sance sur surfaces vicinales
2.4.3 Potentiel d’interaction utilis´ e dans nos calculs KMC
Les morphologies des surfaces et de leur ´evolution en fonction des param`etres ex-ternes tels que la temp´erature n´ecessitent des m´ethodes statistiques pour calculer les ´energies mises en jeu dans les divers processus : ´energie d’adsorption, de diffu-sion, d’interaction adatome-marche... Pour calculer ces ´energies (´energie totale d’un syst`eme m´etallique) on a le plus souvent recours `a des m´ethodes semi-empiriques en utilisant la th´eorie des liaisons fortes.
Dans nos calculs, nous employons le potentiel semi-empirique propos´e par Rosato et autres [33] bas´e sur une description des interactions `a plusieurs corps. L’avantage est que le potentiel reste analytique et qu’il permet de reproduire les propri´et´es de coh´esion des solides, de calculer les barri`eres de diffusion qui se rapprochent souvent des donn´ees exp´erimentales. Il a ´et´e montr´e qu’il est bien adapt´e pour les m´etaux de transition (Pt) montrant une grande bande d aussi bien que pour les esp`eces nobles (Ag). Il est bas´e sur l’approximation du second moment (SMA), exprim´e comme la somme de contributions de paires r´epulsives et d’interactions attractives non de paire. L’´energie potentielle entre l’atome i et ses voisins j situ´es `a une distance rij est ´ecrite comme :
Ei = λX j e−p “rij r0−1 ” − " X j e−2q “rij r0−1 ”#α (2.10)
Avec rij ≤ rc. Les valeurs de la distance r0 de proche-voisin entre les atomes en m´etal sont 2.77 ˚A pour le Pt et 2.89 ˚A pour l’Ag. Les valeurs des param`etres r´epulsifs (λ, p) et attractifs (, q) sont d´etermin´es par ajustement sur les propri´et´es en volume du cristal, `a savoir, les valeurs exp´erimentales de l’´energie de coh´esion, du module de compressibilit´e, et des constantes ´elastiques. La valeur de l’exposant α qui d´ecrit la nature de beaucoup de corps du potentiel attractif. rc est une distance de coupure qui est limit´ee `a la deuxi`eme distance de proche-voisin entre les atomes en m´etal pour acc´el´erer les algorithmes rc= r0√
2=4.08 ˚A. Les valeurs des param`etres {α, p, q, λ, } ont ´et´e calcul´ees ind´ependamment pour des m´etaux d’Ag et de Pt. Pour l’interaction entre les h´et´ero-atomes (Ag-Pt), les valeurs de l’ensemble de param`etre ont ´et´e calcul´ees `a partir des r`egles habituelles de combinaison et leur ad´equation a ´et´e examin´ee en les comparants directement avec des donn´ees ou des calculs ab initio exp´erimentaux disponibles.
2.4 Mod`ele KMC utilis´e pour l’´etude de la croissance sur surfaces vicinales
2.4.4 Am´elioration de l’algorithme
La surface o`u sont d´epos´es les atomes est d´efinie en terme de conditions aux limites p´eriodiques pour chacune des directions et quelque soit le nombre de d´efauts intro-duits. La simulation KMC est bas´ee sur la discussion pr´ec´edente. Id´ealement, nous devrions tirer d’abord un nombre al´eatoire pour pr´eciser si on choisit de d´eposer ou de faire diffuser une particule. Ensuite, il faut retenir al´eatoirement une parti-cule susceptible d’effectuer le processus choisi, appliquer le protocole de Metropolis et voir si la particule est capable d’effectuer son mouvement. Ce type d’algorithme peut engendrer une perte de temps tr`es importante car, `a chaque pas du programme, il se peut qu’aucun processus ne soit r´ealis´e. Par exemple, lorsque la couche a atteint un taux de recouvrement important, c’est normalement le d´epˆot et la diffusion des particules isol´ees qui sont les plus favorables par rapport `a la diffusion des parti-cules appartenant `a un agr´egat. Or, dans ce cas, puisque le choix du processus est totalement al´eatoire, la probabilit´e de prendre un processus hautement d´efavorable, comme le d´eplacement d’un adatome pi´eg´e dans un ˆılot, est grande, puisque la ma-jorit´e des adatomes est dans cette configuration aux taux de recouvrement ´elev´es. Pour aboutir au tirage d’un processus possible, un nombre de pas de calculs in-imaginables serait n´ecessaire. Nous devons donc mettre au point un algorithme qui contourne cette perte de temps.
