS Θ^k_S,OC

HomOS

Der^k(−logX/C),OC Ext¹OS JX/C,OC

0 Ext¹OS JX/C,Σ

0 Ext¹OS

Der^k(−logX/C),Σ Ext²OS JX/C,Σ

0 Par une chasse au diagramme tout à fait semblable à celle de la preuve de la

proposi-tion 3.2.17, on associe à un morphismeϕ: Der^k(−logX/C)→Σ une application Φ : Θ^k_S →OC

qui provient d’une application ψ : JX/C → OC. Déterminons-la explicitement. Par

l’iso-morphisme de la proposition 4.2.12, ϕ correspond à ωϕ = ¹_f P

Iϕ(f ∂xI)dxI. Comme ωϕ ∈

Ω^k(logX/C), on a d’après la proposition4.2.6

gωϕ =ξ^α⁰

f ⁺^η

avec g∈OS qui induit un non diviseur de zéro deOC,ξ ∈OS etη∈Ωe^k_f. Alors :

86 CHAPITRE 4. LIBERTÉ D’UN ESPACE DE COHEN-MACAULAY

Comme de plusgest un non diviseur de zéro deOC, on a Φ(∂x_I) = res_C(ω_ϕ)∂x_I(α₀). On obtient

donc, en identifiant HomO

Der^k(−logX/C),Σavec Ω^k(logX/C), l’application

Ω^k(logX/C)→HomO

JX/C,OC

ω7→a7→res_C(ω)a

On remarque que l’applicationa7→res_C(ω)a∈OC est bien définie vu que res_C(ω) _Y = 0 par la

proposition4.2.7, donc sia+best un autre représentant deaavec b∈IX, res_C(ω)b= 0∈MC.

Réciproquement, par une chasse au diagramme analogue à celle de la preuve de la

proposi-tion 3.2.17on montre que :

HomO

JX/C,OC

=ⁿa∈JX/C 7→ρa;ρ∈res_C(Ω^k(logX/C))^o.

Soit

θ:











RX →HomO

JX/C,OC

ρ= res_X/C(ω)7→θ_ρ:a7→res_C(ω)a

Vérifions queθ est bien définie et est un isomorphisme deOC-modules. Si ω⁰ ∈Ω^k(logX/C)

vérifie res_X/C(ω⁰) = res_X/C(ω) alors ω⁰ =ω+η avec η ∈Ωe^k_f et donc res_C(ω) = res_C(ω⁰).

L’ap-plicationθ est donc bien définie. Siθ_ρ= 0, comme JX/C est un idéal fractionnaire deOX, cela

implique que res_C(ω) _X = 0∈MX, donc res_X/C(ω) = 0. D’où l’injectivité deθ. La surjectivité

est claire. On a donc bien un isomorphisme entre HomO

JX/C,OC

= HomO

JX/C,OC

etRX.

La proposition 4.2.17 met en évidence une dualité entre RX et JX/C à valeurs dans OC.

Le lemme suivant montre qu’en fait cette dualité est aussi à valeur dans le module dualisant

ω_X =ωn

X de X.

Lemme 4.2.18. SoitI un idéal fractionnaire de OX. Alors HomO

(I,OC) = HomO

(I, ω_X).

Preuve. On rappelle queωX est isomorphe àIY/IC. Soitϕ∈HomO

(I,OC), etg∈I. Alors

IX·ϕ(g) = 0∈OC donc ϕ(g)∈(IC :IX)O

, doncϕ(g)∈IY/IC.

4.2.4 Caractérisations de la liberté

Nous proposons dans ce paragraphe une notion de liberté pour les espaces de Cohen-Macaulay :

on dit que X est libre si l’idéal jacobien restreint JX/C est Cohen-Macaulay. Cette notion ne

dépend pas du choix de l’intersection complète réduite contenant X (voir proposition 4.2.21).

Nous généralisons ensuite les différentes caractérisations de la liberté données dans le chapitre3

aux espaces de Cohen-Macaulay (voir proposition 4.2.6et théorème4.2.22).

