Câbles

On définit à présent la catégorie double K0 des tuiles de câbles, que l’on peut voir comme une généralisation des vues (ces dernières formeront une sous-catégorie pleine de la catégorie verticale K0

v) :

— sa catégorie horizontale K0

h est la sous-catégorie pleine de Emb (définition 3.9) dont les positions sont connexes, potentiellement vides,

— sa catégorie verticale est la catégorie libre engendrée par le graphe possédant les mêmes objets, et ayant pour arêtes X Y les câbles élémentaires.

Définition 4.5. Un câble élémentaire est une paire

X ^h Z ^m Y

de morphismes composables dans P, où : — m est un coup,

— la composée mh dans P n’est pas un isomorphisme.

Si l’on considère les sommets d’une position Y comme des joueurs, et que l’on joue sur

Y le coup m, alors ce coup décrit l’évolution de l’ensemble des joueurs. Un câble élémentaire permet au contraire, grâce au plongement ouvert h, de ne considérer plus qu’un sous-ensemble des joueurs après avoir joué le coup. Ceci permettra, lors de la construction des stratégies, de spécifier le comportement de tout sous-ensemble de joueurs sans tenir compte de l’évolution des autres joueurs éloignés dans la position.

Certains câbles élémentaires, où h n’est pas trivial, permettent de déduire l’ensemble de tous les autres câbles élémentaires de même coup m : c’est le cas lorsque l’image de h contient le sommet actif, en utilisant le corollaire 3.21. En utilisant par ailleurs le lemme 3.18, on peut remarquer que les seuls plongements possibles pour h sont les plongements qui contiennent l’arête active du coup m, afin que mh ne soit pas un isomorphisme.

Définition 4.6 (Câbles). La catégorie des câbles est la catégorie librement engendrée par le graphe dont les objets sont les positions connexes et dont les arêtes sont les câbles élémen-taires. On la note K0

v.

La composition dans P définit un foncteur K0

v P.

Lemme 4.2. Si (h, m) est un câble élémentaire, alors la composée m ◦ h est épi dans P.

L’image d’un câble par le foncteur de composition K0

v P est épi dans P.

Preuve. D’après le corollaire 3.19, on a l’une des deux situations suivantes :

— Z est connexe, donc h est trivial,

— Z a deux composantes connexes, qui ont la même image par m. Or les coups sont épis.

Il reste à définir les catégories de cellules K0

H et K0

V. La catégorie K0

V sera librement engendrée par le graphe des tuiles de câbles élémentaires :

Définition 4.7. Une tuile de câbles élémentaire est un diagramme commutatif de la forme :

X X^� Y Y^� Z Z^� h1 h k m h� m^� h2 ou X X^� X Y Y^� X Z^� h₁ h k m h� m^� h2

où les carrés marqués sont des pullbacks, et vérifiant :

— sur le diagramme de gauche, (h, m) est un câble élémentaire,

— sur le diagramme de droite, h est un plongement de X en tant que composante connexe de Y .

Dans la suite, on appellera tuiles actives les tuiles provenant du diagramme de gauche, et

tuiles passives les tuiles provenant du diagramme de droite.

Les foncteurs doml,codr: K0

V K0

v, qui à chaque tuile associent respectivement son bord gauche et son bord droit, dont définis inductivement sur les tuiles, en prenant sur une tuile élementaire α comme ci-dessus :

— si α est active, doml(α) = (h, m) ; — si α est passive, doml(α) = idX; — et codr(α) = (h�, m^�) dans les deux cas. La catégorie K0

V est la catégorie libre engendrée par le graphe dont les sommets sont les plongements de K0

h, et dont les arêtes h1 h₂ sont les tuiles de câbles élémentaires.

Remarque 4.1. Pour la catégorie double K0, ainsi que dans la suite pour les tuiles de descente, on désigne les deux cellules sous l’appellation tuiles, reprenant ainsi la terminologie de [16].

La composition horizontale des suites formées de tels diagrammes se définit par induction sur la longueur de ces suites. Les tuiles élémentaires se composent grâce au lemme du pullback, et pour deux cellules quelconques α et β

X X^� X^��

Z Z^� Z^��

α _β

on procède par induction sur la longueur du bord droit de β :

— s’il est de longueur nulle, son bord droit l’est également, et α et β sont triviales, — sinon on décompose la cellule en β = β2 •β₁ où β2 est une tuile élémentaire. Si le bord

gauche de β2 est un câble élémentaire, alors α se décompose en α2 •α₁ où α2 est une tuile élémentaire : on pose alors

β◦ α = (β2◦ α2)•(β1◦ α1)

où β1◦ α1 est défini par induction. Sinon, lorsque le bord gauche de β2 est trivial, on pose en utilisant l’hypothèse d’induction

β◦ α = (β2◦ id)•(β1◦ α).

Avec cette définition, on peut tout de suite noter que si α = α2 • α₁ et β = β2 • β₁

où β2 est une tuile élémentaire composable horizontalement avec la tuile α2, alors β ◦ α = (β2◦ α2)•(β1◦ α1). On en déduit que :

Lemme 4.3. La composition de K0

H est associative.

Preuve. Soient α, β et γ trois cellules composables horizontalement. On prouve le résultat

par induction sur la longueur du bord droit de γ.

