7.2 Une catégorie triple
7.2.1 Cubes de descente
VA�B ×V˙B�C ∼
= ˝�VA�B�C Dc V˙A�C,
où c: (A � B � C) (A � C) est la coupure qui écrase l’arête B, et l’isomorphisme du milieu est le recollement de stratégies donné en proposition 4.8.
Le résultat principal de la partie 7.5 réside dans le fait que cette opération est bien une loi de composition, et en particulier qu’elle vérifie bien la propriété d’associativité. Ce résultat fait l’objet du théorème 7.21, dont la preuve met en œuvre des techniques génériques fournies par le langage des foncteurs polynomiaux, qui reposent fortement sur les résultats généraux du chapitre 6.
Ces mêmes techniques servent en section 7.6 à montrer que la catégorie des stratégies que l’on vient de définir possède la structure de réponse définie au chapitre 2.
7.2 Une catégorie triple
7.2.1 Cubes de descente
On définit dans cette partie les structures annoncées précédemment : — la catégorie double D0 des tuiles de descente,
— et la catégorie triple T0 des cubes de descente.
La catégorie horizontale de D0 est la catégorie des morphismes de descente D0
h. Sa caté-gorie verticale est la catécaté-gorie des câbles K0
des tuiles de descente atomiques : il s’agit des diagrammes de la forme X X� Y Y� Z Z� c1 h c m h� m� c2 et X Y X�, Z c1 h c m c2 (7.1)
où les bords verticaux, non dégénérés, sont des câbles élémentaires, et où les bords horizontaux sont des morphismes de descente. D’après le théorème 5.29, le bord bas-gauche de chaque diagramme détermine le reste du carré à un isomorphisme près.
Définition 7.3. La catégorie D0
V est la catégorie libre engendrée par le graphe dont les sommets sont les morphismes de descente, et dont les arêtes c1 c2 sont les tuiles de descente élémentaires données en (7.1).
Remarque 7.2. Les bords des tuiles de descente sont des câbles : les objets de D0
V sont donc tous connexes.
Proposition 7.1. Les foncteurs dom, cod: D0
V K0
v s’étendent en une structure de caté-gorie double D0.
Preuve. Le seul point un peu délicat concerne la définition de la composition horizontale. On
procède en fait comme pour la composition horizontale des tuiles de câbles à la section 4.1.2, en utilisant une induction sur la longueur du bord droit des tuiles de descente.
Dans le cas de deux tuiles de descente élémentaires ou triviales :
X X� X��
Z Z� Z��,
α β
on raisonne par cas :
— si α est triangulaire, alors β est triviale ;
— si le bord droit de α n’est pas trivial, alors le diagramme de bord gauche lef(α) et de bord droit rig(β) obtenu en composant les morphismes de descente est encore une tuile de descente par unicité de la factorisation.
Cette opération est associative et vérifie la loi d’échange, en appliquant les mêmes preuves qu’au lemme 4.3 et qu’en proposition 4.4.
On peut désormais définir la catégorie triple T0des cubes de descente, qui est une structure à trois dimensions et qui inclut les plongements ouverts, les câbles et les morphismes de descente. Contrairement aux catégories des câbles ou des tuiles de descente, que l’on avait définies en donnant leurs générateurs avec les tuiles de câbles ou de descentes élémentaires, nous définissons directement la catégorie T0 via ses cubes de descente. Nous isolerons ensuite des cubes de descente élémentaires à la définition 7.5, et nous montrerons au théorème 7.2 que tous les cubes s’écrivent comme une composée de cubes élémentaires.
Définition 7.4. Un cube de descente est un quadruplet (α, β, α�, β�) tel qu’il apparait dans un diagramme de la forme : U U� X X� V V� Y Y� β β� α α� (7.2)
où les bords verticaux sont des câbles, α et α� sont des cellules dans K0, β et β� sont des cellules dans D0, et où les faces inférieure et supérieure commutent dans P.
Les faces inférieure et supérieure de ces cubes sont des cellules dans la catégorie double Emb dont :
— les objets sont les positions connexes,
— la catégorie horizontale est la catégorie Emb,
— la catégorie verticale est la catégorie des morphismes de descente D0
h, — les cellules sont tous les carrés commutatifs de P entre ces morphismes.