Grâce aux précédents résultats de ce chapitre, les preuves des énoncés de ce paragraphe sont

analogues aux preuves du paragraphe 3.3.3.

On suppose dorénavant que OX est un anneau de Cohen-Macaulay. Cette hypothèse est

nécessaire pour la proposition 4.2.6. On fixe une suite régulière (f₁, . . . , f_k) ⊆ IX telle que

l’idéalIC = (f1, . . . , fk) est radical. On noteC l’intersection complète correspondante.

Définition 4.2.19. On dit que X est libre siJX/C est un OX-module de Cohen-Macaulay. Il

est alors Cohen-Macaulay maximal.

4.2. LIBERTÉ D’UN ESPACE RÉDUIT DE COHEN-MACAULAY 87

Remarque 4.2.20. On rappelle queJX/C est un idéal fractionnaire deOX, donc de dimension

m−k. Vu que la profondeur (respectivement la dimension) deJX/C vu commeOX-module est

égale à sa profondeur (respectivement sa dimension) comme OC-module, on en déduit que X

est libre dans C si et seulement siJX/C est Cohen-Macaulay maximal vu comme OC-module

ou commeOX-module.

Proposition 4.2.21. La notion de liberté de la définition 4.2.19 ne dépend pas du choix de

l’intersection complète contenant X. Autrement dit, s’il existe une intersection complète réduite

réduite C contenant X telle que JX/C est Cohen-Macaulay, alors pour toute intersection

com-plète réduite C⁰ contenant X,JX/C

est aussi Cohen-Macaulay.

Preuve. Soit C et C⁰ deux intersections complètes réduites contenant X. Par le lemme 4.2.1

appliqué à l’espace équidimensionnel réduit défini parC∪C⁰, il existe une intersection complète

réduite C⁰⁰ contenantC etC⁰. On peut donc se ramener au casC⊆C⁰.

SoitA une matrice de passage de (f₁, . . . , f_k) vers (f₁⁰, . . . , f_k⁰). Alors il existeν ∈ICΩ^k_S tel

que

df₁⁰ ∧ · · · ∧df_k⁰ = det(A)df1∧ · · · ∧dfk+ν.

Par conséquent, on a : JX/C

= det(A)JX/C ⊆ OX. De plus, det(A) est un non diviseur de

zéro de OX, vu que X est contenu dans C et C⁰ et qu’aucune composante irréductible de X

n’est contenue dans le lieu singulier de C ou C⁰. On en déduit que les OX-modules JX/C

et

JX/C sont isomorphes, d’où le résultat.

Théorème ^4.2.22. ^{Les assertions suivantes sont équivalentes :}

1. X est libre.

2. le OX-module OX/JX/C est Cohen-Macaulay de dimension m−k−1.

3. l’idéal J(f , h) engendré par les mineurs k×k de la matrice jacobienne de (f₁, . . . , f_k) et

par les équations (h1, . . . , hr) est un idéal parfait de codimension k+ 1 dans OS.

4. dimproj(Der^k(−logX/C))6k−1

5. dimproj(Der^k(−logX/C)) =k−1

6. dimproj(Ω^k(logX/C))6k−1

7. dimproj(Ω^k(logX/C)) =k−1

Preuve des équivalences 1. à 5.Les preuves sont essentiellement les mêmes que les preuves

des propositions 3.3.5et3.3.2.

L’équivalence 1. ⇐⇒ 2.vient de la suite exacte

0→JX/C →OX →OX/JX/C →0.

Comme on suppose que X est Cohen-Macaulay, la profondeur de OX est n. Comme JX/C

contient des non diviseurs de zéro de OX, dim(OX/JX/C) 6 n−1. Le lemme de la

profon-deur 2.2.13donne alors l’équivalence voulue.

L’équivalence 2. ⇐⇒ 3.se montre de la même façon que la proposition3.3.2.

Pour les équivalences restantes, on considère la suite exacte

0→Der^k(−logX/C)→Θ^k_S →JX/C →0.

