Yi0[c] ≈s−1=Yi[c] −Yi[c−1] c − c−1 Yi0[c−1] ≈s−2=Yi[c−1] −Yi[c−2] c−1− c−2 Yi00[c] =s−1− s−2 c − c−1 (5.4)
Ces dérivées sont illustrées sous forme de pentes de variations−1,s−2sur la figure 5.9 à un point de Gauss quelconque de la structure.
s 1
s 2
(a) s−1 (b) s−2
FIGURE5.6 – Visualisation des cartes de dérivées
Même si elles peuvent sembler identiques (cf. figure 5.6), du fait de la stabilisation de la structure, les pentes sont assez différentes ets−2 est plus importante que s−1 (+9,1% sur le maximum).
2.4 Calcul de la longueur de saut
Il faut désormais exprimer la longueur du saut à effectuer. Pour cela, on utilise le développement limité (5.3). Pour obtenir une solution de qualité, le terme d’ordre 2 doit être négligeable devant celui du premier ordre, d’où la condition suivante :
1 2∆c2
Pour satisfaire l’inégalité, on introduit un facteur d’extrapolation qE xt r tel que : ∆ci= qE xt r
Yi0[c]
Yi00[c]avec: qE xt r¿ 1 (5.6)
La longueur de saut est donc directement liée aux variations de la solution sur les cycles de base et dont on prend, par la suite, la partie entière ainsi que la valeur absolue du quotient des dérivées.
Dans la littérature, une valeur classique de qE xt r est 1e−2, mais qui peut varier for-tement selon les exemples traités comme dans [Saï, 1993] de 8e−2 à 0, 5. Il s’agit d’un paramètre que l’utilisateur doit fournir a priori, ce qui peut être difficile sans calcul préalable. En effet, une valeur trop faible ne permet pas de faire un saut tandis qu’une trop importante peut conduire à un saut imprécis, voir à des divergences locales du-rant l’intégration de la loi de comportement à l’arrivée du saut.
En toute rigueur, une longueur de saut est obtenue pour chaque variable du modèle et en chaque point de Gauss de la structure.
Afin que l’ensemble de la structure soit extrapolé à un cycle commun, la méthode initiale propose de ne conserver que le minimum des sauts estimés, sur toutes les va-riables et dans toute la structure. Comme ce traitement est potentiellement très coû-teux, on se contente en pratique d’une seule variable, comme la déformation plastique [Burlon et al., 2014]. Compte-tenu des observations faites dans la section 2.2, la plas-ticité cumulée est un meilleur candidat, car ses variations sont plus régulières que la contrainte notamment. De plus, en tant que grandeur scalaire positive, le traitement en est facilité. Il apparaît aussi que, dans la loi de comportement utilisée, le potentiel rapide se stabilise plus lentement que le lent, comme on peut le constater sur la figure 5.5. Afin d’éviter d’effectuer un saut trop grand, alors que le reste des variables n’est pas stabilisé, on retient finalement la plasticité cumulée rapide pr. Ainsi, la longueur du saut se calcule comme :
∆c(pr) = ¹ qE xt rmin ½ |s−1(pr)| |s−1(pr) −s−2(pr)| ¾º (5.7) Se baser sur le saut minimum, ainsi déduit sur l’ensemble de la structure, se tra-duit en pratique à ne pas faire de saut, alors que d’expérience celui-ci est possible. Ces difficultés sont accentuées par la présence des détails structuraux, qui avec la géomé-trie initiale déjà complexe, engendrent de fortes hétérogénéités dans la solution. Dans notre cadre d’application, ce procédé doit être amélioré.
2.4.1 Sélection des éléments
On propose de sélectionner les éléments les plus pertinents pour l’estimation de la longueur du saut. Tout d’abord, on élimine tous les éléments stabilisés ie. tels que :
|s−1−s−2| < 1e−12 (5.8)
(a) Carte de |s−1(pr)| |s−1(pr)−s−2(pr)|
c
(b) Carte de longueur de saut
FIGURE5.7 – Données de longueurs de saut
Ensuite, la longueur de saut est calculée (5.7) à partir des variations relatives de la dernière pente connues−1. En comparant la carte de pr (cf. figure 5.4a) pilotant la lon-gueur de saut et celle des−1sur la figure 5.6a, les longueurs maximales sont obtenues au bord de la zone plastique. Il s’agit de zones faiblement plastiques avec des varia-tions restreintes, ce qui n’est pas forcément pertinent vis-à-vis du reste de la solution. On instaure donc un second seuil, basé sur la valeur maximale des−1, à laquelle on applique un certain coefficientηs−1:
s−1> ηs−1× max (s−1) (5.9)
Selon la valeur retenue, ce critère peut être très discriminant et influent sur la lon-gueur de saut retenue. Par exemple, la figure 5.7b représente les lonlon-gueurs de saut dans la structure pourηs−1= 1e−2et qE xt r = 1, 97.
