L’objectif de cette section est de bien illustrer l’utilisation de la signature graphique dans la détection des variations paramétriques d’un système donné, ainsi, le diagnostic de ce système. Le système considéré est l’oscillateur de Van-der-Pol auquel trois paramètres
p1, p2, p3 ont été ajoutés [Youssef, 2005]. Il est représenté dans l’espace d’état sous la forme suivante : ˙ x1 =p1x2 ˙ x2 =−9x1+p2(1−(x1+p3)2)x2 y =x1 (2.5.1) où
] Les trois paramètres varient dans les intervalles suivants :
p1 ∈h1 2i ; p2 ∈h1.5 3i ; p3 ∈h0 0.1i
] Les valeurs nominales de ces paramètres sont données par :
Problème à résoudre
Déterminer les signatures qui permettent la détection et l’estimation des variations des trois paramètres p1, p2 et p3 dans les intervalles précédents.
Dans la suite, il est bien montré que deux signatures S1 et S2 peuvent résoudre
ce problème. Ces deux signatures sont générées sur une fenêtre de 500 mesures de la sortie y de l’oscillateur acquises avec une période d’échantillonnage τ = 0.01s.
- Les variations du premier et du troisième paramètre sont détectées en utilisant une
signature S1 d’ordreN = 100.
- Les variations du deuxième paramètre sont détectées en utilisant une signature S2
d’ordreN = 50.
Dans ce qui suit, la détection et la localisation des variations des paramètres de l’oscil-lateur sont étudiées en montrant la sensibilité des deux signatures S1 et S2 vis à vis de ces variations.
Détection des variations du paramètre p1
La figure 2.10 montre la sortie de l’oscillateur dans le cas des variations du premier paramètrep1. Pour ce cas, les allures de la signatureS1 sont présentées sur la figure 2.11
Fig. 2.11 – Sensibilité de la signature S1 aux variations dep1 avec (p2, p3) = (2.25,0)
La figure 2.11 montre comment les variations de p1 sont détectables par la signature S1. En effet, plus la valeur de p1 augmente, plus la distance entre les deux extrémités de la signature augmente.
Concernant la localisation des variations de p1, il est nécessaire d’étudier la sensi-bilité de la signature S1 par rapport aux variations des autres paramètres. La figure 2.12 montre la sensibilité de la signature S1 par rapport aux variations de p2. Par conséquence, pour une valeur nominale de p3, il est possible de détecter les variations de p1 et non pas les localiser (les petites variations de p1 autour de la valeur nominale sont indistinguables des variations de p2). De même les petites variations de p2 ne sont pas décelables par S1. C’est ainsi qu’il faut une autre signature qui sert à la détection des variations de p2 et de même à distinguer celles de p1.
Détection des variations du paramètre p2
La figure 2.13 montre la sortie de l’oscillateur dans le cas des variations du deuxième paramètre p2. Pour ce cas, les allures de la signature S2 sont présentées sur la figure 2.14. Il est bien clair que les variations de p2 sont détectables par S2. En effet, plus la valeur de p2 augmente, plus les deux pointes basses de la signature S2 se décalent vers la droite.
D’autre part, les deux figures 2.15 et 2.16 montrent l’influence des variations de p1 et
p3 respectivement sur la signature S2. D’après ces deux figures 2.15 et 2.16, il est bien clair que les variations de p1 et p3 n’influent pas la pointe droite de la signature S2. Par conséquent, S2 permet la détection et la localisation des variations de p2 pour tous les domaines admissibles de p1 et p3.
Fig. 2.12 – Sensibilité de la signature S1 aux variations dep2 avec p3 = 0
Fig. 2.13 – Sortie de l’oscillateur dans de cas des variations de p2, (p1, p3) = (1.5,0).
En conclusion, pour une valeur constante de p3, la détection et l’isolation des
Fig. 2.14 – Sensibilité de la signature S2 aux variations de p2 avec (p1, p3) = (1.5,0)
Fig. 2.15 – Sensibilité de la signature S2 aux variations de p1
Détection :
- Le changement de la position de la pointe droite deS2indépendamment deS1 implique la variation dep2.
- L’allongement (ou raccourcissement) de S1 avec une pointe fixe de S2 implique la
variation de p1.
