Observateurs pour systèmes sous forme canonique

Comme il a été déjà mentionné, il n’existe pas d’approche systématique pour la synthèse des observateurs de systèmes non linéaires. Les méthodes existantes sont soient inspirées des travaux sur les systèmes linéaires, soit des techniques dédiées à des classes données de systèmes. Parmi les méthodes inspirées des techniques linéaires, des obser-vateurs ont été proposés pour les systèmes sous une forme canonique. Cette dernière est fondée sur une structure linéaire modulo injection d’Entrées/Sorties et d’un cer-tain nombre de leurs dérivées [Bestle & Zeitz, 1983; Keller, 1987; Krener & Isidori, 1983]. Souvent, la forme d’un système donné est non appropriée à une synthèse facile d’observateur. C’est ainsi que beaucoup d’approches de synthèse utilisent "une transfor-mation à travers un changement de coordonnées" aboutissant à une forme particulière respectant les conditions de synthèse. Une relation d’équivalence entre systèmes est définie :

Définition 1.4.1. Relation d’équivalence [Besançon, 1996; Besançon, 2007]

Soit x₀ ∈Rⁿ. Un système décrit comme suit :

˙

y=h(x)

est dit équivalent en x₀ au système suivant :

˙

x^∗ =F(x^∗, u) =F_u(x^∗)

y =H(x^∗)

s’il existe un difféomorphisme x^∗ = Φ(x) sur un voisinage de x₀ tel que :

∀u∈R^m, ^∂Φ ∂x^fu(x) x=Φ−1(x∗) =F_u(x^∗) et h◦Φ⁻¹ =H J Ainsi, il s’avère plus facile d’observer un système sous représentation équivalente. De plus, en synthétisant un observateur pour un système donné, il est possible de déduire l’observateur pour tout système équivalent, ce qui est illustré dans la proposition qui suit :

Proposition 1.4.2. [Besançon, 1996; Besançon, 2007]

Étant donné deux systèmes respectivement définis par :

˙ x=X(x, u) (1.4.9) y=h(x) et ˙ x^∗ =X^∗(x^∗, u) (1.4.10) y=h(x^∗)

et équivalents par la transformation x^∗ = Φ(x), si :

˙ˆ

x^∗ =X^∗(ˆx^∗, u)−k(y−H(ˆx^∗), z) (1.4.11)

˙

z =Z(z, u, y)

est un observateur pour (1.4.10), alors :

˙ˆ

x=X(ˆx^∗, u)−^∂Φ

∂x^k(y−H(ˆx), z) (1.4.12)

˙

z =Z(z, u, y)

est un observateur pour (1.4.9), si Φ et Φ⁻¹ préservent les métriques de Rⁿ. J

Par ailleurs, en considérant les injections de sortie, et même les transformations de sortie, il est possible d’étendre une telle équivalence des systèmes afin d’accroître

les classes des systèmes auxquelles peuvent s’appliquer des observateurs connus. Le problème essentiel est de trouver une telle forme de systèmes équivalents. c’est ainsi que beaucoup de travaux dans la littérature ont exploré des caractérisations de tels systèmes [Besançon, 1996; Krener & Respondek, 1985; Li & Tao, 1986; Plestan, 1995; Xia & Gao, 1989].

C’est en 1983, que le problème de la caractérisation des classes des systèmes pour lesquelles il est possible de construire un observateur, est apparu pour la première fois. Il s’agit d’un problème sous forme de conditions de linéarisation par difféomorphisme et injection de sortie pour l’observation, comme problème dual à celui de linéarisation par difféomorphisme et retour d’état de la commande. Dans cette même année, deux solutions ont été bien produites :

• La première, proposée dans [Krener & Isidori, 1983], consiste en une linéarisation exacte de l’estimation de la dynamique de l’erreur (en étudiant la structure interne du système par utilisation des techniques algébriques.

