Le caractère causal du temps a longtemps été un frein au traitement parallèle des problèmes d’évolution, contrairement à l’espace qui fait l’objet de multiples méthodes dédiées comme celles de décomposition de domaine. Les architectures parallèles des calculateurs sont donc bien exploitées pour les résolutions en espace, typiquement sur les maillages éléments finis, mais dès que l’on souhaite résoudre ces problèmes sur des chargements transitoires, des résolutions bien que parallèles en espace doivent être menées de manière séquentielle sur le temps par des schémas incrémentaux. Les tra-vaux précurseurs de [Lions et al., 2001] dans ce domaine ont ouvert la voie du parallé-lisme en temps sous l’appellation de méthode pararéelle dans le cadre mathématique des résolutions d’équations aux conditions initiales.
Le premier principe de la méthode est la séparation de l’intervalle temporel d’étude [0, T ] (cf. figure 1.10) en N intervalles dits grossiers de longueur∆T = T
N (on considère ici le pas constant bien que ce ne soit pas une limitation), eux-mêmes sous-découpés en M piquets de temps notés tn,mde longueurδt (car ils sont relatifs à la fenêtre tem-porelle grossière n).
FIGURE1.10 – Parallélisation en temps via deux grilles imbriquées
Le second aspect fondamental est la résolution du problème via deux propaga-teurs nommés grossiersC et fins F utilisant respectivement les grilles temporelles
grossières et fines. Le propagateur grossier est peu coûteux à calculer sur le domaine car il est évalué sur moins de piquets de temps et sert à obtenir des valeurs initiales sur chaque fenêtre temporelle n, sa résolution est séquentielle en temps. Sur chaque in-tervalle temporel, on peut alors résoudre de manière parallèle le propagateur fin grâce aux valeurs initiales.
On obtient ainsi aux piquets de temps n + 1 une différence entre les solutions fines et grossières mesurant l’erreur due à la discrétisation en temps, servant à venir cor-riger la prochaine itération du propagateur grossier via la formulation actuelle de cet algorithme proposée dans [Gander et Halpern, 2012] :
Un+1i +1= C∆t ³ Tn+1; Tn, Uni +1´+ Fδt ³ Tn+1; Tn, Uni´− C∆t ³ Tn+1; Tn, Uni´ (1.46) où :
— C∆t¡Tn+1; Tn, Uni +1¢ correspond à la solution obtenue par le propagateur gros-sier partant de la dernière solution corrigée,
— Fδt¡tn+1; tn, Uni¢ est la solution fine obtenue à l’itération précédente,
— C∆t¡tn+1; tn, Uni¢ est la solution grossière obtenue à l’itération précédente avant la correction qui permet, avec la solution fine correspondante, de corriger l’al-gorithme via l’équation (1.46). Le processus itératif est arrêté lorsque la norme de cette correction est inférieure à une certaine tolérance.
L’application de cette méthode est répandue dans le domaine de la mécanique des fluides [Farhat et Chandesris, 2003] mais reste restreinte dans le domaine de la mé-canique des structures [Chiaruttini et Rey, 2005]. Cela peut être dû au fait que le gain en temps de calcul chute rapidement avec le nombre d’itérations. Un frein à cette mé-thode est la construction des deux propagateurs, notamment le grossier, qui doit être peu coûteux, ie. fournir rapidement une approximation de la solution sur tout le do-maine temporel, avec une précision suffisante pour que l’algorithme ne requière pas trop d’itérations.
Cependant, un avantage considérable de cette approche est de fournir une estima-tion de la soluestima-tion finale, potentiellement le cycle limite, à chaque itéraestima-tion ce qui en contexte de bureau d’étude peut être très bénéfique.
Conclusion
Nous venons d’effectuer un état de l’art des méthodes de ré-analyse multi-échelle visant à introduire la représentation de détails ou de comportements évoluant à une échelle différente de celle de la structure ainsi que des méthodes de couplage de mo-dèles permettant de s’affranchir de ces hypothèses de séparation d’échelles.
Concernant notre problématique, les détails ne sont pas découplés de l’échelle de la structure ce qui nous détourne de la première famille de méthodes. Cependant des idées peuvent en être retenues telles que le fait d’utiliser l’information du résidu d’équilibre pour suivre la convergence ou l’erreur lors de la réanalyse.
Il faut donc se tourner vers les méthodes de couplage en particulier les méthodes de type global/local afin de bénéficier de la possibilité d’avoir une représentation exacte de ces détails structuraux grâce à leur algorithme itératif non-intrusif.
Cependant ces méthodes doivent être étendues au traitement de non-linéarités généralisées à l’ensemble de la structure, ainsi le modèle global doit lui-même être non-linéaire. Afin de limiter le surcoût de calcul potentiel dû aux itérations, on pourra réutiliser les travaux effectués sur les accélérations de convergence en explorant de nouvelles voies dans le cadre des non-linéarités généralisées.
Enfin, il faudra aussi penser à la simulation de plusieurs cycles de chargement consécutifs dans le but d’obtenir le cycle limite de la structure étudiée. Afin de rendre possible, dans un intervalle de temps restreint, une telle analyse, il faudra dégager une méthode assez souple pour pouvoir être couplée aux grandeurs issues de la méthode global/local, mais aussi pouvant être développée de manière non-intrusive.
Loi de comportement matériau utilisée
et intégration temporelle
Les travaux sur les modèles de comportement non-linéaire de type visco-plastique ont vu le jour dès 1910 avec la loi d’Andrade pour le fluage primaire (cf. section 1.2) puis 1929 avec la loi de Norton, qui est toujours d’actualité sous une forme plus abou-tie. Depuis plus de 20 ans maintenant, les progrès en science des matériaux et les pos-sibilités offertes par des puissances de calcul, toujours croissantes, sont exploités pour comprendre et simuler l’origine des déformations viscoplastiques par la dynamique des dislocations [Devincre et Kubin, 1997, Verdier et al., 1998, Devincre et al., 2008]. De même, les effets de structurations fines des matériaux sont analysés par des ap-proches poly-cristallines [Barbe et al., 2001]. Ces techniques ont participé à l’amélio-ration considérable des matériaux destinés aux applications en situations extrêmes, mais ces descriptions à très petites échelles ne sont pas encore utilisées régulièrement en calcul de structures. Ceci étant, la puissance de calcul est aussi un facteur clé dans ce domaine puisqu’elle autorise aujourd’hui les ingénieurs à effectuer de façon, de plus en plus routinière, des calculs non-linéaires complexes. Ces constatations constituent le contexte de cette thèse, dans laquelle l’utilisation de modèles de viscoplasticité ma-croscopiques assez sophistiqués doivent être étendus à des calculs détaillés de struc-tures 3D.Ce type de calcul devient indispensable pour le dimensionnement précis de pièces de moteurs aéronautiques, travaillant à des températures dépassant désormais 1400◦C .
1 Phénomènes apparaissant à haute température
Les modèles de la viscoplasticité décrivent la dépendance à la vitesse de sollicita-tion de l’écoulement par fluage de la matière. Ils permettent de tenir compte des va-riations de vitesses de sollicitations apparaissant lors des chargements transitoires. Le fluage et la viscoplasticité sont dus aux mouvements des dislocations dans les grains, couplés à du glissement entre les plans cristallins.
Concernant les alliages mono-cristallins, ces phénomènes sont activés lors de la mise en radeaux des dislocations (cf. figure 2.1). Ces phénomènes sont thermiquement activés apparaissant généralement à partir d’une température d’un quart de celle de fusion du matériau [Lemaitre et al., 2009].