Localisation :Pour des grandes variations dep1, il est possible de localiser des défauts simultanés affectant p1 et p2, en effet :
- L’allongement (ou raccourcissement) de S1 avec une pointe fixe de S2 implique la
Fig. 2.16 – Sensibilité de la signature S2 aux variations de p3
- Le changement de la position de la pointe droite deS2 avec une petite variation deS1
par rapport au cas nominale implique la variation de p2 seule.
- Le changement de la position de la pointe droite de S2 avec une grande variation de
S1 par rapport au cas nominale implique la variation simultanée dep1 et p2. Il faut noter que la variation faible dep1, lors des variations simultanées ne permet pas la localisation. En effet, dans ce cas, la variation dep2 est indistinguable de celle simultanée dep1 etp2 or dans les deux cas la pointe de la signature S2 bouge et S1 subit une petite variation.
Détection des variations du paramètre p3
La figure 2.17 montre la sortie du système dans le cas des variations du paramètre
p3. De plus, les allures de la signatures S1, lors des variations de p3, pour différentes valeurs du premier paramètre et pour une valeur fixe de p3, sont illustrées sur la figure 2.18. Selon cette figure, l’augmentation de la valeur du troisième paramètre entraîne l’augmentation de la distance entre les deux branches à l’extrémité droite de la signature
S1. Cette distance est insensible aux variations de (p1, p2) (voir figures 2.12 et 2.18). Ainsi, il est possible de détecter et localiser les variations de p3, en utilisant S1, et cela indépendamment de p2 etp3.
Afin de résoudre complètement le problème de détection et de localisation des variations paramétriques, il faut étudier l’influence de la variation de p3 sur la détection et la localisation de variations de p1, en effet :
Fig. 2.17 – Sortie de l’oscillateur dans de cas des variations de p3, (p1, p2) = (1.5,2.25).
Fig. 2.18 – Sensibilité de la signature S2 aux variations de p3 avecp2 = 2.25
- La longueur de la signatureS1est influencée par le paramètrep1. Pour des variations de
p3, l’extrémité droite de la signatureS1 est formée de deux branches. En calculant la longueur de S1 entre le milieu de ces deux branches et l’extrémité gauche de la signature S1, cette longueur est alors indépendante dep3. Ainsi, la variation de p3
Résidus de détection
D’après les paragraphes précédents, l’utilisation des deux signatures S1 etS2 permet de détecter et localiser les variations mêmes simultanées des trois paramètres de l’oscillateur. Pour ce faire, plusieurs résidus géométriques extraits de ces signatures sont utilisés (voir figure 2.19). La définition de ces résidus géométriques est donnée par :
Fig. 2.19 – La signature S1 donnent deux résidus r1 et r3. Le résidu r2 est extrait de la signature S2
• r1 : la longueur de la signature S1. Dans le cas d’une variation de p3, la signature a la côte droite formée de deux branches. Dans ce dernier cas, la longueur est calculée par rapport au milieu de ces deux branches (figure 2.19).
• r2 : La position de la pointe droite de la signature S2 (figure 2.19). Ce résidu est obtenu par l’abscisse du point de dérivée seconde maximale de la signature S2.
• r3 : La distance entre les deux branches droites de la signatureS1 (figure 2.19).
Ces résidus géométriques sont ensuite exprimés de façon analytique [Youssef, 2005] en fonction des coordonnées des points de la signature afin d’être utilisés dans une procédure de diagnostic en ligne.
Résidus de détection sous forme analytique
D’une façon analytique, les résidus r1,r2 et r3 peuvent s’écrire sous la forme :
• Résidu r1 :
r1 = xmax+xm
2 −xmin
Avec
et
xm = inf[S1x] tel que |S1y−y∗|<0.01 oùy∗ est l’ordonnée du point d’abscisse xmax de la signature S1.
• Résidu r2 : r2 =S2x∗, tel que S2y∗ = max(S2 y+ −2S2y+S2 y−) où S2 y+ et S2
y− sont les ordonnées du point suivant et précédent du point
d’ordonnée S2y respectivement.
• Résidu r3 :
r2 =xmax−xm
oùxmax etxm sont les mêmes définis pour le résidu r1.