Dans bon nombre d’analyses, une approche par homogénéisation quelconque peut s’avérer satisfaisante dans la majeure partie de la structure (modèle global) tandis qu’un modèle fin (dit local) est incontournable dans des zones critiques. C’est le fondement des méthodes global/local dans lesquelles un algorithme réalise le couplage entre les diverses représentions de la structure, complètes ou partielles. On conserve ainsi une solution précise dans toute la structure : celle-ci est apportée soit par l’échelle macro ou l’échelle micro.
FIGURE1.5 – Type de modèle utilisé en submodeling [Cresta, 2008]
La plupart des méthodes rapportées ici, peuvent être résumées de la manière sui-vante (cf. fig. 1.5). Un modèle global représente la totalité de la structure mais ne dis-pose pas de toute la complexité recherchée : il est décrit à l’échelle macro. Un ou plu-sieurs modèles, dits locaux, sont alors introduits avec une description micro. La tech-nicité des approches réside donc dans le couplage entre les différents modèles.
La prise en compte des phénomènes dans le modèle local peut avoir une influence importante sur la solution globale. Une fois le modèle local piloté par le global (classe de méthodes descendantes), il est nécessaire de corriger ce dernier par l’information issue de l’analyse fine. Selon les méthodes, on distingue celles qui visent une correction directe ou si cette dernière est réalisée à travers un schéma itératif.
Une première famille de méthodes permet de corriger le modèle global de manière directe, c’est-à-dire sans avoir à réaliser des itérations dans la stratégie. Elles consistent à introduire, au sein d’une structure complète, un détail topologique de la manière la plus économique possible.
1.5.1 La condensation statique
Dans la plupart des applications visées, la géométrie de la partie globale n’est ja-mais modifiée et il en va de même pour sa rigidité lorsque que le modèle est linéaire élastique. La condensation statique est une technique a priori et consiste à condenser
la partie complémentaire de la structure complète sur l’interfaceΓ (voir la figure 1.6 pour la description des sous-domaines). L’ensemble des degrés de liberté est réduit à ceux de l’interface grâce au complément de Schur du domaine. Son calcul est une opération coûteuse mais qui n’est réalisée qu’une seule fois avant la simulation et le problème à résoudre est alors équivalent d’un point de vue de la solution, mais beau-coup plus simple à résoudre. [Hirai, 1985] utilise cette pratique pour un raffinement local de maillage sans modifications majeures et plus récemment [Wyart et al., 2008] y a recours pour de la propagation 3D de fissure et enfin [Wyart et al., 2009] le met en œuvre dans un couplage 2D/3D utilisant des modèles coques. Dans ces deux derniers cas, le modèle local utilise une formulation X-FEM pour traiter la fissuration toujours sans modifier le modèle global condensé. Une modification de la topologie dans la zone locale nécessite alors seulement un remaillage local.
La seule donnée du complément de Schur permet donc d’avoir le comportement exact de la zone complémentaire du modèle global, sans avoir à communiquer les dé-tails géométriques et le chargement, ce qui peut être pratique dans des cas à haute confidentialité. Cette méthode est d’ailleurs très répandue dans les codes commer-ciaux sous l’appellation de super-élément.
Cette méthode peut être combinée à une réanalyse structurale, comme proposé dans [Hirai et al., 1984], afin d’obtenir une précision accrue sur des facteurs d’intensité de contrainte. Ce type d’analyses nécessite habituellement un plus grand nombre de simulations, mettant en jeu des maillages imbriqués. Dans l’approche proposée, les différents niveaux d’analyses sont condensés jusqu’au niveau le plus grossier.
1.5.2 Approches descendantes
Ces techniques sont très utilisées dans l’industrie car disponibles dans la plupart des codes commerciaux, ce qui a été rendu possible par leur simplicité de mise en œuvre, leur robustesse (ie. capacité à traiter des modèles différents) et leur relative-ment bonne précision, lorsque les hypothèses de séparation d’échelles sont respec-tées.
Leur principe général est le suivant :
— Un calcul global est réalisé et fournit les conditions limites aux modèles locaux : en déplacement [Kelley, 1982] ou en rigidité [Jara-Almonte et Knight, 1988]. Ces différences font naître deux sous-classes de méthodes discutées dans la suite. — Les modèles locaux sont résolus, potentiellement de manière parallèle, donnant
la solution fine, à partir des grandeurs de pilotage issues de l’analyse globale. Raccord en déplacement Les modèles locaux sont pilotés par le déplacement d’in-terface issu de l’analyse globale. Initialement apparue sous le nom SBD pour Speci-fied Boundary Displacement [Kelley, 1982], cette méthode est désormais connue sous l’appellation submodeling. Utilisée rapidement en élasticité linéaire pour les matériaux composites [Ransom et Knight, 1989], cette technique a été étendue aux non-linéarités matérielles et géométriques dans [Ransom et al., 1992]. [Kapania et al., 1997] s’en sert
pour l’étude de détails topologiques sur des plaques composites via une analyse de Ritz sur le modèle global.
