Soit la signature (un ensemble discret de R2) présentée sur la figure 4.2 Supposons
Fig. 4.2 – Exemple d’une signature pour laquelle toute enveloppe convexe ne
convien-drait pas.
qu’il existe une enveloppe de cette signature, qui peut être décrite en utilisant un en-semble compact de données. En se basant sur la figure 4.2, il est clair que n’importe quelle enveloppe convexe serait inappropriée, du fait qu’elle manquerait la particularité courbe de la signature. L’objectif de cette section est de proposer une représentation compacte et un algorithme associé pour dériver une meilleure enveloppe pour une telle signature. Cette enveloppe pourra être utilisée comme un outil pour la construction des algorithmes d’identification non structurés basés sur les signatures.
Dans ce cas la signature est notée par S ={p(i)}Np
i=1 oùpi est un point appartenant à la signature et ayant pour coordonnées cartésiennes dans le plan 2D (ξi, ηi). Dans la suite
la notation suivante est utilisée :
p(xi) ≡ξi et p(yi) ≡ηi
Soit x(S) ¯x(S) les valeurs minimale et maximale des coordonnées horizontales de la signature, plus précisément :
x(S) := min
i∈{1,...,Np}p(xi)
¯
x(S) := max
i∈{1,...,Np}p(xi)
Par conséquent, tous les points de la signature ont les coordonnées horizontales dans l’intervalle [x(S),x¯(S)]. Ainsi il est possible de diviser l’intervalle en des sous-intervalles "également peuplés" de la façon suivante :
[x(S),x¯(S)] = [x1(S), x2(S)]∪[x2(S), x3(S)]∪. . .∪[xq(S), xq+1(S)]
où chaque sous intervalle contient Np
q points de la signatureS. Cela peut être obtenu en utilisant uniquement la séquence des abscisses xi(S) définis par :
x1(S) :=x(S) (4.5.1)
xi+1(S) := max{x∈[xi(S),x¯(S)] tq card(S ∩[x, x]) = i−1
Np } (4.5.2)
où (4.5.2) est définie pour i= 1, . . . , q. notons que, naturellement cela mène à xq(S) = ¯
x(S).
Une fois ces intervalles sont calculés, il est possible de définir les quantités suivantes pour tout i∈ {1, . . . , q} :
yi(S) = minnp(yj) | p(xj) ∈[xi(S), xi+1(S)] et j ∈ {1, . . . , Np}o (4.5.3) ¯
yi(S) = maxnp(yj) | p(xj) ∈[xi(S), xi+1(S)] et j ∈ {1, . . . , Np}o (4.5.4)
Définition 4.5.1. [Courbes bornées d’une signature]
Soit une signature S, un entier q, les deux fonctions constantes par morceaux définies sur [x,x¯] par :
Ymin(S) =y
i(S) où i est tel quex∈[xi(S), xi+1(S)[ (4.5.5)
Ymax(S) = ¯yi(S) où i est tel que x∈[xi(S), xi+1(S)[ (4.5.6)
sont les courbes bornées d’une signature.
Sur la base des définitions des quantités précédentes, une proposition simple est donnée dans la suite :
Proposition 4.5.1. [Enveloppe triviale d’une signature]
Étant donné une signature S et un entier q, le domaine fermé dans R2 délimité par les courbes suivantes :
x=x(S) (4.5.7)
x= ¯x(S) (4.5.8)
y=Ymin(S)(x) (4.5.9)
y=Ymax(S)(x) (4.5.10)
est une enveloppe pour la signature S.
Définition 4.5.2.
L’enveloppe triviale invoquée dans la proposition 4.5.1 est notée E0(S). Elle est simple-ment un sous-ensemble de R2.
La figure 4.3 montre un exemple d’une enveloppe bornée calculée conformément aux définitions précédentes avec q = 30. Notons que l’enveloppe résultante est non convexe et clairement plus petite qu’une enveloppe convexe. Cependant, il est également clair qu’il est possible de faire mieux.
Fig. 4.3 – Enveloppe triviale bornée correspondant à la proposition avecq= 30. Notons
que l’enveloppe résultante est plus petite que l’enveloppe convexe bien qu’elle soit sur-estimée à l’égard de l’allure particulière de la signature. La surface totale de l’enveloppe est≈19.9.