La profondeur de Θ^k_S estm > n>prof(JX/C), donc prof(Der^k(−logX/C)) = prof(JX/C) + 1.

On conclut en utilisant la formule d’Auslander-Buchsbaum pour relier la dimension projective

de Der^k(−logX/C) à sa profondeur.

88 CHAPITRE 4. LIBERTÉ D’UN ESPACE DE COHEN-MACAULAY

La preuve des équivalences 1. ⇐⇒ 6. ⇐⇒ 7.est analogue à la preuve du théorème3.3.7,

comme nous allons le voir.

Le lemme suivant généralise la proposition3.3.19.

Lemme 4.2.23. Sidimproj(Ω^k(logX/C))6k−1alors RX est unOX-module (etOC-module)

de Cohen-Macaulay maximal. Si X est libre, alors dimproj(Ω^k(logX/C))6k.

Preuve. On considère la suite exacte 0→Ωe^k_f →Ω^k(logX/C)→RX →0.

On montre de même que dans la preuve de la proposition3.3.19que si dimproj(Ω^k(logX/C))6

k−1 alors prof(RX) =m−k, et doncRX est Cohen-Macaulay maximal.

SiX est libre, alors JX/C est un OC-module de Cohen-Macaulay maximal. On déduit du

théorème 2.3.20 et de la proposition 4.2.17 que prof(RX) = m−k. La fin de la preuve est

identique à la preuve de la proposition 3.3.19.

On applique le foncteur HomO

(−,OS) à la suite exacte courte

0→Ωe^k_f →Ω^k(logX/C)→RX →0.

On obtient une suite exacte longue dans laquelle les termes impliquantΩek

f ont déjà été calculés

dans le lemme 3.3.11. De plus, le lemme 3.3.12 est valable pour tout OC-module, donc en

particulier pour RX.

Remarque 4.2.24. On rappelle que le module dualisant deXestω_X =ω^m_X⁻^k= Ext^kO

(OX,Ω^m_S)

(voir corollaire2.3.27). Dans le cas d’un espaceXde Cohen-Macaulay, le foncteur HomO

(−, ω_X)

est dualisant sur les OX-modules Cohen-Macaulay maximaux (voir [Eis95, Theorem 21.21]).

Nous avons déjà vu dans le lemme4.2.18que pour les idéaux fractionnairesIdeX, HomO

(I,OC) =

HomO

(I, ω_X). En particulier, vu que Ext^kO

(I,OS) = HomO

(I,OC), on a aussi Ext^kO

(I,OS) =

HomO

(I, ωX).

Proposition 4.2.25. On obtient la suite exacte deOS-modules :

· · · →0→Ext^kOS⁻¹ ^Ω^k^(log^X/C⁾^,OS

→Θ^k_S⊗_OSOC α

−→HomOC⁽RX,OC)→Ext^kOS ^Ω^k^(log^X/C⁾^,OS

→0→. . .

De plus, le morphisme α est défini pour δ⊗a∈Θ^k_S⊗O

OC par

α(δ⊗a) =ρ7→aδ(α₀)ρ.

Preuve. Le seul point à montrer est l’expression de α, qui se montre exactement de la même

manière que la proposition3.3.14, en remplaçant Ω^k(logC) par Ω^k(logX/C) etRC parRX et

en utilisant la caractérisation4.2.6des formes multi-logarithmiques, c’est-à-dire queα₀remplace

dh1∧ · · · ∧dhk.

Nous sommes maintenant en mesure de terminer la preuve du théorème4.2.22.

Preuve (des équivalences 1. ⇐⇒ 6. ⇐⇒ 7.). Supposons que dimproj(Ω^k(logX/C)) 6

k−1. Cela implique que l’applicationα de la proposition4.2.25est surjective, et donc le module

HomO

(RX,OC) est isomorphe à JX/C. D’après le lemme 4.2.23, RX est un OC-module de

Cohen-Macaulay maximal. On déduit du théorème 2.3.20 que JX/C est un OC-module de

Cohen-Macaulay maximal, et donc X est libre dansC.

