Fibrations ou op-fibrations

On montre dans cette partie un résultat spécifique aux préfaisceaux booléens, mais très similaire à [7, Lemme 3.6].

Définition 6.4 (Fibration). Soit F : C D un foncteur entre catégories. On dit que F est une fibration quand tout morphisme de la forme f : d F c admet un relèvement par F ,

i.e., un morphisme u: c� ctel que F u = f. On demande que ce relèvement soit de surcroit

cartésien, c’est-à-dire que pour toutes flèches g et v telles que f ◦ g = Fv comme dans le

diagramme : c�� c c^� F c^�� F c d v w u g _f F F F

où u est le relèvement par F de f, alors il existe une unique flèche w qui fait commuter le diagramme et telle que F w = g.

Une op-fibration est une fibration entre les catégories opposées, i.e., F : C D est une op-fibration si et seulement si Fop: Cop _Dop est une fibration.

Proposition 6.10. Pour les préfaisceaux booléens, tout pullback :

D B A C Σq Δp Δg Σf id

est exact si f est une fibration. Preuve. On a déjà l’implication : D B A C Σ Δ Δ Σ

dont il reste à montrer la réciproque.

Soit F ∈ÙA, et b un objet de B. On calcule les valeurs sur b de l’image de F par chaque foncteur polynômial :

(i) par le foncteur du bas :

(ΔgΣfF)(b) = ^�

{a|∃gb fa} F a, (ii) par le foncteur du haut :

(ΣqΔpF)(b) = ^�

{d|∃b qd}

F(p(d)) = ^�

{a�,b�|∃b b�∧fa�=gb�} F(a�).

Soit u: gb f a tel que F a = 1. On prend v : a� a un relèvement cartésien de u par f, en particulier fv = u. On a fa� = gb, donc (a�, b) est bien un objet du pullback D. Comme F a = 1 et qu’il existe un morphisme a� a, alors F a� = 1, ce qui montre que l’on a bien (ii).

Proposition 6.11. Pour les préfaisceaux booléens, le carré : D B A C Σq Δp Δg Σf id

est exact si g est une op-fibration.

Preuve. On reprend les mêmes notations qu’à la proposition 6.10. Soit u: gb f a tel que

Chapitre 7

Descente

Avec les résultats du chapitre 5 concernant les systèmes de commutation, nous pouvons désormais définir la descente des stratégies, qui correspond au hiding habituel de la séman-tique des jeux. En appliquant le recollement des stratégies, introduit à la section 4.3.1 suivi de la descente, nous montrons à la section 7.5 que l’on peut définir une opération associative sur les stratégies. Dans le cas particulier des stratégies sur des séquents de la forme A � B à la section 7.6, cette opération définit une composition qui forme une catégorie de réponse, dont on conjecture l’équivalence avec la catégorie de réponse syntaxique de la section 2.3.

7.1 Plan du chapitre

Si l’on se donne un morphisme de descente c: X Y, on veut pouvoir définir une opération qui établit une relation entre les parties acceptées sur X et les parties acceptées sur

Y. Les systèmes de commutation du chapitre 5 fournissent l’outil de base pour transformer les parties sur X vers les parties sur Y , mais cette relation n’est pas fonctionnelle :

— un objet (k, h) ∈ K/X est une paire composée d’un plongement ouvert h: X� X

et d’un câble k : X�� X^�. Il est en particulier possible que X� contienne une arête écrasée par c, mais ne contienne pas l’un de ses sommets source ou but. Dans ce cas, le câble k n’admet pas de descente par le système de commutation 5.29 ;

— et dans les cas où la descente est définie, elle ne l’est en réalité qu’à isomorphisme près.

On représente pour ces raisons la descente le long de c comme un span : K/X lef TH/c

rig

K/Y

où TH/cest une catégorie qui possède un objet t si et seulement si lef(t) descend le long de c sur le câble rig(t).

Examinons succinctement les étapes principales de la construction de ce span. On com-mence en section 7.2 par définir une nouvelle catégorie double D0, la catégorie des tuiles de

descente, à partir de laquelle on formera la catégorie triple T0 des cubes de descente. En fixant une direction dans cette catégorie triple, on obtient une catégorie double T0

H, que l’on étend en TH avec la méthode déjà décrite à la définition 4.4. On procède ensuite comme à la section 4.2.1 pour relativiser les tuiles de descentes à un morphisme de descente c: X Y, pour former la catégorie TH/c. Cette opération de relativisation construit simultanément les deux fonctions lef et rig annoncés.

La section 7.3 est une suite de résultats assez naturels, mais dont les preuves sont essen-tiellement techniques, permettant de reconstruire des cubes de T0 à partir de certaines de leurs faces.

L’intérêt de cette structure réside surtout dans le fait de pouvoir écrire à la section 7.4 la définition suivante de la descente des stratégies gagnantes, que l’on donne dès à présent : Définition 7.1. Le foncteur Dc:V¯/X V¯/Y, appelé descente le long de c: X Y, est la composée de :

— l’extension de Kan à droite le long de l’opposé de V/X K/X, — la restriction le long de l’opposé de lef : TH/c K/X,

— l’extension de Kan à gauche le long de l’opposé de rig: TH/c K/Y,

— la restriction aux vues, i.e., la restriction le long de l’opposé de V/Y K/Y. Graphiquement, on parcourt (de gauche à droite) :

V/X K/X dom TH/c cod K/Y V/Y.

Remarque 7.1. La descente, vue comme un foncteur V¯/X V¯/Y, est donc un foncteur polynomial au sens de Kock [30, chapitre 16], défini par la composée :

V/X Π K/X Δ TH/c Σ K/Y Δ V/Y.

Le foncteur de descente est à priori défini pour n’importe quel préfaisceau booléen sur une catégorie de vues, mais on peut montrer que les stratégies gagnantes (définies en section 4.2.2) restent stables par application de Dc.

On peut alors utiliser cette opération en section 7.5 dans le but de définir une catégorie de stratégies, dont la composition est définie par :

Définition 7.2. Pour toutes formules A, B et C, on définit la composition en A, B, C comme le foncteur polynomial

˙

VA�B ×V^˙B�C ∼

= ˝�VA�B�C ^Dc V˙A�C,

où c: (A � B � C) (A � C) est la coupure qui écrase l’arête B, et l’isomorphisme du milieu est le recollement de stratégies donné en proposition 4.8.

Le résultat principal de la partie 7.5 réside dans le fait que cette opération est bien une loi de composition, et en particulier qu’elle vérifie bien la propriété d’associativité. Ce résultat fait l’objet du théorème 7.21, dont la preuve met en œuvre des techniques génériques fournies par le langage des foncteurs polynomiaux, qui reposent fortement sur les résultats généraux du chapitre 6.

Ces mêmes techniques servent en section 7.6 à montrer que la catégorie des stratégies que l’on vient de définir possède la structure de réponse définie au chapitre 2.