Après avoir étudié l’aspect lié à l’intégration temporelle, on s’attache maintenant à évaluer la précision de l’algorithme proposé. Pour cela, on analyse les solutions de la zone locale en fin de cycle de chargement, puis plus localement sur des éléments précis, répartis à diverses endroits de la (cf. figure 4.16a), sur l’ensemble du cycle. Dans un premier temps, les calculs sont menés sur le modèle mettant en jeu des maillages conformes sur l’interface Γ. L’extension aux modèles non-conformes est présentée dans la section 3.
On utilise, comme référence pour l’évaluation de la précision, un calcul monoli-thique intégré à∆pcut = 1e−5utilisant la pré-discrétisation globale, intégrée à∆pcut= 1e−4, afin d’être compatible avec l’algorithme global/local au moins sur ces pas de temps initiaux.
2.3.1 Précision en fin de cycle
On compare les solutions obtenues en fin de cycle sur la zone d’analyse locale. La comparaison s’effectue sur le champ de contraintes de von Mises ainsi que sur la plas-ticité cumulée, afin de ne pas surcharger le document, car la plasplas-ticité lente est moins discriminante. Les solutions de référence correspondantes sont présentées sur la fi-gure 4.13.
Les solutions issues de l’analyse par submodeling sont disponibles sur la figure A.1 en annexes. La zone plastifiée est largement sous-évaluée et l’écart à la référence est du même ordre de grandeur que la solution elle même. La mauvaise estimation de la zone plastique entraîne un champ de contraintes résiduelles, en fin de cycle, différent de la référence, tant en localisation qu’en niveau. L’erreur commise sur l’élément le plus chargé en fin de cycle (cf. tableau 4.4) est respectivement de 8.9% et 38% pour la contrainte de von Mises et la plasticité cumulée rapide. Par cette approche, ces gran-deurs d’intérêt ne sont pas assez précises pour être utilisées dans les modèles de durée de vie. Malgré tout, il faut indiquer que le submodeling est la méthode la plus rapide, ce qui en fait une technique répandue dans l’industrie.
M ises
[M P a]
(a) Contrainte de Von Mises
p
r[ ]
(b) Plasticité rapide
FIGURE4.13 – Solution de l’approche monolithique en fin de cycle (∆pr = 1e−5) une localisation excellente et un niveau de solution très correct. L’erreur commise sur l’élément le plus chargé est de 0.21% pour la contrainte de von Mises et de 0.8% sur la plasticité cumulée ce qui est correcte compte tenu de la différence d’intégration entre la référence et l’approche global/local. Le temps de calcul reste raisonnable pour une telle analyse et comme il sera présenté dans la section 2.5, il peut être réduit de manière importante, ce qui en fait le couplage le plus performant.
Le couplage fort est d’un premier abord le schéma le plus instinctif, mais comme il a été détaillé précédemment, il fait apparaître un problème de pas de temps lors des chargements décroissants. Dans ce type d’évolution, même avec une intégration à ∆pcut = 1e−4, les pas de temps effectifs sont réalisés pour des incréments de plasticité de l’ordre de 1e−6. Ainsi même la solution de référence se retrouve sous-discrétisée, par rapport à celle du couplage fort dans cette phase de descente. Cela engendre un écart plus important qu’avec le couplage faible pour la référence utilisée (cf. figures A.2 en annexes). La sur-discrétisation lors de la descente accentue les phénomènes de redis-tributions entre les trous, avec un niveau maximal de la plasticité cumulée plus faible dans le congé mais plus élevé entre les détails structuraux. Le champ de contraintes de von Mises est lui aussi impacté et présente un écart plus important du à la différence de la solution plastique.
Comme ce gain de précision, n’est pas forcément nécessaire pour les calculs visés, au regard du sur-coût d’un tel couplage et des problèmes potentiels de robustesse, ce couplage n’est pas le plus performant pour notre application. Lors de calculs précé-dents, pour lesquels la pré-discrétisation initiale était plus grossière et une gestion des cutbacks plus lâche, ce couplage s’avérait plus précis (bien que toujours plus coûteux) que son homologue faible. Il ne faut donc pas le renier totalement.