En effet, dans le calcul précédent, il est possible d’observer que xet yne jouent pas des rôles symétriques. En effet, c’est l’ensemble des valeurs de x qui est partitionné et non pas celui de y. Par conséquent, une idée intéressante est d’avoir la possibilité d’inverser les rôles de x ety.
Le résultat obtenu qui est donné sur la figure 4.4 est clairement meilleur. Plus préci-sément, la surface totale de l’enveloppe est égale à 6.75 au lieu de 19.9 de la première solution ; ce qui suppose l’ajout d’un degré de liberté supplémentaire dans la définition de l’enveloppe. Cela est l’objectif de ce qui suit :
Fig. 4.4 – Enveloppe bornée obtenue en commutant les rôles remplis par xety. Notons
que la qualité de l’enveloppe bornée est considérablement améliorée du fait que sa surface
Aθ(S) est réduite de 19.9 à 6.75 environ.
Il est nécessaire de souligner que la commutation des rôles dex et dey lors du calcul de l’enveloppe est équivalente aux étapes suivantes :
• Effectuer d’abord une rotation de la signature d’une valeur θ = π2.
• Continuer à utiliser l’algorithme précédent.
Par conséquent, afin d’obtenir une procédure plus générale dans le but de faire face à toute situation potentielle, il est possible de choisir la meilleure rotation θ à appliquer avant que l’enveloppe soit calculée. La meilleure θ peut être calculée en se basant sur la surface résultante de l’enveloppe bornée. Cela est montré d’une manière plus rigoureuse dans ce qui suit :
Définition 4.5.3. Rotation d’une signature
Pour tout θ ∈[0, π], la matrice de rotation est définie par :
Rθ := cosθ −sinθ
sinθ cosθ
!
(4.5.11)
Par ailleurs, étant donné une signature S = {p(i)}Np
i=1, la signature Rθ(S) := {ω(i)}Np i=1
est définie par :
∀i∈ {1, . . . , Np}, ω(i) =Rθp(i)
L’enveloppe résultante par l’application de la procédure de calcul d’enveloppe précé-dente sur la signatureRθ(S) est notée par Eθ(S). Plus précisément :
Eθ(S) = E0(Rθ(S)) (4.5.12)
Les deux figures 4.5 et 4.6 montre les enveloppes bornées obtenues pour 4 différentes valeurs de l’angle de rotation θ ∈ {0,π3,π2,23π}. La surface résultante est aussi montrée dans le but de renforcer l’avantage de la rotation qui réduit considérablement la surface de l’enveloppe. La figure 4.7 donne une vision plus explicite de cette caractéristique car elle montre comment la surface de l’enveloppe Eθ(S) varie quand θ couvre l’intervalle [0, π]. Cela suppose qu’il est intéressant de calculer un angle de rotation optimaleθopt(S) associée à une signature S telle que l’enveloppe Eθ(S) admette une surface minimale. Ce fait est formellement défini par :
θopt(S) = arg min
θ∈[0,π]
h
Aθ(S)i (4.5.13)
oùAθ(S) est la surface de l’enveloppe bornée de la signature, soit :
Aθ(S) := q X i=1 [xi+1(Rθ(S))−xi(Rθ(S))][¯yi(Rθ(S))−y i(Rθ(S))] (4.5.14) Rappelons que d’une manière rigoureuse Aθ(S) dépend du choix de l’entier q utilisé pour la partition de l’ensemble de données suivant (4.5.1)-(4.5.4). Cette dépendance est omise sous l’hypothèse que q est fixée une fois pour toute.
Pour terminer, il est nécessaire de souligner que, sur la base des définitions précédentes, l’enveloppe Eθ(S) d’une signature est définie par θ et les 3(q+ 1) nombres :
n
xi(S), yi(S),y¯i(S)oq+1
i=1
qui sont donnés dans (4.5.1)-(4.5.4). Dans ce qui suit, quand S et θ sont connus par le contexte, l’enveloppe Eθ(S) est simplement notée par E et les vecteurs correspondants dex et de y sont notés respectivement par xE ∈Rq+1,yE ∈Rq+1 et ¯yE ∈Rq+1.
