1.4.1 Enrichissement basé sur la partition de l’unité
La méthode des éléments finis permet d’exprimer la solution dans un espace d’ap-proximation par des fonctions de formesϕi et des poidsαi. La base de fonctions de forme©
ϕi
ª
i ∈I forme une partition de l’unité car leur somme est égale à 1. La méthode partition de l’unité est aussi appelée PUM (Partition of Unity Method) [Melenk et Ba-buška, 1996]. La solution éléments finis uhest enrichie par de nouvelles fonctions d’ap-proximations© ψj ª j ∈J: uh=X i ∈I X j ∈J αi jϕiψj (1.5)
Ces méthodes sont dites sans maillage car les fonctions de formes©ψjª ne s’ap-puient pas nécessairement sur une discrétisation éléments finis. Les besoins sont prin-cipalement issus du domaine de la mécanique de la rupture où les opérations de re-maillage sur le front de fissuration peuvent être un frein à ce type de calculs [Barsoum, 1974]. La méthode X-FEM (eXtended Finite Element Method) proposée par [Moës et Dolbow, 1999] permet de s’en affranchir, en utilisant un enrichissement de la solution, spécifique à la discontinuité du champ de déplacement. Elle a été étendue à la propa-gation dans [Moës et Belytschko, 2002], provoquant un fort succès conduisant à son implémentation dans des codes commerciaux tels Abaqus/Standard ou Code_Aster.
La discontinuité est donc introduite par des fonctions de forme éléments finis enri-chies et ajoutées à celles déjà présentes classiquement : une fonction d’Heaviside (H ) pour le saut de déplacement et quatre autres (Fj) pour représenter la singularité en pointe de fissure par un développement asymptotique.
uh=X i ∈I aiϕi+ X i ∈IH biHϕi+ X i ∈IF 4 X j =1 ci jFjϕi (1.6)
Sur le même principe, la méthode G-FEM (Generalized Finite Element Method) [Strouboulis et al., 2000] utilise des solutions analytiques, comme des fonctions hand-book dans [Strouboulis et al., 2003], des développements asymptotiques [Brancherie et al., 2008] ou des solutions pré-calculées [Chahine et al., 2008, Chahine et al., 2009] en lieu et place des fonctions H et (Fj).
1.4.2 Enrichissement hiérarchique micro/macro
Lorsque le phénomène multi-échelles est localisé à l’échelle macro, par exemple pour la fissuration, il nécessite alors un maillage très fin en pointe de fissure. En outre,
une forte hétérogénéité est introduite localement dans la structure. On peut alors avoir recours aux méthodes dites d’enrichissement. Dans cette gamme d’approches, l’échelle micro n’est plus prise en compte par l’intermédiaire d’un comportement matériau ho-mogénéisé, mais directement via la solution fine, en particulier le champ de déplace-ment.
Ces techniques corrigent la solution globaleuG, ayant une discrétisation grossière du domaineΩ de la structure complète, par un terme correctif localvL dans la zone d’intérêtΩI, décrite finement. La solution construiteuest définie comme :
u= (
uG+vL dansΩI
uG dansΩ\ΩI
(1.7) Une attention particulière doit être portée sur le respect de la continuité des dépla-cements et de l’équilibre des contraintes dansΩI et particulièrement sur l’interfaceΓ [Ladevèze et al., 2001, Guidault et al., 2008], ainsi que pour l’indépendance linéaire des espaces d’approximation des deux zones.
Ces méthodes sont basées sur la proposition initiale de [Zienkiewicz et al., 1983] et sont appelées enrichissements hiérarchiques car la correction cinématique s’effectue du niveau le plus bas jusqu’au plus haut.
Sur une application de soudage, [Duan et al., 2007] utilise un modèle local pour traiter ce procédé complexe en 3D puis les déformations plastiques sont introduites au niveau global en tant que déformations initiales d’une analyse élastique.