M ises
[M P a]
(a) Champ complet en contrainte de Mises
M ises
[M P a]
(b) Écart en contrainte de Mises
FIGURE4.14 – Précision en fin de cycle obtenue en couplage faible global/local
un indicateur plus global sous la forme d’un écart relatif à la référence utilisée, pour l’élément le plus chargé (élément #436 cf. figure 4.16a). Pour une quantité d’intérêt X , la contrainte de von Mises et les plasticités cumulées rapides et lentes, l’écart relatif a pour expression :
η(X ) =¡Xmax− XRe f
¢
XRe f × 100 (4.1)
Les résultats pour chaque approche et pour les deux seuils de raffinement temporel sont rapportés dans le tableau 4.4.
Approches Submodeling C. Faible C. Fort Réf. 1e−4 Réf. 1e−5
Champs Valeur η [%] Valeur η [%] Valeur η [%] Valeur Valeur
Mises 610.2 6.3 649.9 0.16 650.1 0.12 649.9 650.9
pr 6.54e−3 38 1.06e−2 0.8 1.05e−2 0.08 1.06e−2 1.05e−2
TABLE4.4 – Écart sur un cycle par rapport référence pour l’élément #436
Les écarts à la référence sont, à part pour l’approche par submodeling, du même ordre de grandeur que ceux obtenus avec la référence intégrée à∆pcut= 1e−4, c’est-à-dire d’environ 1%. Comme davantage de pas de temps sont utilisés dans les couplages faibles et forts, les solutions obtenues par l’analyse global/local sont situées entre les approches monolithiques intégrées à∆pcut = 1e−4 et 1e−5. La solution du couplage fort tend fortement vers la précision de l’approche monolithique intégrée à 1e−5, grâce aux nombreux pas de temps ajoutés lors de la phase de descente. Mais la différence de
p
r[ ]
(a) Champ complet en plasticité rapide
p
r[ ]
(b) Écart en plasticité rapide
FIGURE4.15 – Précision en fin de cycle obtenue en couplage faible global/local
pas de temps, effectués lors de la phase de montée, conduit à un écart que l’on ne parvient pas à corriger.
2.3.2 Résultats sur un cycle de chargement
On post-traite ici l’écart commis en distinguant certaines zones de la structure (cf. figure 4.16) :
— Les zones directement chargées par les sollicitations extérieures (éléments [41, 436, 460) sont bien évaluées par les différentes approches, mêmes avec le sub-modeling,
— Les zones de redistribution, notamment [9756] entre les trous, sont plus diffi-ciles à évaluer par les méthodes itératives et l’apport du couplage fort est ici utile. Le niveau de plasticité (début de courbe de comportement sensible à l’in-tégration) y est aussi plus bas, ainsi il dépend principalement de la bonne éva-luation de la solution autour de la zone à des niveaux très élevés de précision. Pour l’élément 436, on distingue deux phases, celle de montée dans laquelle les couplages faibles et forts sont relativement proches. Le faible est un peu plus précis, car il effectue un nombre de pas de temps légèrement supérieur au fort. Il est ainsi plus proche de la référence utilisée. Une fois la phase de descente atteinte, le couplage fort introduit plus de pas de temps et sa solution tend vers la référence. Il finit par être plus précis, en fin de cycle, que le couplage faible. Au niveau du maximum du cycle, à 1500s, on remarque un pic d’erreur sur la contrainte. En effet, comme la plasticité est moins bien évaluée entre les couplages et la référence, le champ de contrainte, de type résiduel, dépend principalement du champ plastique ce qui conduit à un accroisse-ment local de l’écart lors de la décharge.
436, 460 9756 41
(a) Local conforme
669 517 10401 11724 10775 (b) Local non-conforme
FIGURE4.16 – Maillages locaux utilisés et éléments post-traités
L’élément 9756 est représentatif des zones de redistribution entre les détails struc-turaux qui sont caractérisées par des champs plastiques moins élevés, mais plus sen-sibles à l’intégration temporelle. En début de cycle, les deux couplages sont très proches, mais lors de la deuxième décharge située à 1500s, on constate qu’un écart vif appa-raît. En observant les cycles d’intégration sur les figures 4.3b, pour les approches glo-bal/local, et 2.17b pour la référence, on remarque que seul le couplage fort réalise des pas de temps supplémentaires dans cette zone. Ces deux steps additionnels modifient la solution plastique, dans ces zones de redistribution, et introduisent un écart avec la référence, même intégrée très finement.
Lors de la descente en fin de cycle, le couplage fort réalise des pas de temps cor-respondant à des incréments de plasticité de l’ordre de 1e−6. Si pour l’élément 436 ce raffinement réduit l’écart avec la référence, il éloigne un peu plus les solutions, forte et de référence, dans les zones de redistribution.