Fig. 4.5 – Enveloppes bornées Eθ(S) obtenues pour 4 valeurs de θ ∈ {0,π3,π2,23π} avec la surface correspondante Aθ(S).
Fig. 4.6 – Enveloppes bornées déjà montrées sur la figure 4.5 sauf que les échelles ne
Fig. 4.7 – Variation de la surface de l’enveloppe Eθ(S) quand θ varie dans [0, π].
4.5.1 Distance à une enveloppe
Soit S une signature donnée et soit E ⊂R2 son enveloppe associée. Étant donné un
point p ∈ R2, l’objectif de cette sous-section est de définir une distance d(p, E) entre p
et l’enveloppe E. Pour ce faire, quelques définitions et notations sont nécessaires pour définir cette distance.
Définition 4.5.4. [φ-ligne de p]
Soit l’enveloppe E. Soit p ∈ R2 un point dans le plan 2D. La ligne passant par p et possédant la pente tanφ est appelée "φ-ligne" de p. Plus précisément, il s’agit de la ligne satisfaisant l’équation suivante :
x y ! =p+r cosφ sinφ ! ; r∈R (4.5.15)
Cette ligne sera notée ci-après par Lφ(p)
Comme r∈R, il faut noter qu’il suffit queφ couvre l’intervalle [0, π] afin de couvrir le plan 2D par les "φ-lignes de p".
Définition 4.5.5. [−φ-distance]
Soit l’enveloppe E et soit p ∈ R2 un point donné dans plan 2D. La distance dite "φ -distance" de p à E est définie par :
dφ(p, E) := minz∈E∩Lφ(p)kp−zk
(a)
(b)
Fig. 4.8 – Exemples des distances dites "φ-distance" d’un point p à une enveloppe E.
Notons que selon la définition dans (4.5.16), la "φ-distance" est plus grande dans le cas (b) que dans le cas (a), à cause de la différence dans le dénominateur de (4.5.16). De
plus, notons que l’enveloppe convexe de E est la même dans les deux cas.
où µ(Lφ(p)∩E)est la mesure (somme des longueurs) des portions deLφ(p)qui se trouve dans E.
La figure 4.8 donne deux exemples deφ-distance d’un pointpà une enveloppeE. Notons que, selon la définition donnée par (4.5.16), la "φ-distance" est plus grande dans le cas (b) que dans le cas (a), à cause de la différence dans le dénominateur de (4.5.16). De
plus, notons que l’enveloppe convexe de E est la même dans les deux cas. Ce fait
ex-plique partiellement le raisonnement derrière la définition 4.5.5. Il est aussi nécessaire de souligner que, du point de vue calcul, étant donnéE ∈Rm×3 etp(mle nombre de points de la signature), il est possible de définir un seuil rmax tel que la définition donnée par (4.5.15) appliquée avec |r| > rmax, donne nécessairement un point qui est à l’extérieur deE. Par exemple, un tel rmax peut être donné par :
rmax > max i∈{1,...,m} max{k px py − xEi yE i k,k px py − xEi ¯ yE i k} (4.5.17)
Maintenant La "φ-distance" est utilisée pour définir la distanced(p, E) :
Définition 4.5.6. Distance d’un point à une enveloppe
Étant donné une enveloppe E et un point p∈R2, la distance d(p, E) est définie par :
d(p, E) = min
φ∈[0,π]dφ(p, E) (4.5.18)
ce qui est le minimum possible de "φ-distance", dans le sens de la définition 4.5.5.
La figure 4.9 montre un exemple des situations où deux pointsp(1)etp(2) ont la même distance euclidienne à l’enveloppeE et ont des distances énormément différentes dans le
sens de la définition 4.5.6. En particulier, lorsquee converge vers 0, le point p(1) devient infiniment loin de E alors que p(2) conserve la même distance δ/L.
Fig. 4.9 – Exemple de situations où deux points p(1) et p(2) ont la même distance
eu-clidienne à l’enveloppe E et ont des distances énormément différentes dans le sens de la définition 4.5.6.