4.3.1 Recollement des stratégies
On décrit dans cette partie l’opération de recollement des stratégies, dont un cas parti-culier sera analogue à la composition parallèle en sémantique de jeux.
Rappelons d’abord que :
— pour un séquent Z, on note V(Z) l’ensemble des vues de V de codomaine Z. Il s’agit de la fibre de cod: V P au-dessus de Z ;
— pour une position X, on note Sq(X) comme en section 3.2.2 l’ensemble des séquents de X, i.e., les ouverts de X qui contiennent exactement un sommet.
Proposition 4.7. On a : V/X� � Z∈Sq(X) V(Z) � � Z∈Sq(X) (V/Z).
Preuve. Les objets de V/X sont les paires (v, h) où v est une vue sur un séquent S et h est un plongement ouvert S X. Un tel S est isomorphe à l’un des éléments Z de Sq(X), et on peut choisir une vue v� sur Z isomorphe à v dans V0.
Par propriété universelle du coproduit dans Cat, on obtient donc un procédé pour recoller des stratégies :
Proposition 4.8. Étant donné une famille de stratégies σx pour tous les joueurs x d’une position X, il existe une unique stratégie σ dont chaque restriction sur un séquent autour de x est σx. Ce recollement est défini par l’isomorphisme
¯ V/X � Z∈Sq(X)V˜/Z. σ,Z�→σ|Z P�→�P � (4.3)
Preuve. La proposition 4.7 donne l’équivalence de catégories :
Cat((V/X)op,2) � Cat ÑÑ � Z∈Sq(X) (V/Z) éop , 2 é .
Comme 2 n’a pas d’automorphismes non triviaux, le seul isomorphisme naturel entre deux foncteurs F, G: C 2, pour n’importe quelle catégorie C, est l’identité. L’équivalence précédente est donc un isomorphisme, et on a :
¯ V/X= Cat((V/X)op,2) ∼= Cat ÑÑ � Z∈Sq(X) (V/Z) éop , 2 é ∼ = � Z∈Sq(X) Cat((V/Z)op,2) = � Z∈Sq(X) ˜ V/Z.
On généralise ici la notation des séquents (A � B) : si A, B et C sont trois formules, alors on définit A � B � C la position à deux sommets 0 et 1, et trois arêtes 2, 3, 4, d’étiquettes respectives A, B et C, de la forme :
A 0 B 1 C ,
Définition 4.13. Soient X = (A � B), Y = (B � C), et U = (A � B � C). On considère deux stratégies σ ∈V¯/Xet τ ∈V¯/Y. Leur composition parallèle (σ | τ) ∈V¯/U est l’image de la famille P = [0 �→ σ, 1 �→ τ] par l’isomorphisme (4.3), i.e., �P�.
Proposition 4.9. Les stratégies gagnantes sont stables par composition parallèle.
Preuve. Chacune des propriétés, parmi non vide, finie, déterministe, robuste et réceptive, est
préservée par composition parallèle.
4.3.2 Extension des stratégies aux câbles
Dans cette partie, on étend d’une part les stratégies aux préfaisceaux booléens de câbles en général, sans se restreindre aux seules vues, et on montre d’autre part comment ces stratégies sont reliées aux stratégies naïves.
En appliquant à K0 la construction de la définition 4.4 sur les catégories doubles D0�→ D, on obtient une catégorie K dont les objets sont les câbles et dont les morphismes sont les classes d’équivalences de cellules de la forme :
Z X� X Y Y�, h w k l k� α
où k et k� sont des câbles.
De même que pour les vues, on définit un foncteur K¯/−: Embop Poset.
Il existe un plongement évident i: V K et, de manière similaire pour chaque position
X, un plongement i/X: V/X K/X. En choisissant des extensions de Kan à droite le long de (i/X)op, on obtient un foncteur, qui est en fait un morphisme de préordres, extX:V¯/X K¯/X.
On peut expliciter, pour une stratégie σ, son extension à droite extX(σ) le long de i/X
(V/X)op (K/X)op
2
σ extX(σ) (i/Xop)
qui vaut sur les objets, d’après [34, X.4] : extX(σ)(k, h) = � v,x σ(v, x)K/X((v,x),(k,h)) = � {v,x|∃α : (v,x) (k,h)} σ(v, x)
Autrement dit, extX(σ) est la stratégie qui accepte un câble lorsque toutes ses vues sont acceptées par σ.
Proposition 4.10. L’opération X �→ extX définit une transformation naturelle Embop Poset ˜ V/− ˜ K/− ext
On revient maintenant aux stratégies naïves, annoncées en début de chapitre. En première approche, on peut se restreindre aux positions sans arête pendante. Dans ce cas, on peut assimiler la catégorie K(X) à une catégorie de parties séquentielles. En effet, sur les positions sans arête pendante, les coups préservent la connexité et les câbles sont donc simplement des suites de coups. De plus, la notion de morphisme de câble dans K(X), c’est-à-dire les diagrammes (4.2) dans K0 tels que Y = Y� et l = idY, revient à l’ordre préfixe modulo isomorphisme. On peut donc poser :
Définition 4.14. Une stratégie naïve sur une position sans arête pendante X est un préfais-ceau booléen sur K(X).