Pour chaque cube de descente, on peut donner six fonctions qui envoient le cube sur ses faces : T0 D0 2 Emb D0 h K0 2 K0 v Emb P0 fro lef bac rig bas roo
où les commutations évidentes sont vérifiées. Les noms de ces fonctions proviennent des faces qu’elles sélectionnent : fro (front, face avant), bac (back, face arrière), roo (roof, face supérieure), bas (base, face inférieure), lef (left, face gauche), rig (right, face droite).
On peut par ailleurs définir des compositions dans chacune des trois directions de la catégorie pour obtenir :
Remarque 7.3. Les cubes de descente forment une catégorie triple T0, i.e., un objet catégorie dans DCat.
Les cellules triples de T0 sont donc les cubes dont :
— les faces inférieure et supérieure sont des morphismes dans Emb ; — les faces gauche et droite sont des cellules doubles dans K0; — les faces avant et arrière sont des cellules doubles dans D0
Une propriété essentielle des cubes de descente est qu’ils admettent une unique décompo-sition en cubes élémentaires, ce qui est formalisé par le théorème 7.2.
Définition 7.5. Un cube de descente élémentaire est un cube de descente de l’une des formes suivantes, où toutes les arêtes verticales représentées sont des câbles élémentaires :
U U� X X� V V� Y Y� U X V V� Y Y� X X� V V� Y Y� X V V� Y Y�.
Les cubes de descente élémentaires forment un graphe Te, dont les sommets sont les morphismes dans Emb , les arêtes étant les cubes de descente élémentaires, notre convention étant que la source est la face du haut et le but la face du bas.
De même, les cubes de descente forment un graphe roo, bas: T0 Emb , notre conven-tion étant que roo est la foncconven-tion source et bas la foncconven-tion but.
On a de plus une inclusion évidente de graphes I : Te T0. Or T0 forme une catégo-rie ; on obtient donc par propriété universelle un unique foncteur I∗: (Te)∗ T0 faisant commuter le diagramme Te (Te)∗ T0 η I I ∗
de graphes, où (Te)∗ est la catégorie libre engendrée par Te, i.e., ses objets sont ceux de Te
et ses morphismes sont les chemins dans Te. La propriété essentielle évoquée plus haut est :
Théorème 7.2. Le foncteur I∗ est un isomorphisme, identité sur les objets.
On a besoin de quelques lemmes.
Lemme 7.3. Soient un carré commutatif (c, d): j h dans Emb , α: � k une tuile de câbles dans K0
H et β : � �� et β�: k k� des tuiles de descente dans D0
H, comme représenté dans U U� X X� V V� Y Y�. β β� α �� d c � k k� j h
Si k et � sont tous deux des câbles élémentaires, alors |��| = |k�|, i.e., k� est trivial ssi �� l’est. Preuve. Si k� est trivial, alors d écrase l’arête active du coup sous-jacent à k. Or, � n’étant pas trivial, V contient cette arête active, qui est donc écrasée par c aussi : �� est trivial.
Si k� n’est pas trivial, l’arête active du coup sous-jacent n’est pas écrasée par d, donc a
fortiori pas non plus par c : �� n’est pas trivial.
Lemme 7.4. Il n’existe pas de cube de descente de la forme
U U� X X� V� Y Y� W W� Z Z�, k k� c
où les arêtes verticales k : Y Z, k�: Y� Z� et V� W� sont des câbles élémentaires. Preuve. S’il en existait un, on aurait un cône d’épimorphismes qui ferait commuter le
rec-tangle
U U� V�
W Y Y�.
(Les câbles sont épis d’après lemme 4.2, et les morphismes de descente également d’après les lemmes 5.9 et 5.17.)
Or, le câble élémentaire k : Y Z, descendant en un câble élémentaire k�: Y� Z� non trivial, le morphisme de descente c: Z Z� n’écrase pas son arête active.
L’arête active de k est nécessairement présente dans W : si ce n’était pas le cas, alors W�
ne contiendrait pas non plus l’arête active de k�, ce qui contredirait le fait qu’il existe une tuile de câbles élémentaire sur la face de droite.