Lorsque ce bord est de longueur nulle, les trois cellules sont triviales.

Sinon, on peut décomposer γ = γ2 •γ₁, où γ2 est une tuile élémentaire. On obtient, en itérant, les décompositions β = β2 •β₁ et α = α2 •α₁ où β2 et α2 sont soit triviales, soit des tuiles élémentaires, selon la longueur de leur bord gauche, et se composent horizontalement avec γ2. Avec la remarque précédente, la composée γ ◦ (β ◦ α) est égale à :

(γ_{2◦ (β2◦ α2}))•(γ_{1◦ (β1◦ α1})).

La composition horizontale est associative sur les tuiles élémentaires, et en utilisant l’hypo-thèse d’induction, cette composée est égale à :

((γ2◦ β2) ◦ α2)•((γ1◦ β1) ◦ α1).

Or γ ◦ β vaut, comme γ2 est une tuile élémentaire : γ ◦ β = (γ2◦ β2)•(γ1◦ β1), où γ2◦ β2 est encore une tuile élémentaire. On a donc l’identité :

Proposition 4.4. K0 est une catégorie double.

Preuve. Les seuls points non triviaux sont l’associativité de la composition dans K0

H, prouvée au lemme 4.3, ainsi que la loi d’échange. Pour cette dernière, on sait par définition de la composition verticale que la version faible où la cellule en bas à droite est une tuile élémentaire est vérifiée.

On peut représenter graphiquement les compositions de cellules comme un système de réécriture avec deux règles :

α β ^◦ α β et ^α

β

α

β •

La loi d’échange revient à prouver l’égalité entre les deux réécritures :

α β γ _δ α β γ _δ ◦ α β γ _δ • α β γ _δ • ◦

On prouve cette égalité par induction sur la longueur du bord droit de δ. Lorsque ce bord est de longueur 1, alors le résultat correspond à la loi d’échange faible prouvée précédemment. Sinon, on peut décomposer δ et γ en deux tuiles élémentaires δ = δ2 •δ₁ et γ = γ2 •γ₁. On considère alors le diagramme :

α β γ1 δ1 γ2 δ2 α β γ1 δ1 γ2 δ2 α β γ_{1 δ1} γ2 δ2 α β γ1 δ1 γ2 δ2 α β γ1 δ₁ γ2 δ2 α β γ1 δ1 γ_{2 δ2} α β γ_{1 δ1} γ2 δ2 α β γ1 δ₁ γ2 δ2 α β γ1 δ1 γ2 δ2 α β γ1 δ1 γ2 δ2 α β γ1 δ1 γ2 δ2 α β γ1 δ1 γ2 δ2 α β γ_{1 δ1} γ2 δ2 • • • • • ◦ ◦ • ◦ ◦ ◦ • ◦ • ◦ • • ◦ • ◦ ◦ (†) (‡) (‡) (assoc.) (assoc.)

où le diamant marqué avec (†) est une égalité par hypothèse d’induction, et les diamants marqués avec (‡) sont égaux par la loi d’échange faible.

En anticipant sur la définition 6.4 de fibration qui sera détaillée au chapitre 6, on prouve dès maintenant le résultat suivant, qui indique intuitivement que les tuiles de câbles sont caractérisées par la donnée de leurs bords supérieur et droit.

Lemme 4.5. Le foncteur domaine dom: K0

V CEmb est une fibration.

Preuve. On définit d’abord par induction sur la longueur du câble k le relèvement d’un

plongement h: U� dom k. Lorsque k est un câble élémentaire, soit

U ^h1 V ^m W

sa décomposition en un plongement h1 suivi d’un coup m.

Soit W� l’image de U� par l’image du morphisme mh1h. On remarque que les coups sont ouverts, donc mh1h est ouvert. On a donc bien un plongement ouvert h�: W� W dans K0

h. On prend ensuite le pullback de m le long de h� :

U^� U V^� V W^� W. h h2 h� h1 m k m_{|W �} mh₁h f

Par propriété universelle du pullback, il existe une flèche f : U� V^�. D’après le lemme 3.15,

f est un plongement. W et U� sont connexes, donc W� est également connexe. D’après la ca-ractérisation des coups 3.19, V� possède au plus deux composantes connexes : U� est contenue dans une composante connexe de V�. On montre que U� est exactement cette composante connexe.

Comme f est ouvert, si v est un sommet de V� dans l’image de f et e une arête adjacente à v, alors e a un antécédent par f. D’autre part si e est une arête de V� dans l’image de f et v est un sommet adjacent à e, alors m_|W�(v) ∈ W� implique que v admet un antécédent dans U par mh1h, donc en particulier par f. Par induction, U�est donc bien une composante connexe de V�.

Pour montrer que ce relèvement est cartésien, il faut montrer que si l’on a deux tuiles de câbles comme dans :

U^� U U^�� W^� W W^�� h� h k^�� k� k κ�� κ κ� h��

alors il existe une unique tuile de câbles κ� qui fait commuter le diagramme. On traite le cas où les tuiles sont élémentaires, le cas général étant ensuite immédiat par induction.

On remarque que W��est l’image de U��par kh��: le relèvement de h�le long de k�convient pour la tuile κ�. Cette tuile est unique car les plongements sont monos.