Nous avons pr´esent´e le contexte de l’imagerie multicomposante en prenant pour cadre applicatif la tomographie d’´emission de positons dynamique c´er´ebrale. La TEPd produit des images multicomposantes, constitu´ees de plusieurs acquisitions longitudinales d’un mˆeme champ de vue. Ces images r´ev`elent les cin´etiques des concentrations d’un radiotra-ceur dans le cerveau, caract´eristiques des variations d’expression de la cible mol´eculaire
consid´er´ee. Ces variations cin´etiques permettent d’inf´erer `a la fois qualitativement et quan-titativement les processus biochimiques sous-jacents ayant conduit aux r´epartitions de radioactivit´e mesur´ees.
Ces images souffrent de d´egradations importantes qui nuisent `a la repr´esentativit´e des structures d’int´erˆet le long des diff´erentes composantes. Ces d´egradations sont caus´ees, d’une part par des facteurs intrins`eques li´es `a l’effet combin´e des interactions probabilistes rayonnement-mati`ere et du proc´ed´e de reconstruction tomographique, et d’autre part par des facteurs techniques li´es aux imperfections du syst`eme de d´etection.
De telles contraintes imposent des traitements pour faciliter l’interpr´etation qualita-tive et permettre une analyse quantitaqualita-tive juste des images reconstruites. Les traitements par EDP discut´es dans le chapitre suivant fournissent un cadre th´eorique d’approches de filtrage et de segmentation pour ce type d’enjeux.
CHAPITRE
3
EDP en traitement d’image
R´esum´e
Ce chapitre pr´esente un ´etat de l’art des approches bas´ees sur les ´equations aux d´eriv´ees partielles (EDP) en segmentation par mod`ele d´eformable et en res-tauration d’image. Des liens forts que nous ´evoquons unissent th´eoriquement ces deux domaines. Nous pr´esentons les mod`eles d´eformables ind´ependamment de leur repr´esentation afin d’en souligner le caract`ere g´en´eral. Nous d´ecrivons ensuite plu-sieurs approches de restauration it´erative dans le formalisme des laplaciens orient´es, un des points de vue des filtres locaux par EDP. Nous relevons enfin les limitations des approches pr´esent´ees dans le contexte applicatif particulier des images multicom-posantes bruit´ees.
3.1 Introduction
De mani`ere abstraite, de nombreux probl`emes de traitement d’images peuvent ˆetre formul´es par la recherche progressive d’un ´etat stable u ´etant donn´es un ´etat initial u0 et des conditions aux limites. Le point de vue variationnel consiste `a trouver u en minimisant une fonction de coˆut E(u), nomm´ee ´energie par analogie physique. Par exemple, u0peut ˆetre l’image initiale dans le cas d’un probl`eme de filtrage, ou un contour initial dans le cas d’un probl`eme de segmentation par mod`ele d´eformable. Ce point de vue, sous r´eserve de bon conditionnement des objets ´etudi´es, permet d’exploiter les outils du calcul des varia-tions pour d´eterminer la solution, en particulier l’´equation d’Euler-Lagrange, ´equation aux d´eriv´ees partielles (EDP) solution de la minimisation de E(u).
Un exemple classique pour illustrer ce propos est le c´el`ebre filtre gaussien. Supposons que l’´energie d’une image I(x) est d´efinie sur l’espace de l’image Ω par l’´energie de son gradient :
E(I) =
Z
Ω|∇I(x)|2dx, (3.1)
o`u ∇ = [∂x1, ∂x2, ..., ∂xp]T est l’op´erateur gradient, avec ∂a= ∂/∂a. L’´equation de mini-misation de E(I) par descente de gradient est une EDP et s’´ecrit :
∂tI = ∆I, (3.2)
la chaleur et correspond `a un processus de diffusion lin´eaire et isotrope des valeurs d’inten-sit´e de l’image au cours du temps. Remarquablement, cette ´equation poss`ede une solution pouvant s’exprimer comme un filtrage lin´eaire par la convolution de l’image d’origine I0
avec une r´eponse impulsionnelle gaussienne [20] : I(x, t) = K√
2t(x, t)∗ I0(x) (t > 0), (3.3) o`u K√
2t est une gaussienne de dimension p de variance σ2 = 2t, et o`u ∗ est le produit de convolution. En outre, quand t → ∞, I tend en tout point vers la valeur moyenne de l’image ¯I, solution de l’´equation de la chaleur aux temps longs pour un syst`eme phy-sique adiabatique (en isolation thermique totale avec son environnement). Cette propri´et´e implique des conditions qui doivent ˆetre v´erifi´ees aux bords du domaine de l’image ∂Ω :
∇I(x) = 0, x ∈ ∂Ω, (3.4)
qui correspondent aux conditions aux limites de Neumann, dont nous faisons l’hypoth`ese implicitement dans la suite de ce manuscrit.
Ce cas particulier permet de distinguer trois niveaux de conceptualisation : formu-lation variationnelle par l’´equation (3.1), approche EDP par l’´equation (3.2) et filtrage lin´eaire par l’´equation (3.3), ces trois niveaux ´etant ´equivalents dans le cas pr´esent. Une formulation de type (3.3) impose une condition de lin´earit´e qui n’est bien souvent pas souhait´ee dans le cas de traitement plus complexes. Le lien entre les formulations (3.1) et (3.2) est en revanche plus fort, et la solution d’un probl`eme exprim´e sous forme va-riationnelle peut ainsi g´en´eralement se r´esoudre au travers d’EDP [21]. Par exemple, les flots de variation totale de premier et deuxi`eme ordre [22, 23] peuvent ˆetre employ´es pour r´esoudre les probl`emes variationnels associ´es [24, 25]. De nombreuses EDP ne d´erivant pas n´ecessairement d’une forme variationnelle ont ´et´e propos´ees par la communaut´e du traite-ment des images num´eriques. Ces formulations sont toutefois souvent li´ees, comme dans un certain nombre d’approches de segmentation par mod`eles d´eformables et de filtrage que nous pr´esenterons.
Dans la suite de ce chapitre, nous d´ecrivons d’abord le principe des traitements par EDP pour le cas d’images `a valeurs scalaires. Nous pr´esentons dans ce cadre les mod`eles d´eformables et plusieurs approches de restauration par EDP. Nous pr´esentons ensuite les extensions par le formalisme du tenseur de structure de ces mod`eles `a l’imagerie multi-composante. Enfin, nous analysons les limites des approches pr´esent´ees.