Pond´eration par l’estimateur robuste de Donoho et Johnstone

Comme sugg´er´e par [79], nous pond´erons le tenseur de structure de mani`ere inverse-ment proportionnelle `a la variance σ2

kdu bruit dans chaque composante Ik.

L’estimation de la variance du bruit de chaque frame en imagerie TEPd est un probl`eme difficile. Dans le cadre de la quantification, plusieurs mod`eles de variance ont ´et´e propos´es pour pond´erer les algorithmes de r´egression employ´es pour l’estimation des param`etres cin´etiques [123, 124]. En fonction des connaissances a priori, ils peuvent tenir compte de la d´ecroissance du radiotraceur, de la dur´ee de chaque frame ou du nombre d’´ev´enements d´etect´es.

Dans nos exp´erimentations, le choix de ce type de pond´eration de haut niveau, sp´ecifique `a la TEPd, s’est montr´e peu coh´erent avec les variations de bruit observ´ees, et n’a notamment pas permis d’am´eliorer significativement le SNR du signal de contour.

Nous avons retenu un estimateur plus g´en´erique, l’estimateur m´edian robuste de Donoho et Johnstone [105], dont plusieurs ´etudes ant´erieures montrent son applicabilit´e au cas de l’imagerie TEP [125, 126, 127, 128] :

σ²= ^{M AD}

2 k

0.67452, (5.9)

Cet estimateur relie la variance du bruit `a l’´ecart absolu m´edian (median absolute de-viation ou MAD) des coefficients `a haute fr´equence de la transform´ee en ondelette discr`ete de la composante Ik. Il repose sur l’observation que les coefficients `a ce niveau ´elev´e de d´etail sont principalement dus au bruit. L’emploi de la m´ediane permet de renforcer l’ex-clusion des ´eventuels coefficients du vrai signal. Le facteur 0.6745 permet de calibrer la variance du signal avec celle d’une distribution normale centr´ee r´eduite.1.

Nous pond´erons le tenseur de structure par un facteur ωk:

ω_k= ^1/σ 2 k PM i 1/σ2 i . (5.10)

La figure 5.6 montre le r´esultat de l’approche 4DRSF sur l’image I.

(a) Image d´egrad´ee (b) R´esultat 4DRSF

(c) Agrandissement (d) Champ 4DGVF

Figure 5.6 – R´esultat de l’approche 4DRSF sur l’image synth´etique

Le sch´ema propos´e a permis une restauration de la nettet´e des contours en limitant l’apparition de fausses couleurs. La constance du rehaussement au cours du processus it´eratif dans les directions du champ 4DGVF (figure 5.6e) permet par ailleurs de stabiliser la solution. La figure 5.7 compare l’´evolution de la racine de l’erreur quadratique moyenne `a la v´erit´e terrain (root mean square error ou RMSE) en fonction des it´erations avec les

1. Dans nos exp´erimentations, nous employons une d´ecomposition en ondelettes de Haar `a 8 niveaux (fonctions MATLAB wavedec2 en 2D ou wavedec3 en 3D).

approches d’Alvarez-Mazorra et de Tschumperl´e-Deriche. Le r´esultat de l’approche 4DRSF est sensiblement meilleur et semble converger vers une solution stationnaire.

10 20 30 40 50 60 70 80 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 Iterations RMSE 4DRSF Tschumperle−Deriche Alvarez−Mazorra

Figure 5.7 – ´Evolution de l’erreur quadratique moyenne (RMSE) `a la v´erit´e terrain pour les diff´erentes approches test´ees sur l’image synth´etique.

5.3.3 Param`etres

La r´egularisation de la carte vectorielle V par l’approche 4DGVF n’a pas le mˆeme ob-jectif que pour la segmentation, o`u elle est sert notamment `a propager l’information de contours dans les zones homog`enes de l’image. Dans l’approche 4DRSF, la r´egularisation apporte de la coh´erence au rehaussement et n’a d’int´erˆet qu’au voisinage des contours. La port´ee du champ n’a ainsi pas la mˆeme importance et on aura int´erˆet `a employer des niveaux de lissage comparativement plus faibles pour pr´eserver les structures d’int´erˆet. Le degr´e de pr´eservation des contours faibles est en effet contrˆol´e par la force de cette r´egularisation. Un soin doit donc ˆetre attach´e `a la d´efinition de la force de la diffusion g(N ), adapt´ee `a l’ordre de grandeur de la force des contours de l’image que l’on sou-haite pr´eserver. On pourrait objecter qu’il est ´egalement n´ecessaire de diffuser les orien-tations du champ avec une force sup´erieure `a l’amplitude moyenne du bruit pour ´eviter de l’amplifier. Cependant, l’action concourante du lissage limite rapidement le rehausse-ment dans les zones homog`enes, en y r´eduisant les valeurs arbitraires du gradient vectoriel N issus du bruit. Dans nos exp´erimentations, nous trouvons qu’une force constante de l’ordre de g = 0.05 permet une r´egularisation et un rehaussement satisfaisant. Le nombre d’it´erations de r´esolution du champ 4DGVF par l’´equation (4.15) peut ainsi ˆetre ´egalement r´eduit. Dans nos exp´erimentations, nous le limitons `a 50 it´erations.

D’autres param`etres sont `a l’œuvre dans le sch´ema ADR, r´esum´es sur le tableau 5.1 Tableau 5.1 – Liste des param`etres associ´es `a la m´ethode 4DRSF

Description Valeurs indicatives

λ attache aux donn´ees 0.01

η_it nombre d’it´erations 20

k seuil de la diffusion anisotrope 0.15

g seuil de la diffusion isotrope de F 0.05

du rehaussement au cours du traitement. Le nouveau champ ´etant commun `a toutes les composantes, cette r´e-estimation limite l’apparition de fausses caract´eristiques spectrales. Cette ´etape est particuli`erement utile lorsque le champ initial est biais´e par des niveaux excessifs de bruit. Dans nos exp´erimentations, nous recalculons le champ toutes les cinq it´erations. Cette id´ee de recalculer p´eriodiquement le champ d’advection a ´egalement ´et´e r´ecemment propos´ee ind´ependamment par Prada et Kazhdan [72].

5.4 R´esultats

Nous avons ´evalu´e l’approche 4DRSF sur diff´erents types d’images multicomposantes floues et bruit´ees : images photographiques, simulations d’images TEPd et images TEPd r´eelles. Nous avons impl´ement´e notre m´ethode sur MATLAB par un sch´ema explicite de diff´erences finies, suivant les prescriptions d’impl´ementation de [62].