Les travaux ont ensuite concerné l’amélioration de la qualité de la solution locale obtenue, notamment à propos de la taille de la zone à étudier localement [Sriniva-san et al., 1996]. En effet, [Sriniva-sans la correction globale apportée par les méthodes bi-directionnelles, un niveau d’erreur non-négligeable peut être introduit par ce type de raccord. [Cresta, 2008] rapporte un niveau d’erreur de 30% sur les contraintes et dé-formations de la solution locale dans un problème de flambage localisé. [Mao et Sun, 1991] travaille sur la dépendance à la position de la frontière, plus le modèle local est grand meilleure est la solution, car on contient bien le comportement spécifique. Ce-pendant on perd en performance, puisque le modèle local devient plus coûteux à ré-soudre. La qualité du raccord a ensuite été spécifiquement étudiée, notamment pour répondre au besoin d’avoir des maillages non-conformes au niveau de l’interface, afin d’optimiser la modularité de la technique. Initialement, le raccord a été réalisé par des fonctions de formes linéaires [Kelley, 1982] puis des fonctions spécifiques aux plaques ont été utilisées par [Ransom et Knight, 1989] ou encore une interpolation de Lagrange dans [Voleti et al., 1995], des splines cubiques pour [Cormier et al., 1999] et enfin [Sri-nivasan et al., 1999] traite des modèles plus complexes.
Raccord en efforts Outre les redistributions du modèle local sur le global, la prin-cipale source d’erreur est la mauvaise évaluation des rigidités mises en vis-à-vis. Le raccord en efforts, au prix d’une complexité accrue de la technique et de l’implémen-tation, permet de mieux apprécier la rigidité de la partie complémentaire de la struc-ture ; ce qui améliore la solution locale lors de l’application de manière faible des dé-placements imposés et évite d’éventuels blocages cinématiques. Par la nature même des éléments finis formulés en déplacement, cette quantité n’est pas disponible direc-tement et nécessite un post-traidirec-tement, à partir du champ de contrainte évalué aux points de Gauss. Par des opérations géométriques, comme l’identification des faces, il faut transférer ce champ aux nœuds de l’interface. Parfois, il faut même avoir recours à des techniques de régularisation [Zienkiewicz et Zhu, 1992] ou des adaptations [Gu et al., 2004].
Une variante efficace de raccord en efforts est la Specified Boundary Stiffness and Force, en somme du submodeling en efforts, proposée par [Jara-Almonte et Knight, 1988] réduisant les niveaux d’erreurs. Les efforts sont alors pris en compte par une condition de Robin imposée sur les nœuds d’une bande d’éléments, décalée de l’in-terface entre les modèles mis en jeu, afin de mieux représenter la rigidité de la zone complémentaire.
1.5.3 Refined global/local method
Cette méthode est proposée dans [Mao et Sun, 1991] dans une approche exclusive-ment élastique linéaire, elle commence par l’analyse du modèle global dont la solution en déplacement est extraite sur les frontières avec les modèles locaux. Ces derniers ont
un maillage plus fin que leurs zones globales correspondantes, fournissant aux niveaux des détails topologiques une solution plus précise en termes de contraintes et de dé-placements. Via la rigidité de la zone locale ré-analysée, un vecteur d’efforts basé sur le saut de déplacements entre les solutions locales et globales est construit puis appliqué comme un chargement extérieur additionnel, lors d’un calcul global de correction. 1.5.4 Méthodes de couplage global/local non-intrusives
On porte ici une attention particulière aux méthodes de type global/local puisqu’il s’agit de la technique retenue dans les travaux rapportés dans ce document. Initiale-ment proposée dans [Whitcomb, 1991] pour des calculs élastiques et élasto-plastiques sur structures 2D, elle a ensuite été étendue aux dimensions supérieures dans [Whit-comb et Woo, 1993a] et enfin aux non-linéarités géométriques dans [Whit[Whit-comb et Woo, 1993b]. Ces méthodes permettent de corriger le modèle global par le comportement du local, ce qui était le principal inconvénient des méthodes de submodeling (cf. section 1.5.2). Ainsi, au prix de suffisamment d’itérations les redistributions et l’influence du local sur le global sont prises en compte de manière exacte. À noter qu’une méthode aux objectifs assez proches, mais basée sur la partition de l’unité, a été proposée dans [Plews et al., 2012]. Elle est destinée au traitement de forts gradients thermiques très lo-calisés, en couplant de manière volumique les modèles via des projections analogues à [Temizer et Wriggers, 2011, Holl et al., 2013] ou encore par homogénéisation [Hühne et al., 2016].