Supposons maintenant queX est libre dansC. Alors d’après le théorème2.3.20et la

propo-sition 4.2.17 on a HomO

(RX,OC) = JX/C. Par conséquent, l’application α est surjective, et

donc Ext^kO

Ω^k(logX/C),OS

= 0. Comme d’après le lemme 4.2.23, dimproj(Ω^k(logX/C))6

k, on en déduit de même que dans le paragraphe3.3.3 que dimproj(Ω^k(logX/C)) =k−1.

4.2. LIBERTÉ D’UN ESPACE RÉDUIT DE COHEN-MACAULAY 89

Le corollaire suivant donne d’autres caractérisations de la liberté faisant intervenir le module

des résidus.

Corollaire 4.2.26. Soit X un espace réduit de Cohen-Macaulay. Les assertions suivantes sont

équivalentes :

1. X est libre.

2. dimproj(RX)6= dimproj(Ω^k(logX/C)).

3. RX est Cohen-Macaulay et HomO

(RX,OC) =JX/C.

Preuve. On considère la suite exacte 0 → Ωe^k_f → Ω^k(logX/C) → RX → 0. La profondeur

de Ωe^k_f est m −k+ 1. Comme prof(RX) 6 m −k, le lemme de la profondeur assure que

prof(Ω^k(logX/C))6= prof(RX) si et seulement siRX est de profondeurm−ket Ω^k(logX/C) est

de profondeur au moinsm−k+ 1, ce qui équivaut à la liberté deX par la Formule

d’Auslander-Buchsbaum et le théorème 4.2.22.

L’implication 1.⇒3.est donnée par le théorème2.3.20et le lemme4.2.23. Réciproquement,

si HomO

(RX,OC) = JX/C, et RX est Cohen-Macaulay, alors par le théorème 2.3.20,JX/C

est Cohen-Macaulay et donc X est libre.

Remarque 4.2.27. La condition que RX est Cohen-Macaulay n’est pas forcément vérifiée.

Un exemple d’hypersurface est donné dans [OT95, Example 5.6]. Il s’agit de la réunion D de

15 hyperplans de _C⁴, définie par le produit des 15 formes linéaires a₁x+a₂y+a₃z+a₄t où

a_i ∈ {0,1}, et tous les a_i ne sont pas simultanément nuls. Un calcul avec _Singular donne

comme résolution projective minimale de Ω¹(logD)

0→O1

S→O4

S →O7

S →Ω¹(logD)→0.

En particulier, on en déduit que prof(Ω1(logD)) = 2, et donc prof(RD) = 2.

La proposition 2.2.23se généralise de la façon suivante :

Proposition 4.2.28. Soit X ⊆S un germe de surface Cohen-Macaulay réduite défini par des

équations (h₁, . . . , h_r), et C une surface intersection complète réduite contenant X définie par

des équations (f₁, . . . , f_m−2).

Soit J(f , h) l’idéal de OS engendré par les les mineurs maximaux de la matrice jacobienne

de (f₁, . . . , f_m−2) et h₁, . . . , h_r. Alors X est libre si et seulement si J(f , h) est saturé.

Preuve. Par le théorème 4.2.22,C est libre si et seulement si OS/J(f , h) est Cohen-Macaulay

de dimension 1. CommeCest réduite, la dimension deOS/J(f , h) est au plus 1. Le lemme2.2.22

nous donne alors le résultat.

Les conséquences de la liberté que nous avons indiquées dans le chapitre 3 s’étendent aux

espaces de Cohen-Macaulay libres, avec une preuve analogue.

Proposition 4.2.29. SoitX un espace de Cohen-Macaulay libre de codimension au moins deux.

Alors :

HomO

Ω^k(logX/C),OS

=fΘ^k_S,

Ext^kO⁻

¹

Ω^k(logX/C),OS

= ^Der

k(−logX/C)

Pk

i=1fiΘ^k_S

,

et pour tout q /∈ {0, k−1},Ext^qO

Ω^k(logX/C),OS

90 CHAPITRE 4. LIBERTÉ D’UN ESPACE DE COHEN-MACAULAY

De plus,

HomO

Der^k(−logX/C),OS

= Ω^k_S,

Ext^kO⁻

¹

Der^k(−logX/C),OS

'RX,

et pour toutq /∈ {0, k−1}, Ext^qO

Der^k(−logX/C),OS

= 0.