• La deuxième, présentée dans [Bestle & Zeitz, 1983], consiste en une linéarisation approximative de l’estimation de la dynamique de l’erreur où les non-linéarités du système dépendent uniquement de l’entrée et de la sortie du système original. Plus précisément, soit le système non linéaire suivant :

˙

x=f(x) (1.4.13)

y=h(x)

Le système précédent est considéré comme équivalent modulo une injection de sortie à un système linéaire autonome s’il existe un changement de coordonnées :

x=T(x^∗) (1.4.14)

telle que le système résultant dans les nouvelles coordonnées soit sous la forme : ˙

x^∗ =A_cx^∗+φ(y) (1.4.15)

y=C_cx^∗

Cette transformation est avantageuse si la paire (Cc, Ac) est observable alors que la fonction φ de y est arbitraire.

Étant donné une paire (C_c, A_c) sous une forme canonique, le système (1.4.15) a

la forme canonique d’observabilité suivante :

˙ x^∗ =          1 . . . . 0 1 .._. . . . . .. .._. 0 . . . 1 0          x^∗+          a₁(y) .. . .. . a_n(y)          (1.4.16)

y=^h0 . . . 0 1ⁱx^∗

Ayant déterminéφ(y) et une transformationx=T(x^∗), donc, il est possible de construire un observateur pour le système (1.4.15) avec une facilité comparable au cas de système linéaire autonome. L’observateur proposé a la forme suivante :

˙ˆ

x=Acxˆ^∗ +φ(y) +K(y−yˆ) (1.4.17)

ˆ

y=C_cxˆ^∗

L’erreur a pour dynamique ˙e= (A−KC)e. Par conséquent, en réécrivant (1.4.17) dans les coordonnées d’origine, un observateur en temps fini est défini pour le système (1.4.13). D’autre part, l’observabilité des systèmes non linéaires et la synthèse des observa-teurs ont été étudiées dans [Krener & Isidori, 1983] où des conditions nécessaires et suffisantes, basées sur l’approche algébrique de Lie sont présentées. Dans ce travail, il est montré quand un système non linéaire autonome (1.1.8) peut être converti en un système linéaire par un changement de coordonnées modulo une injection de sortie. Cette classe de système est traitée dans le théorème suivant :

Théorème 1.4.3. [Krener & Isidori, 1983] Le système non linéaire (1.4.13) est loca-lement équivalent (autour de x0) à un système linéaire (1.4.16), par un changement de coordonnées, si et seulement si, les conditions suivantes sont satisfaites dans un voisinage

V de x0

1. dim[span{dh(x), . . . , dLⁿ_f⁻¹h(x)}] =n, ∀x∈V. 2. Le champ de vecteur défini υ(x) défini sur V par

L_υL^j_fh(x) = ( 0, j = 0, . . . , n−2 1, j =n−1 ^(1.4.18) satisfait : [υ, adⁱ_fυ](x) = 0 ; i= 1, . . . ,2n−1 ∀x∈V (1.4.19) où adi

fυ est donnée par :

adⁱ_fυ(x) = [f, adⁱ_f⁻¹υ](x) ∀i≥1

ad⁰_fυ(x) =υ(x)

La définition précédente est une définition par récurrence utilisée pour éviter une notation de la forme [f,[f, . . . ,[f, υ]]].

D’après le théorème précédent, la linéarisation de l’observateur est possible si et seule-ment si la première condition est satisfaite, et s’il existe un vecteurυ(x) dans le voisinage

V dex⁰ tel que (1.4.18) et

∂T

Par conséquent, la transformation existe si et seulement si : [υ, adⁱ_fυ](x) = 0 ; i <2n−1

Une fois la transformation est trouvée, la synthèse d’observateur est pareille au cas linéaire. Cependant, la condition (1.4.20) est restrictive, ce qui entraîne une réduction de la classe des systèmes non linéaires dont la forme peut être ramenée à une forme canonique par cette technique. Une étude du cas multi-sortie a été présentée dans [Krener & Respondek, 1985; Xia & Gao, 1989].