Le principe de base est le suivant, on utilise un modèle global ¯ΩG = ¯ΩC∪ ¯ΩA (cf. figure 1.6) représentant l’ensemble de la structure avec possiblement une loi de com-portement simple ainsi qu’une géométrie assez grossière. Lorsqu’une zone doit être analysée plus finement (raffinement de maillage, changement de géométrie, loi de comportement plus complexe) un modèle localΩL
k (k indice les modèles locaux) est construit, et via un processus itératif, qui sera rappelé dans le chapitre 3, les solutions locales sont substituées au sein de la solution globale, de la manière suivante :
u=uG dansΩC = ΩG\(∪kΩL k) u=uLk dansΩL k, ∀k u=uG=uLk surΓk= ΩG∩ ∂ΩLk (1.10)
Ce couplage est une ré-analyse exacte puisque il converge vers la solution monoli-thique (quand elle est réalisable), c’est-à-dire la résolution d’un seul modèle consti-tué de la zone complémentaireΩC et des modèles locauxΩL
k; cette propriété est très importante si l’on souhaite appliquer la méthode à des calculs de certification.
La majorité des versions et applications réalisées avec ce couplage utilisent un pi-lotage en déplacement lors de la descente (global vers local) puis une correction en ef-fort pour la remontée (local vers le global). Au prix d’une implémentation plus lourde, [Gendre et al., 2011] propose une version mixte du pilotage lors de la descente grâce à des conditions de Robin offrant un taux de convergence amélioré.
FIGURE1.6 – Modèles intervenant dans la méthode global/local
Un tel algorithme de couplage est très adapté à une mise en œuvre non-intrusive [Gendre et al., 2009] car dans le cas de maillages conformes, il suffit d’être capable d’échanger les déplacements et les efforts de réactions aux nœuds des interfacesΓk, ce qui est possible dans la majorité des codes de calcul commerciaux. De plus, comme ces derniers sont actuellement dotés d’une sur-couche de programmation, un script géné-rique peut être développé afin de rendre cet algorithme automatique. Par ailleurs, il est possible de traiter, par exemple, le modèle global dans un code générique éléments fi-nis et les modèles locaux dans des codes plus spécifiques de « recherche » adaptés aux phénomènes en jeu.
Une revue est proposée ici par domaine d’application :
— Lois de comportement différentes et détails géométriques : initialement ce type de couplage a été développé pour traiter de la plasticité localisée [Gendre et al., 2009, Liu et al., 2014], où le modèle global est élastique linéaire tandis que des détails structuraux sont ajoutés par des modèles locaux munis d’une loi élasto-plastique non-linéaire. Cela introduit une baisse de la rigidité dans la zone lo-cale modifiant la comportement global de la structure.
— Mécanique de la rupture : [Passieux et al., 2013] traite un problème de propa-gation de fissure via une formulation X-FEM multi-grilles tandis que [Gupta et al., 2003] se tourne vers la G-FEM. Dans ces travaux, la fissure est représen-tée explicitement au niveau local et le modèle global reste quant à lui purement élastique. Ces travaux ouvrent la voie à un modèle local évolutif en espace aug-mentant avec l’avancée de la fissure [Duval et al., 2016].
— Couplage stochastique/déterministe : [Chevreuil et al., 2013] utilise un modèle global déterministe et les incertitudes de sources matérielles sont introduites par plusieurs modèles locaux stochastiques. Cela permet de remplacer des mé-thodes dédiées, sans modifier la rigidité globale qui demeure déterministe, tel que [Berveiller et al., 2006] qui propose directement la mise en œuvre d’élé-ments stochastiques pour Abaqus/Standard. Dans ce cadre, [Nouy et Pled, 2017] fournit une preuve de convergence sous des hypothèses faibles (ie. pour des problèmes monotones).
fin, au sein d’un modèle local. Le chargement associé est répercuté au sein du modèle global simple via le couplage.