Remarque 4.2.30. De même que dans le cas des intersections complètes, siX n’est pas libre,

les énoncés portant sur les modules Ext^qO

Ω^k(logX/C),OS

et Ext^qO

Der^k(−logX/C),OS

pour q6k−1 restent vrais.

Dans le document Singularités libres, formes et résidus logarithmiques (Page 86-91)

Dualité entre les résidus et l’idéal jacobien restreint

4.2 Liberté d’un espace réduit de Cohen-Macaulay

4.2.3 Dualité entre les résidus et l’idéal jacobien restreint

Notation 4.2.14. On noteJX/C =nδ(α0)∈OX ; δ ∈ΘkSo⊆OX.

Remarque 4.2.15. Etant donné que la restriction deβf àXest identiquement égal à 1, l’idéal

JX/C est en fait l’image de l’idéal jacobien JC de C par l’application de passage au quotient

OC →OX, c’est-à-dire l’idéal jacobien de C restreint à X.

Proposition 4.2.16. On a la suite exacte de OS-modules :

0→Derk(−logX/C)→ΘkS →JX/C →0.

Preuve. La surjectivité vient de la définition de JX/C. De plus,δ(α0) = 0 équivaut à δ(α0)∈

IX, ce qui est la définition de Derk(−logX/C).

Nous allons montrer l’analogue de la proposition3.2.17 :

Proposition 4.2.17. On aHomO

JX/C,OC

=RX.

Preuve. On supposek>2. D’après le lemme3.3.10, la dimension projective de Σ estk−1, et

donc sa profondeur estm−k+ 1 par la formule d’Auslander-Buchsbaum.

D’après le lemme d’Ischebeck 3.2.15on a HomO

JX/C,OS

= 0, HomO

JX/C,Σ= 0

et Ext1O

JX/C,OS

= 0.

On considère le complexe double HomO

Derk(−logX/C),→ΘkS, f : Σ→OS

. On obtient

le diagramme suivant :

0 0

0 HomOS ΘkS,Σ

HomOS

Derk(−logX/C),Σ Ext1OS JX/C,Σ

0

0 HomOS ΘkS,OS

HomOS

Derk(−logX/C),OS 0

0 HomOS JX/C,OC

HomOS ΘkS,OC

HomOS

Derk(−logX/C),OC Ext1OS JX/C,OC

0

Ext1OS JX/C,Σ

0 Ext1OS

Derk(−logX/C),Σ Ext2OS JX/C,Σ

0

0

Par une chasse au diagramme tout à fait semblable à celle de la preuve de la

proposi-tion 3.2.17, on associe à un morphismeϕ: Derk(−logX/C)→Σ une application Φ : ΘkS →OC

qui provient d’une application ψ : JX/C → OC. Déterminons-la explicitement. Par

l’iso-morphisme de la proposition 4.2.12, ϕ correspond à ωϕ = 1f P

Iϕ(f ∂xI)dxI. Comme ωϕ ∈

Ωk(logX/C), on a d’après la proposition4.2.6

gωϕ =ξα0

f +η

avec g∈OS qui induit un non diviseur de zéro deOC,ξ ∈OS etη∈Ωekf. Alors :

86 CHAPITRE 4. LIBERTÉ D’UN ESPACE DE COHEN-MACAULAY

Comme de plusgest un non diviseur de zéro deOC, on a Φ(∂xI) = resC(ωϕ)∂xI(α0). On obtient

donc, en identifiant HomO

Derk(−logX/C),Σavec Ωk(logX/C), l’application

Ωk(logX/C)→HomO

JX/C,OC

ω7→a7→resC(ω)a

On remarque que l’applicationa7→resC(ω)a∈OC est bien définie vu que resC(ω) Y = 0 par la

proposition4.2.7, donc sia+best un autre représentant deaavec b∈IX, resC(ω)b= 0∈MC.