La construction de la transformation x=T(x^∗) pour le cas mono-sortie a été faite dans [Walcott et al., 1987], en se basant sur les travaux de [Bestle & Zeitz, 1983]. Les détails de la technique proposée sont les suivants :

En considérant l’équation de la sortie

y=h(x) = x^∗_n (1.4.21)

Soit la dérivée partielle de (1.4.21) par rapport à x^∗ :

∂h(x)

∂x ∂T

∂x∗ =^h0 0 . . . 0 1ⁱ (1.4.22) Cette dérivée s’écrit sous la forme

         L0 f(dh)(x) L1 f(dh)(x) . . . Lⁿ_f⁻¹(dh)(x)          | {z } O(x) ∂T ∂x^∗₁ ⁼          0 0 .. . 1          (1.4.23)

où O(x) est la matrice d’observabilité (non singulière) du système (1.4.13). Ainsi, _∂x^∂T∗

1

s’obtient à partir de O⁻1(x). Dérivons x=T(x^∗) par rapport au temps :

˙

x= ^∂T

∂x∗f^∗(x^∗) (1.4.24)

Les colonnes de ∂T /∂x^∗ s’expriment ainsi en fonction du vecteur ∂T /∂x^∗₁ de la façon suivante : ∂T ∂x∗ = ad0f, _∂x^∂T∗ 1 ad1f,_∂x^∂T∗ 1 . . . adn−1f,_∂x^∂T∗ 1 (1.4.25)

Alors, la matrice T(x^∗) s’obtient par intégration de la matrice Jacobienne (1.4.25).

La généralisation de [Bestle & Zeitz, 1983] au cas mutli-sortie a été faite dans [Birk & Zeitz, 1988; Zeitz, 1987]. Dans [Phelps, 1991], il est montré que pour des

systèmes autonomes (1.1.8) d’ordre supérieur à 2, le calcul de la transformation menant à une forme canonique observable se complique de plus en plus. Cette difficulté provient de la lourdeur de calculs nécessaires. Dans [Keller, 1987], les résultats sont étendus par une transformation d’état généralisé, à la linéarisation modulo injection de sortie, de l’entrée et ses dérivées. Le problème de cette technique est le besoin de résolution d’un certain nombre d’équations différentielles aux dérivées partielles, dont le nombre augmente rapidement avec l’ordre. Ainsi cette technique est plus dédiée aux systèmes de dimension faible. Ensuite, le problème de la réduction de l’ordre de dérivation des entrées a été étudié dans [Delaleau & Respondek, 1992; Proychev & Mishokov, 1993] dans le cas mono-sortie. Dans [Plestan & Glumineau, 1997], les travaux précédents sont généralisés pour le cas mutli-sortie.

Une autre technique de synthèse d’observateur pour un système autonome (1.1.8) a été présentée dans [Kazantzis & Kravaris, 1998]. Cette technique se base sur une transformation de coordonnées appropriée sans l’exigence de la linéarité de la sortie. Une amélioration de cette technique est donnée dans [Krener & Xiao, 2001] où une généralisation au cas mutli-sorties est donnée de plus.

D’autres travaux ont été menés dans la littérature afin d’élargir la classe des sys-tèmes pouvant être traités par transformation dans la forme canonique observable. Le lecteur intéressé peut regarder des références comme [Nicosia et al., 1986; Nicosia et al., 1989; Nam, 1997; Hammouri & Kinnaert, 1996].

En conclusion ce type d’observateur s’avère avantageux dans la mesure où il est possible de trouver la transformation. Pourtant, il présente différents inconvénients tels que :

• La difficulté de trouver toujours une transformation mettant le système sous forme canonique.

• La difficulté, en général, de trouver des systèmes équivalents sous telle forme ca-nonique.

• Les conditions très restrictives, sur lesquelles, est basée l’approche, sont rarement satisfaites dans la pratique.

• La robustesse n’est pas assurée à cause des dérivations successives de f et h.