Forces ext´erieures dans les mod`eles d´eformables

Les forces ext´erieures constituent le lien entre les donn´ees de l’image et le mod`ele d´eformable. L’´evolution vers la solution est ainsi principalement d´ependante de leur bonne d´efinition. En particulier, nous identifions trois propri´et´es souhaitables pour ces forces :

1. robustesse au bruit

2. grande port´ee permettant la convergence du mod`ele dans des situations initiales distantes de la solution

3. faible nombre d’´equilibres locaux arrˆetant la progression du mod`ele vers la so-lution

Depuis 1988 et l’article fondateur de Kass et al. [26], deux principales cat´egories de forces ext´erieures ont fait l’objet d’une vaste litt´erature pour d´epasser les limitations du mod`ele d’origine vis `a vis de ces trois crit`eres. D’une part, un certain nombre de forces bas´ees contours (FBC) se basant g´en´eralement sur une information d´eriv´ee du gradient de l’image. D’autre part, des forces bas´ees r´egion (FBR) comparant les statistiques de l’image `a l’int´erieur et `a l’ext´erieur du mod`ele. FBR et FBC pr´esentent des avantages et des in-conv´enients propres largement d´ependants de la modalit´e d’imagerie ´etudi´ee et des pro-pri´et´es de l’objet `a segmenter. Nous en donnons ci-apr`es quelques exemples importants.

Formulation d’origine bas´ee contours

Dans leur article fondateur, Kass et al. proposent une force ext´erieure du type :

F =−∇E, (3.22)

o`u E = − |∇I|2. Les forces ext´erieures sont ainsi orient´ees en tout point en direction des gradients de f = −Eext, une carte scalaire indicatrice des contours, ayant de fortes valeurs au niveau des contours1. Cette formulation ne respecte pas les trois crit`eres ´evoqu´es ci-dessus. En effet, de telles forces sont sensibles au bruit par l’emploi du gradient, ont une port´ee locale et entraˆınent l’apparition de minimums locaux au sein de concavit´es form´ees par les objets d’int´erˆet [1]. Une am´elioration simple consiste en un lissage de la carte des contours de fac¸on `a ´etendre la port´ee des forces et `a r´eduire le bruit. Cette solution se fait aux d´epens d’une perte progressive de la localisation des contours `a mesure du lissage [40].

Flux de vecteurs gradients (gradient vector flow)

Xu et Prince [1] proposent de d´eriver un champ de FBC d’une formulation variation-nelle. L’´energie du champ F(x) = [F1(x), F₂(x), F₃(x)]est d´efinie comme :

E(F) = Z Ω µ 3 X i,j=1 (∂_xiF_j)²+|∇f|²|F − ∇f|²dx, (3.23)

o`u f est une carte scalaire des contours et µ est une constante contrˆolant l’influence du premier terme de la fonctionnelle.

Le champ F qui minimise E est solution stationnaire des ´equations de descente de gradient :

∂tFi= µ∆Fi− |∇f|²(Fi− ∂xif ), (3.24) o`u chaque composante Fiest r´esolue de mani`ere ind´ependante.

Le premier terme domine dans les zones homog`enes et permet une diffusion quasi iso-trope (par le laplacien) des composantes de F. Le second tend `a dominer pr`es des contours indiqu´es par f et oriente le champ dans le sens du gradient de f, suivant la philosophie de Kass et al.. Grˆace `a la diffusion, le champ de flux de vecteurs gradients (GVF pour gradient vector flow) b´en´eficie d’une port´ee ´etendue aux zones homog`enes de l’image et pr´esente une certaine robustesse face au bruit2.

Xu et Prince proposent rapidement une g´en´eralisation de l’approche GVF afin de ren-forcer sa robustesse au bruit et sa capacit´e `a progresser au sein de concavit´es ´etroites [41]. L’´equation de flux de vecteurs gradients g´en´eralis´e (GGVF) s’´ecrit :

∂_tF_i= g(f )∆F_i− h(f) (Fi− ∂xif ) , (3.25) o`u g(f) et h(f) sont deux poids qui permettent un contrˆole affin´e de l’´equilibre entre le terme de diffusion et le terme d’attache au gradient. Dans leur article, Xu et Prince proposent de pond´erer ces deux termes par g = 1 − e|−∇f |/κet h = 1 − g, o`u κ est un param`etre d’´echelle contrˆolant le degr´e de lissage du champ.