Réciproquement, par une chasse au diagramme analogue à celle de la preuve de la

proposi-tion 3.2.17on montre que :

HomO

JX/C,OC

=na∈JX/C 7→ρa;ρ∈resC(Ωk(logX/C))o.

Soit

θ:











RX →HomO

JX/C,OC

ρ= resX/C(ω)7→θρ:a7→resC(ω)a

Vérifions queθ est bien définie et est un isomorphisme deOC-modules. Si ω0 ∈Ωk(logX/C)

Notation 4.2.14. On noteJX/C =ⁿδ(α0)∈OX ; δ ∈Θ^k_S^o⊆OX.

Remarque 4.2.15. Etant donné que la restriction deβ_f àXest identiquement égal à 1, l’idéal

0→Der^k(−logX/C)→Θ^k_S →JX/C →0.

Preuve. La surjectivité vient de la définition de JX/C. De plus,δ(α₀) = 0 équivaut à δ(α₀)∈

IX, ce qui est la définition de Der^k(−logX/C).

et Ext¹O

Der^k(−logX/C),→Θ^k_S, f : Σ→OS

0 HomOS ^Θ^kS,Σ

Der^k(−logX/C),Σ Ext¹OS JX/C,Σ

0 HomOS ^Θ^kS,OS

Der^k(−logX/C),OS 0

HomOS Θ^k_S,OC

Der^k(−logX/C),OC Ext¹OS JX/C,OC

Ext¹OS JX/C,Σ

0 Ext¹OS

Der^k(−logX/C),Σ Ext²OS JX/C,Σ

proposi-tion 3.2.17, on associe à un morphismeϕ: Der^k(−logX/C)→Σ une application Φ : Θ^k_S →OC

l’iso-morphisme de la proposition 4.2.12, ϕ correspond à ωϕ = ¹_f P

Ω^k(logX/C), on a d’après la proposition4.2.6

gωϕ =ξ^α⁰

f ⁺^η

avec g∈OS qui induit un non diviseur de zéro deOC,ξ ∈OS etη∈Ωe^k_f. Alors :

Comme de plusgest un non diviseur de zéro deOC, on a Φ(∂x_I) = res_C(ω_ϕ)∂x_I(α₀). On obtient

Der^k(−logX/C),Σavec Ω^k(logX/C), l’application

Ω^k(logX/C)→HomO

ω7→a7→res_C(ω)a

On remarque que l’applicationa7→res_C(ω)a∈OC est bien définie vu que res_C(ω) _Y = 0 par la

proposition4.2.7, donc sia+best un autre représentant deaavec b∈IX, res_C(ω)b= 0∈MC.

=ⁿa∈JX/C 7→ρa;ρ∈res_C(Ω^k(logX/C))^o.

ρ= res_X/C(ω)7→θ_ρ:a7→res_C(ω)a

Vérifions queθ est bien définie et est un isomorphisme deOC-modules. Si ω⁰ ∈Ω^k(logX/C)

vérifie res_X/C(ω⁰) = res_X/C(ω) alors ω⁰ =ω+η avec η ∈Ωe^k_f et donc res_C(ω) = res_C(ω⁰).

L’ap-plicationθ est donc bien définie. Siθ_ρ= 0, comme JX/C est un idéal fractionnaire deOX, cela

implique que res_C(ω) _X = 0∈MX, donc res_X/C(ω) = 0. D’où l’injectivité deθ. La surjectivité

ω_X =ωn

(I, ω_X).

nécessaire pour la proposition 4.2.6. On fixe une suite régulière (f₁, . . . , f_k) ⊆ IX telle que

com-plète réduite C⁰ contenant X,JX/C

Preuve. Soit C et C⁰ deux intersections complètes réduites contenant X. Par le lemme 4.2.1

appliqué à l’espace équidimensionnel réduit défini parC∪C⁰, il existe une intersection complète

réduite C⁰⁰ contenantC etC⁰. On peut donc se ramener au casC⊆C⁰.