Formulation par éléments finis

On présente désormais l’algorithme du couplage global/local, d’un point de vue simplifié purement éléments finis, permettant une implémentation quasiment directe.

2.3.1 Condensation en problème d’interface

Dans l’algorithme proposé, seules des grandeurs liées à l’interfaceΓ sont échan-gées : les déplacements u^G_Γ, ainsi que les efforts de réactions correspondant selon les modèles λL, λA. Il n’y a donc aucune grandeur intégrée sur le domaine à transférer. En outre, on peut représenter le modèle auxiliaire avec la représentation la plus gros-sière que l’on ait, car cela n’a aucune incidence sur la limite. Cependant, la vitesse de convergence est d’autant plus faible que le modèle auxiliaire se départ du modèle local. On considère pour chaque modèle mis en jeu X ∈ (G, A, L), le vecteur nodal asso-cié au champ de déplacementu^Xetf^Xle vecteur des forces généralisées. On introduit des grandeurs dites d’interface, car uniquement définies sur la frontièreΓ, comme les efforts de réactions nodauxλ^X ou encore la charge corrective globaleP appliquée sur la frontière intérieure au modèle global. La matrice de rigidité linéarisée de chaque modèle est notéeK^X. De même,u^X_Γ est un vecteur de déplacements restreint à l’in-terface.

Remarque : À cause de la formulation éléments finis, il convient de préciser que les réactions nodalesλne sont pas directement la discrétisation spatiale des multiplica-teurs de Lagrange. En effet, pour un degré de liberté j associé à la fonction de forme

φ(i), on a : λ^X_j = Z ΩX ¡ σ_h:ε(φ_j) −f·φ_j¢ d x − Z ∂nΩX g·φ_id S = Z Γ (σ_h^X·n^X) ·φ_jd S − Z ΩX ¡div(σ_h) +f¢ ·φ_jd x + Z ∂nΩX ¡ σ_h·n^X−g¢ ·φ_jd S (3.20)

Oùn^X désigne la normale sortante au domaine X etσ_hest le tenseur des contraintes obtenues par le calcul éléments finis. Pour obtenirλ, on peut alors adopter diverses approches :

— La plupart des codes commerciaux proposent une sortie standard permettant d’obtenirλ. Dans Abaqus/Standard cette quantité n’est disponible que sur des nœuds soumis à des conditions limites de Dirichlet. Ainsi les efforts de réac-tions ne sont pas disponibles sur la frontière intérieure du modèle global, car seule une condition de Neumann est appliquée. C’est pourquoi l’utilisation du problème auxiliaire devient intéressante car l’interfaceΓ est soumises à des dé-placements imposés issus de la solution globale, ce qui permet d’obtenir les efforts de réaction nodaux correspondant.

— Certains codes commerciaux, comme C od e_Ast er , offrent la possibilité de cal-culer une telle quantité facilement, pour n’importe quel nœud du modèle. Dans le cas contraire il faut implémenter la formule (3.20) et calculer les efforts de ré-actions à partir du champ de contrainte éléments finis.

— Cette quantité peut être obtenue par post-traitement, mais cela peut s’avérer fastidieux et surtout cela peut ralentir l’algorithme puisqu’une telle opération doit être réalisée plusieurs fois par itération.

Réduire l’approche global/local à un problème d’interface, conduit à rechercher le couple de solution d’interfaceu^G_Γ,ietP_i. La solution éléments finis sur chaque modèle en découle ensuite directement, par simple résolution.