Convolution par champ vectoriel

Li et Acton [42] proposent un nouveau champ de forces ext´erieures r´esultant de la convolution d’une carte des contours f avec un noyau vectoriel. Cette approche plus r´ecente, au niveau de r´esistance au bruit similaire au GGVF, s’est r´ev´el´ee tr`es populaire en raison de sa faible complexit´e. Le champ VFC (pour Vector Field Convolution) s’´ecrit :

F = f (x)∗ K(x), (3.26)

o`u

K(x) = [K₁(x₁, x₂, x₃), K₂(x₁, x₂, x₃), K₃(x₁, x₂, x₃)] . (3.27)

2. Nous remarquons ici que les champs GVF ne sont pas des champs conservatifs. Cette caract´eristique leur permet notamment de faire progresser les mod`eles d´eformables dans les concavit´es form´ees par les structures de l’image.

Dans le domaine volum´etrique discret de l’image, K est un noyau vectoriel de dimension n₁× n2 × n3× 3 (ni impair), dans lequel les n1 × n2× n3 − 1 vecteurs non centraux pointent vers le centre r0 = (ⁿ1−1

2 ,ⁿ2−1 2 ,ⁿ3−1

2 )avec une magnitude m d´ecroissante avec leur distance r `a r0, par exemple selon :

m = (r + )^−γ, (3.28)

o`u γ est un param`etre contrˆolant cette d´ecroissance.

Forces bas´ees r´egions

Une autre approche consiste `a ne plus consid´erer les contours de l’image I mais l’in-formation statistique contenue dans les domaines compl´ementaires de I d´elimit´es par la surface S. Par exemple, Chan et Vese3 ont propos´e la fonctionnelle E(S) suivante pour s´eparer un ou plusieurs objets d’un fond :

E(S) = Z Ωin (I(x)− µin)²dx + Z Ωout (I(x)− µout)²dx,

o`u x = (x1, x₂, x₃), et Ωinet Ωoutsont les sous domaines de Ω contenant respectivement l’int´erieur et l’ext´erieur de la surface.

Un terme de force r´egionale peut s’´ecrire sous la forme d’une force F [43, 44, 45, 46] : F(x) =^î(I(x)− µin)²− (I(x) − µout)^2óN(x), (3.29) o`u µinet µoutsont les moyennes de I respectivement `a l’int´erieur et `a l’ext´erieur de S. N d´esigne la normale unitaire int´erieure `a S.4

Une telle formulation permet de ne pas s’appuyer sur l’information de contours lorsque celle-ci est jug´ee peu fiable. Cependant, elle implique une hypoth`ese d’homog´en´eit´e forte `a la fois sur les propri´et´es du fond et sur celles des objets cibl´es. En particulier, il n’est pas possible de distinguer un objet du fond lorsque leurs statistiques sont globalement similaires. Des approches r´egionales plus sophistiqu´ees permettent de corriger en partie ce d´efaut. Par exemple, Li et al. [47]2et Lankton et Tannenbaum [48]2proposent le concept de contours actifs bas´es r´egion localis´es, o`u les constantes µinet µoutsont remplac´ees par une analyse statistique limit´ee `a un voisinage local `a chaque ´el´ement du contour.

Avantages et inconv´enients des mod`eles bas´es contours et bas´es r´egion Il n’est pas possible de trancher de fac¸on cat´egorique en faveur des approches bas´ees r´egion ou des approches bas´ees contours. Les mod`eles FBR b´en´eficient d’une certaine robustessse apport´ee par la statistique globale. Cependant, cette robustesse macroscopique se fait souvent au d´etriment d’une bonne identification au niveau lo-cal, o`u les mod`eles FBC donnent des r´esultats g´en´eralement meilleurs. D’un autre cˆot´e, les approches FBC d´ependent de fac¸on critique de la pr´ecision de la carte sca-laire des contours f. Cette information, d´eriv´ee g´en´eralement du gradient de l’image,

3. Ces approches ont ´et´e formul´ees `a l’origine dans le formalisme des ensembles de niveaux

4. Pour une repr´esentation param´etrique, N = (Sm× Sn)/ |Sm× Sn|. Dans le cas implicite, N = −∇φ/ |∇φ|.

est sensible au bruit. Pour compenser cette faiblesse, il est en g´en´eral n´ecessaire de d´ebruiter l’image par des pr´etraitements adapt´es pr´eservant ou am´eliorant la nettet´e des contours, objet de notre prochaine section.