Interaction avec les plongements ouverts

De même que pour les contractions à la section 5.4, l’ensemble des plongements ouverts ne forme pas en général un système de commutation avec l’ensemble des affaiblissements notamment parce qu’un affaiblissement w de la forme :

w

peut se décomposer en :

w^� h^�

où h� est un plongement et w� un affaiblissement.

On peut cependant prouver qu’il existe une commutation des affaiblissements et des plon-gements, qui est maximale au sens du résultat suivant :

Lemme 5.35. Toute composée :

U ^h V ^w W

avec h ∈ Emb et w ∈ Weak se factorise en :

U ^w� V^{� h�} W

avec h� ∈ Emb et w^� ∈ Weak. Cette factorisation est maximale, car pour toute paire h^��∈ Emb

et w��∈ Weak telle que :

U V^�

V�� W

w^�

w�� h�

h^��

Preuve. On note h: U V un plongement et w : V W un affaiblissement élémentaire, en procédant comme pour les résultats précédents par induction sur la longueur d’une dé-composition des affaiblissements.

On note :

1 V

X W

ρ _w

le pushout dont provient l’affaiblissement élémentaire w, en notant 1 l’image de son unique sommet dans V ou dans X. Le cas où 1 n’a pas d’inverse par h est facile, car les sous-positions affectées par h et w sont disjointes. Lorsque 1 est également un sommet de U, alors on choisit

w: U V^� l’affaiblissement

1 U

X V^�.

ρ _w�

La position V� est un ouvert de W , ce qui donne le plongement h�: V� W.

Pour prouver la maximalité, on remarque que h��, étant ouvert, ne peut pas ajouter des arêtes aux sommets déjà présents dans son domaine : pour chaque sous-arbre X affaibli par

w^�, alors w�� affaiblit au minimum les arêtes à la racine de X. Pour chaque arête e à la racine de X, on note Xe le sous-arbre négatif de X contenant e : ce sont des ouverts de X. De même on note X�le sous-arbre de X affaibli par w��, et X�

eles sous-arbres négatifs sous chaque arête

eà la racine de X�. On a l’inclusion X�

e ⊆ Xe. Le plongement h� est ouvert, donc Xe est un ouvert de W . De même, X�

e est un ouvert de W , donc l’inclusion X�

e X_e est un plongement, ce qui définit un plongement k : V�� V^�. Ce dernier est unique car h� est mono.

Ainsi, dans le cas particulier des câbles où les plongements sont des plongements de composantes connexes, on prouve bien le lemme :

Lemme 5.36. On a bien le système de commutation CEmb � Weak. Chaque carré de

facto-risation est un pullback.

Preuve. Les pullbacks viennent du lemme 3.16, car un affaiblissement dont le domaine a

Chapitre 6

Quelques résultats sur les carrés

exacts

Avec la définition des stratégies au chapitre 4 et l’élimination des coupures via des systèmes de commutation au chapitre 5, nous avons défini tous les éléments de base de notre sémantique de jeux. Il reste à montrer comment l’élimination des coupures engendre une opération de

descente sur les stratégies, ce qui sera l’objet du chapitre 7.

Pour cela, nous utiliserons le langage des foncteurs polynomiaux [30, chapitre 16], d’une part pour définir l’opération de descente elle-même comme un foncteur polynomial, et d’autre part comme une technique systématique de preuve. Ainsi, les preuves d’associativité de la composition des stratégies et de correction de la sémantique de jeux seront des preuves d’égalité entre foncteurs polynomiaux.

Le but de ce court chapitre est donc de redonner les définitions que nous utiliserons par la suite, ainsi que quelques résultats principaux sur les diagrammes de foncteurs polynomiaux, définis en introduction (voir 1.2).

On se place ici dans le cadre, restreint par rapport à [30] ou [19], où l’on ne considère que des préfaisceaux booléens (les foncteurs ont pour codomaine 2) et non pas ensemblistes (les foncteurs ont pour codomaine Set). Concrètement, si C est une catégorie, un préfaisceau booléen est un foncteur :

σ: Cop 2 où :

— 2 est la catégorie — et même l’ordre — possédant exactement deux objets notés 0 et 1, et un unique morphisme non trivial 0 1 ;

— Cop est la catégorie formée à partir de C en renversant formellement tous les mor-phismes. En d’autres termes, Cop(A, B) = C(B, A).

Si la catégorie C est un préordre, on note alors un morphisme a bsous la forme a ≤ b. Un préfaisceau booléen σ sur C indique pour chaque objet s’il est accepté (σ(a) vaut 1) ou s’il est refusé (σ(a) vaut 0). Le fait que σ soit un foncteur indique que l’image d’un morphisme

a≤ b dans C est un morphisme σ(b) σ(a) dans 2, le sens de la flèche est renversé car σ a pour domaine Cop. Si b est accepté, i.e., σ(b) = 1, alors comme le seul morphisme dans 2 qui part de 1 est l’identité, a est également accepté. Si l’on voit le préordre dans C comme une relation « être un préfixe », alors un préfaisceau booléen sur C est équivalent à un ensemble d’objets de C acceptés, stable par préfixe et par isomorphisme.

Si σ, τ : Cop 2 sont deux préfaisceaux booléens, détaillons à présent les transforma-tions naturelles α: σ τ. Formellement, une telle transformation est [34] une famille de morphismes αa: σ(a) τ(a) dans 2 tels que pour tout morphisme f : a b, le diagramme

suivant commute : σ(a) σ(b) τ(a) τ(b). σ(f) τ(f) αa αb

Cependant dans le cas de préfaisceaux booléens, comme 2 est un préordre et donc qu’il existe au plus un morphisme entre deux objets donnés, alors la condition de naturalité est triviale. Une telle transformation naturelle exprime simplement le fait que les objets acceptés par σ sont inclus dans les objets acceptés par τ.

L’existence d’un isomorphisme naturel entre préfaisceaux booléens se résume en une éga-lité entre ces préfaisceaux.

Si C est une catégorie, on peut donc former la catégorie ÙC — qui est un ordre, car 2 l’est — dont les objets sont les préfaisceaux booléens sur C et dont les morphismes sont les transformations naturelles.

Les foncteurs polynomiaux sont une manière d’exprimer certains foncteurs entre ces ca-tégories de préfaisceaux.

6.1 Foncteurs entre préfaisceaux booléens

Définition 6.1. Si F : C D est un foncteur, alors on note F∗ le foncteur DÙ ÙC qui envoie chaque préfaisceau σ sur Fop◦ σ :

Cop Dop

2.

F^op

σ F∗(σ)

Le foncteur F∗ est appelé foncteur de restriction le long de F . On peut reformuler la définition précédente en disant que : un objet c ∈ C est accepté par F∗(σ) si et seulement si l’objet F (c) ∈ D est accepté par σ.

Proposition 6.1. Pour tout F , il existe deux adjonctions :

F_!� F^∗ et F^∗ � F∗.

Ces foncteurs sont respectivement les extensions de Kan à gauche et à droite, déjà données en introduction de cette thèse (chapitre 1). On rappelle que l’on dispose de caractérisations explicites grâce aux propositions 1.1 et 1.2. Intuitivement, ces caractérisations peuvent se formuler ainsi :

— si d ∈ Obj(D), alors F!(σ)d = 1 si et seulement s’il existe un morphisme d F cdans D tel que σc = 1 ;

— si d ∈ Obj(D), alors F∗(σ)d = 1 si et seulement si pour toute flèche F c d∈ Hom(D) alors σc = 1.