2.3.2 Résolution

On peut caractériser les différents problèmes à résoudre, uniquement en fonction du champ de déplacement d’interfaceu^X_Γ,i commun à tous les problèmes à une itéra-tion i donnée, de leurs efforts de réacitéra-tions respectifsλ^X et des efforts extérieursf^X. Dans ce but, on introduit l’opérateur discret non-linéaireS^X, dit de « Dirichlet vers Neumann », qui permet d’obtenir les efforts d’interface à partir des déplacements de cette même frontière. Ainsi pour chaque modèle de la stratégie, il consiste en pratique à la résolution du problème éléments finis :

       λ^L=S^L¡

u_Γ;f^L¢ : Probleme local` λ^A=S^A¡

u_Γ;f^A¢ : Probleme auxiliaire` λ<sup>C</sup>=S<sup>C¡</sup>u<sub>Γ</sub>;f<sup>C</sup>¢ : Probleme compl` ementaire´

Du fait des non-linéarités matérielles ou géométriques comme en grandes déforma-tions (cf. chapitre 4), les chargements extérieurs doivent être pris en compte à chaque résolution, ce qui nécessite d’adapter les versions incrémentales de l’algorithme pro-posées dans la littérature [Gendre et al., 2009, Liu et al., 2014, Duval et al., 2016].

Grâce à l’additivité de l’intégrale sur un domaine, on peut proposer une décompo-sition des problèmes de référence et global telle que :

(

S^R=S^C+S^L

S^G=S^C+S^{A (3.22)}

Ainsi les problèmes de référence (R) et global (G) peuvent s’écrire de manière conden-sée comme suit :

( Trouveru_Γ/S^R¡ u_Γ;f^R¢ =S^C¡ u_Γ;f^C¢ +S^L¡ u_Γ;f^L¢ = 0 Trouveru_Γ/S^G¡ u_Γ;f^G¢ =S^C¡ u_Γ;f^C¢ +S^A¡ u_Γ;f^A¢ =P ^(3.23)

Les champs intérieurs, notamment de déplacements, sont définis implicitement à par-tir de leur restriction d’interface, car la solution complète est obtenue lors de la réso-lution du problème. La grandeur d’interface n’est en réalité qu’une extraction de la solution complète éléments finis.

On introduit pour la description de l’algorithme, les méthodes liées à la résolution des problèmes :

— [u^G] =ResolutionGlobale´ (P ;f^G),u^Gest le champ global complet défini sur le domaineΩG, en particulier on a la restriction sur la frontière telle que :u^G_Γ= S^G−1¡

P ;f^G¢.

— [u^L,λ^L] =ResolutionLocale´ (u_Γ;f^L),u^Lest défini sur le domaine local d’in-térêtΩLavec conditions de Dirichlet sur la frontièreΓ :λ^L=S^L¡

u^G_Γ;f^L¢. — [u^A,λ^A] =ResolutionAuxiliaire´ (u_Γ;f^A),u^Aest défini sur le domaine

auxi-liaireΩAavec conditions de Dirichlet sur la frontièreΓ :λ^A=S^A¡

u^G_Γ; f^A¢. On rappelle que si le logiciel utilisé le permet, cette résolution peut être rempla-cée par un post-traitement du champ de contrainte issu de l’analyse globale via (3.20) puisque seulλ^Aest utile à l’algorithme.

2.3.3 Implémentation proposée

Suite aux développements effectués ci-dessus, on propose l’implémentation sui-vante de la méthode sous la forme de l’algorithme 2 écrit en pseudo-code.

Les résolutions des problèmes local et auxiliaire sont ici séparées mais en pratique elles sont réalisées en parallèles car il n’existe pas de dépendance entre les deux pro-blèmes. En pratique, le problème auxiliaire est bien plus rapide à résoudre que le local, ainsi l’utilisation d’un modèle auxiliaire ne ralentit pas la méthode car son traitement est masqué par le processus du local.

Algorithm 2: Méthode global/local non-intrusive sur un pas de temps 0 - Initialisation :P₀=0et i = 0 while ||r_i||2> ²r do 1 - [u^G_i ] =ResolutionGlobale´ (P_i;f^G) 2 - [λ^L_i] =ResolutionLocale´ (u^G_Γ,i; f^L) 3 - [λ_i^A] =ResolutionAuxiliaire´ (u^G_Γ,i;f^A)

4 - Mise-à-jour de la charge corrective :P_{i +1}=λ_i^A−λ^L_i 5 - Résidu d’équilibre :r_i =P_{i +1}−P_i

Incrémentation : i = i + 1 end