1.4.3 HDPM
La méthode de projection de Dirichlet homogénéisée, nommée HDPM, a été ini-tialement introduite par [Oden et Zohdi, 1997] pour l’étude de structures fortement hétérogènes en élasticité linéaire. Le modèle macro est relativement grossier (maillage régulier) et utilise un comportement homogénéisé. Au niveau micro, on trouve des cellules issues de la grille régulière de la structure macro, dans lesquelles la micro-structure est décrite finement. La méthode suit un processus itératif en quatre étapes : — Résolution du problème macro pour initialiser le processus et fournir une
solu-tion globaleuG.
— Choix des cellules critiques (k) sur lesquelles une correction doit être apportée : un indicateur d’erreur, entre la loi homogénéisée et la loi micro, basé sur les travaux de [Zohdi et al., 1996] permet de définir quelles cellules doivent être analysées finement.
— Correction des cellules critiques, par une approche descendante pilotée par les déplacements issus de la solution globale sur la frontière des cellules locales. — Assemblage de la solution corrigée entre la solution globale et les termes
cor-rectifs des cellules ré-analysées : u=uG+X
k
¡
vkL−uG¢ |Ωk (1.8)
FIGURE1.4 – Application de la méthode HDPM [Oden et Zohdi, 1997]
Des améliorations ont été apportées par [Oden et al., 1999] pour des estimateurs d’er-reur locale en contrainte. Ensuite, [Zohdi et Wriggers, 1999] remplace le pilotage en déplacement des cellules par un raccord en effort, puis [Zohdi et al., 2001] apporte une correction globale visant à réduire le saut d’effort entre les cellules ainsi que le temps de calcul général.
Le point fondamental de cette méthode est l’utilisation de l’indicateur d’erreur. Même s’il peut être majorant de l’erreur en énergie, sa convergence a été prouvée après chaque raffinement. En outre, il apporte une démarche nouvelle qui est de baser le raf-finement sur l’erreur de modèle et non pas uniquement sur la discrétisation spatiale (cf. figure 1.4).
1.4.4 Méthodes de ré-analyse structurale
On cherche, à partir du comportement de la structure avant la modification, des chargements élémentaires représentant l’influence de la modification topologique. La façon de prendre en compte l’influence de la modification donne lieu à deux variantes : — Approche exacte : le détail topologique est représenté par un terme correctif qu’il faut ensuite appliquer à la matrice de rigidité initiale. Cette correction peut être appliquée de manière non-intrusive par des opérations algébriques [Akgün et al., 2001] en appliquant la formule de Sherman-Morrison [Sherman et Morri-son, 1949] (correction de rang 1) ou de Woodburry [Woodbury, 1950] (correction de rang n quelconque). Cela est possible sous réserve d’avoir accès à cette ma-trice et de pouvoir s’en resservir pour les calculs suivants. Une telle approche peut s’avérer fastidieuse si l’on a seulement accès aux matrices de rigidité élé-mentaires.
Ces méthodes utilisent un modèle global linéaire et un modèle local concen-trant l’ensemble des difficultés non-linéaires d’origines matériaux et géomé-triques [Kirsch et Bogomolni, 2007]. Afin d’obtenir de bonnes performances, les modifications doivent être de rang faible dans la matrice de rigidité.
— Méthode approchée : les modifications topologiques sont représentées par des développements limités des équations d’équilibre puis prises en compte par des calculs aux chargements auto-équilibrés [Holnicki-Szulc, 1991]. [Saka, 1991] étend la validité de cette technique à une plus large gamme de modifications, devant tout de même rester localisées. En effet, de part cette technique, à mo-dification identique, le rang de la correction dans la matrice de rigidité est plus important qu’avec l’approche précédente. Cependant, cette technique est bien adaptée aux grandes structures car les modifications peuvent être condensées sur l’interface sans altérer la qualité de la solution [Kirsch et Liu, 1995]. Elle a été testée sur des exemples simples [Kirsch et Papalambros, 2001] puis étendue à des exemples en trois dimensions [Weisser et Bouhaddi, 2009].
1.4.5 La méthode Arlequin
Initialement développée dans [Ben Dhia, 1998] puis étendue à une version mixte [Ben Dhia et Rateau, 2001], cette méthode est une technique de couplage de domaines avec recouvrement, ayant des physiques [Xiao et Belytschko, 2004] ou des raffinements en espaces différents. Son originalité est de proposer un raccord sur un volume dans la zone de recouvrement de part et d’autre de l’interface, réalisant alors une zone de transitionΩk entre les modèles. Ces derniers y coexistent via un paramètreα venant pondérer la contribution énergétique de chaque modèle dans la formulation des puis-sances virtuelles. La solution est enfin obtenue par résolution monolithique par as-semblage des rigidités des deux domaines.