La simulation KMC construite ici a ´et´e bas´ee sur l’algorithme de Bortz et al [34] et permet un d´eplacement `a chaque ´etape de la simulation selon sa probabilit´e d’apparition. Pour cela, une liste de N processus possibles est cr´e´ee regroupant le d´epˆot et tous les mouvements d’adsorbats possibles. A chaque configuration (C), et pour chaque processus de diffusion k(k=2,...,N ;k=1 ´etant r´eserv´e pour le d´epˆot), nous calculons les Nk(C) adatomes qui sont susceptibles d’effectuer ce processus (N1 est donn´e quant `a lui par le nombre d’atomes qu’il reste `a d´eposer en th´eorie). La proc´edure est ensuite simple et se rapproche de l’algorithme de Metropolis. En posant r1 = F et rkdonn´e par l’´equation 2.9, tous les taux cumul´es dont l’expression est ´ecrite ci-dessous sont calcul´es.
Rj(C) =
j
X
k=1
Nk(C) rk (2.11)
Le taux total est alors obtenu pour j = N , ce qui permet de normaliser le taux et de raisonner en terme de probabilit´es :
Pj(C) = Rj(C)
RN(C) (2.12)
Un nombre al´eatoire m compris entre 0 et 1 est alors tir´e au hasard. Le proces-sus k qui satisfait `a Pk−1(C) < m ≤ Pk(C) est choisi et un des atomes parmi les Nk(C) appartenant au processus k est tir´e al´eatoirement pour effectuer syst´ emati-quement la diffusion de type k . Une fois le mouvement termin´e, une remise `a jour est engag´e et la proc´edure se r´ep`ete jusqu’`a ce que le nombre souhait´e d’adatomes d´epos´es soit atteint (figure 2.2). Cette proc´edure acc´el`ere les calculs de mani`ere ap-pr´eciable par rapport `a l’algorithme classique de Metropolis puisqu’un processus est syst´ematiquement effectu´e `a chaque pas de temps. Ceci prend de l’importance no-tamment `a basse temp´erature o`u les ´echelles de temps entre les diff´erents ´ev`enements possibles peuvent ˆetre tr`es disparates ou encore lorsque le taux de recouvrement de-vient important. Il est `a pr´eciser cependant que le gain en temps machine se traduit ´
egalement par un calcul du temps r´eel biais´e puisqu’on acc´el`ere artificiellement la simulation. N´eanmoins, des lois statistiques nous permettent de retrouver le temps « vrai » comme une fonction de temps « simul´e » si le besoin s’en faisait sentir.
2.4 Mod`ele KMC utilis´e pour l’´etude de la croissance sur surfaces vicinales
Début
Initialisation Calcul des Pj(C=0)
Tirage d’un nombre aléatoire m et choix de processus k tel que
Pj-1<m<Pj
K=1
Choix aléatoire du processus k et de l’atome IATDIF qui va l’effectuer vers le site JATDIF
On effectue la diffusion
Mise à jour des processus k et de la liste des voisins pour tous les sites qui ont changé de configuration:
-IATDIF -JATDIF
- tous leurs plus proches voisins Choix aléatoire d’un
site I libre On dépose
I n’a pas de voisins
Mise à jour uniquement du processus de dépôt et du processus dans lequel se trouve l’adatome déposé.
Mise à jour du processus du dépôt, du processus dans lequel se trouve l’adatome déposé et de tous les voisins de l’adatome.
Dépôt oui Diffusion
non
Fin
Jusqu’à atteindre le taux de recouvrement souhaité
non
oui