On obtient un ordre partiel comme précédemment. On peut de plus composer la trans-formation naturelle de la proposition 4.10 avec la transtrans-formation obtenue par restriction le long de l’inclusion K(X) K/X pour obtenir une transformation naturelle de composantes
¯
V/X K¯/X, comme souhaité.
Le cas des positions avec arêtes pendantes est plus compliqué et on se contentera ici d’esquisser une solution. On commence par étendre K0, en remplaçant les câbles élémentaires par les câbles élémentaires généralisés, obtenus en demandant, dans la définition 4.5, que
h soit un plongement ouvert, mais sans exiger que son image soit une composante connexe de Z. Les câbles élémentaires généralisés contiennent donc en particulier les coups, obtenus en prenant h = idZ. En répétant les définitions suivantes, on obtient une notion de câble
généralisé et une catégorie double GK0, munie d’un plongement évident K0 GK0, qui induit un plongement K GK. De plus, appelons partie séquentielle un câble généralisé composé de câbles élémentaires généralisés (m, h) tels que h = id. Soit Plays la sous-catégorie pleine de GK restreinte aux parties séquentielles. Plays admet un foncteur d’oubli vers Emb, dont on peut donc prendre les fibres.
Définition 4.15. Une stratégie naïve sur une position arbitraire X est un préfaisceau booléen sur Plays(X).
Bien sûr, si X est totale, on a Plays(X) � K(X). Pour passer des stratégies innocentes aux stratégies naïves, on prend maintenant l’extension à droite le long du plongement V/X
Chapitre 5
Élimination des coupures par
systèmes de commutation
Nous avons mentionné le fait que le recollement de stratégies jouait le rôle de la com-position parallèle de la sémantique des jeux. Nous nous intéressons dans ce chapitre aux propriétés d’élimination des coupures dans la catégorie des positions, afin de pouvoir définir au chapitre 7 la descente des stratégies, qui joue le rôle du hiding en sémantique de jeux.
5.1 Résumé
Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la règle de coupure multiplicative Γ � A A,Δ �
Γ, Δ �
du λ-calcul, que l’on peut représenter par un morphisme
A
Γ Δ c Γ Δ
dans la catégorie des positions. Idéalement, l’élimination des coupures s’exprimerait comme une factorisation, sous la forme du lemme 5.10, de tout carré
U V W X m c f c�
où le bord droit f serait un coup lorsque le bord gauche m était déjà un coup. Lorsque c’est le cas, on dit que f est la descente de m le long de c. Pour arriver à cette première étape, on aura d’abord besoin d’autoriser les coupures à intervenir sur n’importe quelle arête de la position, et pas uniquement une arête adjacente à la racine comme suggéré par le morphisme
cprécédent.
Cependant, dans le cas où l’on considère la suite U m
W c X, avec m un coup au-dessus de la position W définie par
B ¬A
B ¬A B A , B et B B
alors en factorisant cm, le morphisme f : X V n’est pas un coup, mais une contraction
élémentaire. Pour une position enracinée X et une étiquette A, on définit le morphisme
évident δA,X: (A · X, A · X) (A · X) qui identifie les deux copies de A et de X. Alors : Définition 5.1 (Contraction élémentaire). Une contraction élémentaire est un morphisme δ obtenu par pushout le long de plongements de sous-arbre (définition 3.8) de la forme
(A · X, A · X) Y
(A · X) Z
δA,X δ
pour une formule A et une position enracinée X. Une contraction est une composée, potentiel-lement triviale, de contractions élémentaires, et on note Contr la catégorie des contractions. On observe que la flèche (A · X) Z est un plongement d’un sous-arbre complet dans le diagramme précédent.
Cet exemple montre qu’il est nécessaire d’ajouter une étape supplémentaire d’élimination des contractions : contrairement aux coupures, les classes de morphismes correspondantes ne forment pas un système de factorisation (voir 1.1), mais une variante plus faible, un système
de commutation, que l’on introduit en partie 5.2.
La présence de ces contractions dans l’élimination des coupures justifie par ailleurs le fait que l’on ne s’intéresse à qu’une règle de coupure multiplicative, et non à une coupure additive de la forme :
Γ � A A,Γ �
Γ � .
Cette dernière s’obtient en composant une coupure et une contraction, telles que décrites ici. Le résultat essentiel de ce chapitre est le théorème 5.29, qui assure d’une part que la classe des morphismes de descente, définis comme les morphismes qui se décomposent sous la forme
A c B δ C,
où c est une coupure, et δ une contraction, est une sous-catégorie ; et d’autre part que la composition définie au chapitre 7 est bien associative.