En matière de non-intrusivité, cette méthode peut poser un problème spécifique quand à la définition de la zone de collage dans un code commercial. C’est sûrement pourquoi elle a été implémentée dans C od e_Ast er de manière intrusive. Une version moins intrusive est proposée dans [Touzeau, 2013] en instaurant un procédé itératif pour le couplage des modèles mis en jeu.
1.4.6 La méthode hp-d
Cette technique se base sur les travaux de [Rank, 1992] liés à l’adaptivité hp, c’est-à-dire que pour obtenir un raffinement optimal, ie. réalisant un compromis entre la qualité de la solution et le nombre d’éléments utilisés, il convient de :
— Réduire la taille des éléments près des détails : adaptivité h — Augmenter l’ordre des éléments éloignés des détails : adaptivité p
La méthode hp-d est établie dans [Rank et Krause, 1997] puis étendue à des cas plus complexes [Krause et Rank, 2003]. Elle est destinée à des problèmes présentant des détails structuraux ou des hétérogénéités, venant perturber la régularité de la solution
dans des zones localisées. Elle met en œuvre deux modèles se recouvrant partielle-ment : un finΩh et un grossier Ωp dont les interfaces sont notées Γi, i = [h, p]. Le problème grossier a une adaptivité de type p, car les détails n’y sont pas représentés, tandis que le modèle fin à un raffinement de type h.
La solution est construite comme la contribution des deux modèles, en imposant a priori la continuité des déplacements sur les interfaces, telle que :
u=uh+up uh=0 surΓh up=0 surΓp (1.9)
Afin de rendre ces modèles compatibles, en partant du maillage du modèle p, si des degrés de liberté identiques sont présents dans le modèle fin h alors ils sont retirés. Cela rend la résolution du problème couplé réalisable par une approche classique par bloc.
L’implémentation est relativement aisée, ce qui a permis d’appliquer cette mé-thode sur de nombreux exemples, comme de la plasticité localisée dans [Düster et al., 1999] ou pour du couplage 1D-2D [Düster et al., 2007]. Une version un peu moins per-formante à cause de sa résolution monolithique et son cadre d’élasticité linéaire, est appelée s-version [Fish, 1992] aussi appliquée aux matériaux composites dans [Fish et Markolefas, 1992] proposant des applications d’une plus grande complexité.
1.4.7 Méthodes utilisant des patchs d’éléments
Il s’agit de méthodes empruntant des idées aux méthodes multi-échelles et au prin-cipe de résolution de Schwarz, rappelant aussi des aspects de zooms structuraux. Elles utilisent un modèle global discrétisé grossièrement qui est ensuite enrichi par des mo-dèles locaux, appelés patchs d’éléments finis, pouvant présenter un raffinement ou une physique améliorée. [Rezzonico et al., 2007] propose une analyse multi-échelles dans un cadre de résolution semblable à la méthode Chimère. Les différents modèles se superposent sans avoir à vérifier les hypothèses de séparation d’échelle, que peuvent requérir les techniques d’enrichissement classiques.
[Lozinski et Pironneau, 2011] proposent un zoom numérique, (Schwarz Zoom me-thod) pour un raffinement de maillage et l’ajout d’une physique de poro-mécanique, dont la résolution alternée utilise les méthodes de Schwarz. La démonstration de la convergence dans le cadre d’interfaces non-conformes est réalisée par [Hecht et al., 2009]. Une proposition intéressante est aussi faite dans [Chouly et Lozinski, 2014] qui couple ces pratiques à un algorithme de type pararéel rappelé dans la suite de ce do-cument.
On peut aussi citer la « splitting method » [Babuska et Andersson, 2005] pour la-quelle les zones susceptibles d’abriter des fissures sont analysées par patchs, dits hand-books, afin d’obtenir une solution précise pouvant se rapprocher de la G-FEM.