Plongements de sous-arbres

Pour toute position U, on définit un ordre sur edg(U) + ver(U) en prenant la plus petite relation ≤ réflexive et transitive telle que pour tout e ∈ edg(U),

— si t(e) est définie, alors e ≤ t(e).

Cette relation forme un ordre partiel par acyclicité de U. Un arc dans U est orienté ssi la fonction [0, 1] U correspondante est croissante.

Un plongement h: U V est dit clos par le bas ssi pour tout arc orienté x � h(y) dans

V, on a x ∈ h(U).

Définition 3.8. Un plongement de sous-arbre est un plongement h: U V clos par le bas, tel que U est connexe et enracinée. On note ces plongements par la flèche h: U V. Ils forment une sous-catégorie de P.

Un plongement de sous-arbre U V est, en gros, l’injection d’un sous-arbre complet de

V dans V . Une caractérisation équivalente est :

Lemme 3.10. Un morphisme h est un plongement de sous-arbre si et seulement s’il est

obtenu par pushout

1 U

V W

ρ

f h

d’un morphisme racine ρ, i.e., un morphisme 1 U envoyant l’unique sommet de 1 sur la racine de U, pour U connexe, le long d’un morphisme feuille f, i.e., un morphisme 1 V envoyant l’unique sommet de 1 sur un sommet de V sans arête entrante.

On utilise pour le résultat précédent un lemme intermédiaire. On dit qu’un morphisme

f: U V conserve les atomes si tout sommet de U qui possède une arête entrante

ato-mique (i.e., d’étiquette un certain a⊥ avec a ∈ A) a pour image un sommet de V avec une arête entrante de même étiquette. Les morphismes persistants conservent en particulier les atomes, mais également, par exemple, les morphismes qui écrasent uniquement des arêtes non pendantes. Le lemme 3.10 est une conséquence de :

Lemme 3.11. Soit f : U V est un morphisme sans occurrence, qui préserve la racine entre deux positions connexes enracinées U et V , et qui conserve les atomes. Soit g : U W un plongement de sous-arbre. Alors il existe un pushout

U V W X f g p q

et q est encore un plongement de sous-arbre.

Preuve. Ce pushout est calculé comme dans Top, et consiste à greffer la position enracinée V dans W sur le même sommet que celui sélectionné par g.

Soit v ∈ ver(W) l’image de la racine de U par g, et v�la racine de V . On définit la position

X en posant :

edg(X) := edg(V ) + (edg(W ) \ edg(U))

�X := �V + �W

les sources et buts des arêtes étant hérités des orientations dans V et W (elles sont identiques pour les parties communes car f et g sont sans occurrence). Seules les hypothèses de non-branchement et de bonne formation locale ne sont pas trivialement vérifiées pour s’assurer que X est bien définie. Le non-branchement est cependant immédiat pour tous les sommets sauf l’image de v� : pour ce dernier on remarque qu’en tant que racine de V , v� n’a aucune arête sortante dans V . Pour la bonne formation locale de X :

— comme V est localement bien formée, les voisinages des sommets de X qui proviennent de V à l’exception de v� sont bien formés ;

— de même pour les sommets qui proviennent de W à l’exception de v ;

— pour le sommet v�, s’il possède une arête sortante étiquetée de la forme a⊥, alors

v∈ ver(W ) possède une arête sortante d’étiquette a^⊥. Par bonne formation locale de

W, il existe une arête entrante e ∈ edg(W) d’étiquette a⊥. On distingue alors deux cas : soit e �∈ edg(U) et on retrouve bien cette même arête dans edg(W)\edg(U), donc dans edg(X) ; soit e ∈ edg(U), mais comme f est sans occurrence et que f conserve les atomes, alors le voisinage de de v� dans V possède encore une arête entrante de même étiquette que e. Cette arête est donc dans edg(X). Dans les deux cas, v� a bien une arête entrante dans X d’étiquette a⊥.

Les morphismes p et q sont définis par p(x) = f(x), op(e) = of(e), et q(x) = g(x),

o_q(x) = og(x) = �. La flèche q est un plongement (évidemment injectif et persistant), clos par le bas par construction, donc q est un plongement de sous-arbre.

Le carré est bien un pushout dans P : soit

W ^p� X^{� q�} V

un autre cocône, et k : X X^� un morphisme qui relie les deux cocônes. Si x ∈ X, alors : — soit x provient de V , donc il existe x� ∈ V tel que p(x^�) = x, donc k(x) = k(p(x�)) =

p^�(x�) ;

— soit x provient de W , et de même il existe x� ∈ W tel que k(x) = q^�(x�).

De même pour les arêtes persistantes par k, on a ok(e) = op�(e�) quand e est dans l’image de p, pour une certaine arête e�, et similairement dans le cas contraire ok(e) = oq�(e�).

Comme par ailleurs tout sommet v ∈ ver(X) a un antécédent dans W ou V , alors il existe un sommet de v� ∈ ver(X^�) tel que k(v) = v�, les équations précédentes suffisent à définir

k.

Preuve du lemme 3.10. Pour l’implication, si h: U W est un plongement de sous-arbre, on note v l’image de la racine de U par h. La position V est formée à partir de W en retirant tous les points qui possèdent un arc orienté non trivial vers v : on retire donc l’image de U privée de v. On vérifie simplement que c’est le pushout demandé.

Réciproquement, un morphisme feuille est un plongement de sous-arbre, donc son pushout le long de ρ est encore un plongement de sous-arbre par le lemme 3.11.

Lemme 3.12. On peut prendre le pullback de deux plongements de sous-arbres.

Preuve. Soient :

U ^f W ^k V

deux plongements de sous-arbres. Leur pullback est calculé comme dans Top en définissant d’abord P la position par :

— les sommets de P sont les sommets de W qui sont à la fois dans l’image de f et dans celle de k ;

— les arêtes de P sont les arêtes de W qui sont à la fois dans l’image de f et dans celle de k ;

— leurs étiquettes sont celles dans W (qui sont identiques aux étiquettes de leurs anté-cédents dans U et V ) ;

— les orientations sont héritées de W .

Comme f et k sont injectives, il existe des inclusions canoniques P U et P V. Pour vérifier que P est une position, les conditions de non-branchement et d’acyclicité sont donc évidentes. Il reste à vérifier la bonne formation locale et le quasi-enracinement.

Pour la bonne formation locale, soit v ∈ ver(P) un sommet qui possède une arête sortante atomique e ∈ edg(P). Comme W est localement bien formée, il existe une arête atomique

e^� ∈ edg(P ) de même étiquette que e et de sommet but v. Comme f et k sont des plongements de sous-arbres dont l’image contient v, alors e� est encore dans leur image.

Pour le quasi-enracinement, on remarque d’abord que si deux sommets sont dans P , alors il existe un chemin non orienté dans W qui les relie : ceci provient du fait qu’ils sont tous les deux dans les sous-arbres U et V . Pour toute paire de sommet, l’un des deux au moins possède donc une arête sortante, ce qui montre que P a au plus une racine.

Le fait que ce cône est universel est une simple vérification, que l’on détaillera dans un cas similaire au lemme 3.14.