— Dynamique transitoire : [Bettinotti et al., 2014a] revisite le couplage pour trai-ter des problèmes de dynamique explicite. Une formulation améliorée est pro-posée dans [Bettinotti et al., 2014b], notamment concernant l’accélération et les efforts d’inertie, ce qui augmente drastiquement les performances. Ce cou-plage a ensuite été appliqué [Bettinotti et al., 2017] pour traiter le délaminage de structures en matériaux composites sous impact dans Abaqus/Explicit. [Chan-trait et al., 2014] ajoute des schémas implicites en dehors de la zone d’impact grâce au découplage global/local, ce qui autorise de plus grands pas de temps et donc des économies de temps de calcul. L’implémentation est réalisée à la fois dans Zset et Europlexus. Dans tous ces travaux en dynamique, une légère intrusivité est nécessaire pour rester performant.
— Raccord 2D/3D : [Guguin et al., 2014] étudie les raccords entre des modèles pla-ques et des modèles volumipla-ques de boulons. Des fonctions de relèvements sont pré-calculées pour effectuer le raccord. Une solution plus simple à mettre en œuvre est proposée dans [Guinard et al., 2017], où une zone tampon d’éléments coques est introduite dans le modèle local. Le couplage 2D/3D à proprement parler est alors réalisé par la fonction Abaqus TIE au sein du modèle local et le couplage local/global a lieu entre deux modèles de plaques.
— Matériaux composites : [Daghia et Ladevèze, 2012] proposent une version pour l’étude de l’endommagement des composites via le méso-modèle d’endomma-gement [Lubineau et Ladevèze, 2008] pour le modèle global et un modèle mi-croscopique au niveau local où les mécanismes de dégradation sont représen-tés de manière explicite.
— Couplage de maillages différents : [Liu et al., 2014] utilise pour de la plasticité localisée un couplage de maillages non-conformes par une technique mortar au niveau de l’interface global/local. [Bouclier et al., 2013b] propose quant à lui un couplage entre une formulation éléments finis classiques et un modèle lo-cal utilisant des NURBS, basé sur de précédents travaux [Bouclier et al., 2013a]. [Duval, 2016] propose un outils d’estimateur d’erreur en discrétisation spatiale pilotant les zones de raffinement locales pouvant ensuite être étendu à d’autres travaux de la littérature [Ladevèze, 2008, Ladevèze et al., 2010], notamment avec de premières propositions non-intrusives.
— Décomposition de domaine : fort de l’expérience acquise sur l’utilisation de plu-sieurs patchs locaux rapprochés, [Duval, 2016] établit dans le cadre des mé-thodes global/local une technique de relocalisation linéaire de manière non-intrusive. Les modèles locaux non-linéaires recouvrent totalement le modèle global demeurant élastique. Cela offre un outil de décomposition de domaines implémentable dans des codes commerciaux (C od e_Ast er ), au prix de perfor-mances amoindries par rapport aux implémentations intrusives [Cresta et al., 2007, Pebrel et al., 2008, Hinojosa et al., 2014, Negrello et al., 2016].
mé-thode global/local permettent de traiter sensiblement les mêmes problèmes que les méthodes dédiées, mais au sein de codes commerciaux généralistes, ce qui en fait de formidables outils de développement et de démonstration voire désormais d’analyses quantitatives. De plus, dans de nombreux exemples, ces méthodes peuvent très bien réutiliser des modèles complexes et spécifiques sans avoir à les ré-implémenter ce qui est très confortable et représente un gain de temps exceptionnel en évitant de revalider l’outil.
2 Résolutions non-linéaires et accélérations
La généralisation des calculs non-linéaires en mécanique des structures entraîne des besoins en matière de réduction du temps de calcul. En effet, leur résolution « na-turelle » est basée sur l’utilisation d’un algorithme de Newton utilisant une matrice tangente qui est coûteuse à calculer et qu’il faut mettre à jour à chaque itération. Des méthodes alternatives et moins coûteuses telles que celles de quasi-Newton ont donc été développées. Elles consistent à approximer la matrice tangente à moindre coût au prix d’un taux de convergence plus faible. Par ailleurs, des techniques d’accélération de convergence telles que les Aitken’sδ2ont aussi vu le jour.
Les performances, en terme de temps de calcul, des méthodes de couplage non-intrusif sont liées au nombre d’itérations nécessaires pour atteindre le niveau de pré-cision souhaité par l’utilisateur. L’amélioration du taux de convergence a donc été in-vestigué depuis leur lancement [Gendre, 2009]. Les techniques classiques de résolution de problèmes non-linéaires présentées ici ont été adaptées aux besoins spécifiques du couplage, permettant d’obtenir une amélioration sensible des performances.