2.4.2 Méthode de calcul du saut final
Pour éviter de se focaliser sur l’élément le plus critique, on tente de tenir compte de la stabilisation plus générale de la structure. Pour cela, on propose d’utiliser un calcul en moyenne de la longueur de saut finale. La moyenne porte alors sur les points de Gauss des éléments nbE, sélectionnés par les critères de la section précédente 2.4.1.
∆c = $ qE xt r P |s−1| |s−1−s−2| nbE % (5.10) Ce faisant, on prend désormais en compte des éléments en adaptation donc plus stabi-lisés ce qui permet de plus grands sauts. L’algorithme 8 permet d’obtenir une longueur
Algorithm 8: Calcul de la longueur de saut finale
Input: qE xt r : facteur d’extrapolation, sx: pentes de variation
- Pour chaque point de Point de Gauss, on calcule la longueur de saut local. nbPoints = 0
for M parmis tous les points de Gauss do
- Test de pertinence du point de Gauss courant : ifsM−1> ηs−1× max {s−1} et |sM−1−sM−2| < 1e−12then ˜ ∆c[M ] = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ s1M s1M− s2M ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (5.11) nbPoints = nbPoints + 1 end end
- Calcul de la moyenne arithmétique de la longueur de saut globale ˜∆c: ∆c = ¹ qE xt r P∆˜c nbPoi nt s º (5.12)
- Ou calcul par le minimum de la longueur de saut ˜∆c: ∆c = ¥qE xt rmin©∆˜cª¦
(5.13) Output:∆c
de saut globale à toute la structure, en sélectionnant les éléments pertinents, puis en prenant soit le minimum soit la moyenne des longueurs possibles.
Selon la méthode utilisée, mais aussi selon le seuilηs−1 appliqué, le facteur d’ex-trapolation peut varier de manière importante. C’est pourquoi une méthode de déter-mination automatique est proposée pour pouvoir s’affranchir de ce choix tant abstrait que difficile et ainsi obtenir une approche plus systématique.
2.4.3 Facteur d’extrapolation automatique
Un réel frein à l’utilisation des méthodes de sauts de cycle est la donnée du facteur d’extrapolation, qui peut fortement dépendre du cas d’étude. Dans les cas d’applica-tions traités, il peut varier de façon importante selon que le comportement se stabi-lise vite ou non, selon la loi matériau utilisée et ses paramètres, selon le niveau des chargements extérieurs et enfin selon la géométrie. Enfin, il est aussi très dépendant de la méthode utilisée pour calculer la longueur finale du saut par le minimum ou la moyenne. Pour le calcul en moyenne, il fluctue beaucoup selon le critère de sélection des éléments retenu.
L’expérience acquise sur des structures et des jeux de paramètres matériau nous permet de dire qu’après les trois premiers cycles de chargement calculés, un saut ini-tial d’une longueur∆c0de deux voire trois cycles est raisonnable. En effet, la solution obtenue est satisfaisante dans la majorité des cas simulés. Ce constat permet de calcu-ler la valeur de qE xt r de manière automatique en inversant la relation 5.7 ou 5.10 ; par exemple pour le calcul via le minimum on a :
qE xt r = ∆c0
minn |s−1| |s−1−s−2|
o (5.14)
Sur l’ensemble des exemples traités, les valeurs de qE xt r les plus importantes n’étaient pas les plus critiques dans la stabilité du saut ie. la capacité que l’on à ne pas diverger localement à l’arrivée. C’est pourquoi aucune valeur limite n’a été formulée ici.
La figure 5.8 compare les réponses obtenues pour des longueurs de sauts initiaux de deux et trois cycles. Les deux approches se déroulent correctement et sont aussi ra-pides l’une que l’autre (environ 1h 40min). Le choix peut porter sur la précision qui est meilleure pour un saut initial de deux cycles, notamment lorsque la solution connaît ses variations les plus importantes. Un saut initial de trois cycles s’avère contre-productif puisque ce premier saut plus long introduit un décalage nécessitant ensuite une qua-rantaine de cycles (certains sont sautés) pour retrouver une précision acceptable. C’est pourquoi, par la suite, on opte pour une longueur de saut initial de deux cycles.