Pour admettre une tuile de câbles idW k depuis un câble trivial, Y doit contenir deux arêtes, disons e1 et e2, s’envoyant sur la même arête e par k, l’une, disons e1 avec une occurrence vide et l’autre avec une occurrence alternante. Ces deux arêtes survivent à la descente et s’envoient respectivement sur e�1 et e�2 dans Y�. L’image de W Y, doit de plus contenir e1 mais pas e2, donc celle de W Y Y� contient e�1 mais pas e�2. De même, l’image de V� Y� doit contenir e�2 mais pas e�1 (par définition du câble élémentaire
V� W�, celui-ci n’étant pas un câble trivial).
Revenons maintenant au rectangle ci-dessus. Comme il commute, les images des deux morphismes doivent coïncider. Cependant, l’une contient e�1 mais pas e�2 et l’autre contient
e�2 mais pas e�1 : contradiction.
U U� X X� V V� Y Y� W W� Z Z�
où les arêtes verticales V W, Y Z, Y� Z� et V� W� sont des câbles élémentaires. Preuve. Comme k : Y Z descend en un câble élémentaire k��: Y� Z�, alors c: Z Z�
n’écrase pas son arête active e. Comme k�: V W est aussi un câble élémentaire, on déduit de l’existence de la tuile de câbles k� kque W contient e. On en déduit aussi que e admet un antécédent e1 par k�, qui admet une occurrence alternante.
Or, l’existence de la tuile de câbles idW� k�� assure que e admet un autre antécédent que e1 par k, disons e2, qui est munie de l’occurrence vide. Ces deux arêtes survivent à la descente et ont pour images respectives e�1 et e�2 dans Y�. Par construction, W� contient e�2
mais pas e�1. En revanche, l’image de V Y Y� contient e�1 mais pas e�2. Le diagramme
V V� W�
Y Y�
ne commute donc pas, puisque les deux chemins n’ont pas la même image.
Or, l’existence supposée du cube de descente implique que, préfixé par U V, ce même diagramme commute, ce qui est impossible puisque U V est épi.
Lemme 7.6. Si l’on dispose de morphismes sous la forme :
U U� X X� V V� Y Y� W W� Z Z� tels que :
— le cube extérieur est un cube de descente ;
— et les faces gauche, droite, avant et arrière commutents ; alors le carré
V V�
Y Y� commute.
Preuve. Le carré en question, préfixé par U V, commute. Comme ce morphisme est épi, il commute.
Preuve du théorème 7.2. Ce foncteur est évidemment l’identité sur les objets ; il suffit donc
de montrer qu’il est plein et fidèle. Pour cela, on montre qu’étant donné un cube de descente
θ: e e�, il existe un unique chemin ρ: e e� dans Te tel que I∗(ρ) = θ. En posant
θ= (α, β, α�, β�) comme à l’équation (7.2), on procède par induction sur la longueur du câble
k: X Y.
On montre facilement que si k est la liste vide, alors θ est le cube trivial : c’est donc l’image du chemin vide et de lui seul. Sinon, on a quatre cas.
Soit αk: k� kla première tuile de câbles de la face gauche du cube et soit γk: k k��
la première tuile de descente de la face avant.
Si k� et k�� sont tous deux des câbles élémentaires (i.e., non-triviaux), alors la première tuile de descente de la face du fond est de la forme αb: k� kb. Par le lemme 7.3, kb est un câble élémentaire. Par le lemme 7.5, la première tuile de câbles du bord droit du cube est de la forme βr: kb k��. On conclut par le lemme 7.6 et par hypothèse d’induction.
Si k�est non-trivial mais k��l’est, alors par le lemme 7.3, la première tuile de la face du fond est de la forme αb: k� idW�. On conclut par le lemme 7.6 et par hypothèse d’induction.
Si k� est trivial mais pas k��, alors par le lemme 7.4 la première tuile de la face de droite est de la forme βr: idW� k�� et on conclut par le lemme 7.6 et par hypothèse d’induction. Si k� et k��sont tous deux triviaux, on conclut par le lemme 7.6 et par hypothèse d’induc-tion.