Param`etres

La multiplicit´e des param`etres ´etant un probl`eme r´ecurrent des mod`eles d´eformables, nous avons fait le choix de limiter leur nombre en ´etablissant des relations empiriques simples entre certains param`etres. Ces relations, si elles sont simples, ne doivent pas ˆetre comprises comme optimales mais comme permettant un compromis satisfaisant entre

ro-Tableau 4.1 – Liste des param`etres et fonctions associ´es `a la m´ethode 4DGVF

Description Valeurs indicatives

[intervalle typique] Mod`ele d´eformable

α ´elasticit´e 0.4, [0, 1]

β rigidit´e/r´esistance `a la torsion 0.2, [0, 1]

d_min crit`ere de d´eplacement minimum 0.1

4DGVF

n_it nombre d’it´erations du 4DGVF 500

κ force de l’attache `a la carte vectorielle f exp−^{|∇f |}_0.05²

µ force de la diffusion isotrope de F 0.1, [0, 1]

Lissage

σ₀ pr´e-filtrage de l’image fonction du bruit

σ tenseur de structure σ = σ₀/2

Initialisation Cas 1 : Ellipso¨ıdale

O = (O₁, ..., O_p) centre estim´e de l’ellipso¨ıde r = (r1, ..., rp) demi-axes estim´es de l’ellipso¨ıde Cas 2 : VPIG

r₀ rayon estim´e de l’objet

Amin aire/volume minimal des isosurfaces πr₀^p

σ_{V P IG} lissage accentu´e des composantes 1.5σ₀

n_E nombre d’isosurfaces reconstruites 30

Pond´eration

δ dilatation du mod`ele en voxels r₀/2

γ contrˆole de la lin´earit´e des poids 2, [0, 3]

bustesse et g´en´eralit´e de la m´ethode. Elles ont ´et´e employ´es pour toutes nos exp´erimenta-tions. Nous discutons ci-apr`es des principaux param`etres list´es. Les param`etres et fonc-tions de la m´ethode 4DGVF sont list´es dans le tableau 4.1, accompagn´es des valeurs ty-piques utilis´ees dans nos exp´erimentations. Ces valeurs ont ´et´e ´etablies de mani`ere empi-riques sur la base de simulations pour lesquelles une v´erit´e terrain ´etait disponible. Nous avons retenu comme m´etrique de s´election le crit`ere de Jaccard J(A, B) [111], qui me-sure le ratio entre l’intersection et l’union des volumes de la v´erit´e terrain (A) et de l’objet segment´e (B).

J(A, B) = |A ∩ B|

|A ∪ B|^. (4.20)

Le crit`ere peut prendre des valeurs entre 0 et 1, la valeur 1 correspondant `a une seg-mentation parfaite.

Param`etres li´es au champ 4DGVF

— Le niveau de bruit ´elev´e des images trait´ees impose un choix robuste des param`etres de lissage du champ 4DGVF, en particulier des fonctions de pond´eration g et h de l’´equation (4.15). Dans l’article original du GVF, Xu et Prince proposent un

coef-ficient de diffusion g constant et un param`etre d’attache aux donn´ees h = |∇f|2. Dans la formulation GGVF, Xu et Prince proposent g = exp(−|∇f |2

κ )et h = 1 − g, o`u κ est un param`etre d’´echelle contrˆolant l’´equilibre entre les deux termes de l’´equation. Paragios et al. [112], proposent de rendre le terme d’attache aux donn´ees h du GVF d´ependant de l’amplitude f des contours : h = f|∇f|2. Comme ils le montrent, cette am´elioration du GVF conduit `a une plus grande robustesse en fa-vorisant la diffusion des contours forts au d´etriment des contours faibles caus´es par le bruit. Nous employons la variante GGVF de cette am´elioration : h(f) = f exp−<sup>|∇f |</sup><sub>κ</sub> <sup>2</sup>, o`u κ est le param`etre d’´echelle du GGVF. En raison des niveaux de bruits ´elev´es dans nos exp´erimentations, nous employons une fonction de diffusion des vecteurs gradient constante g(f) = µ.

— Le niveau de bruit intervient ´egalement dans l’expression du tenseur de structure :

˜ G_ω,σ = "_M X k=1 ω_k∇Ik,σ0∇Ik,σ^T 0 # ∗ Kσ, (4.21)

o`u σ0 contrˆole le niveau de pr´e-filtrage de l’image, et o`u σ r´egularise le tenseur. σ₀ est d´etermin´e en fonction du niveau de bruit et est un param`etre explicite de la m´ethode. Nous trouvons un compromis exp´erimental satisfaisant en fixant σ = σ₀/2.

— Nous choisissons comme norme du gradient la norme de coh´erence :

Nω:= Ñ p−1X i=1 p X j=i+1 (λ_i− λj)² é1 4 . (4.22)

Cette norme mesure la quantit´e locale d’anisotropie et met en ´evidence les struc-tures orient´ees dans l’image. Nous g´en´eralisons ainsi `a p dimensions la norme pro-pos´ee par Sapiro et Weickert pour la r´egularisation d’images couleur [113, 79]. Les valeurs propres du tenseur de structure ´etant homog`enes au carr´e de l’amplitude du gradient, la racine quatri`eme permet d’ˆetre homog`ene `a l’amplitude des contours. Cette norme offre un bon compromis entre visibilit´e des contours et rapport signal sur bruit, en d´efavorisant les r´egions pour lesquelles les valeurs propres sont d’am-plitudes comparables (points isol´es). Nous en d´erivons une carte des contours pour nos exp´erimentations f = N2

ω.

Comme il est souvent d’usage pour les champs de forces bas´ees contours, f est normalis´ee entre 0 et 1 pour standardiser le choix des param`etres.

Param`etres li´es `a l’initialisation du mod`ele

Alternativement `a une initialisation manuelle, par exemple par une ellipso¨ıde de centre O et de demi axes r, l’approche d’initialisation automatique VPIG n´ecessite d’estimer l’ordre de grandeur de l’objet `a segmenter au travers d’un param`etre d’´echelle r, exprim´e en nombre de voxels. `A p dimensions, nous d´efinissons une aire (en 2D) ou un volume (en 3D) caract´eristique Amin:

Amin = πr₀^p.

L’initialisation propos´ee en 2D (resp. en 3D) ne retient alors que les contours (resp. les surfaces) englobant une aire (resp. un volume) sup´erieure `a Amin.

Param`etres li´es `a l’´energie interne

Bien que notre contribution porte sur le terme d’´energie externe des mod`eles d´eforma-bles, les param`etres d’´energie interne α et β ont ´egalement une influence sur la qualit´e des segmentation produites. Pour ne pas influencer les r´esultats, ces param`etres ont ´et´e fix´es pour toutes les exp´erimentations `a des valeurs permettant un compromis satisfaisant entre r´egularit´e et correspondance aux objets segment´es dans le cas d’images bruit´ees (α = 0.4 et β = 0.3). Ce r´eglage a ´et´e fait sur la base d’un compromis subjectif entre les valeurs du crit`ere de Jaccard et le fait que, dans nos exp´erimentations, les mod`eles soient relativement insensibles aux variations autour de ces valeurs typiques. En fonction de la qualit´e des images et de la complexit´e des formes `a segmenter, un r´eglage empirique plus fin de ces param`etres peut toutefois s’av´erer n´ecessaire. Cette ´etude d´epasserait le cadre de ce travail, o`u nous souhaitons d´emontrer l’int´erˆet du nouveau terme de forces ext´erieures.