Observateurs d’état

Les observateurs d’état sont des algorithmes, fondés sur un modèle du procédé, char-gés de reconstruire l’état de celui-ci. La méthode par observateurs d’état consiste à estimer les variables d’état d’un système en utilisant le modèle mathématique ainsi que des mesures ou un sous-ensemble de mesures, ce qui permet de reconstruire les sorties du système. Cette reconstruction permet d’étudier la consistance comportementale du modèle vis à vis du système réel en comparant les sorties mesurées avec celles estimées. Par définition, un observateur (ou estimateur ou reconstructeur d’état) est un système ayant comme entrée les entrées et les sorties du système réel et dont la sortie converge vers une estimation des variables d’état (ou d’une partie des variables d’état) du proces-sus. Le signal d’écart (ou l’erreur d’estimation de sortie) entre les mesures et les sorties estimées (en ligne) est utilisé comme un résidu. De manière générale, ce concept peut être représenté par la figure 5.2 Dans la littérature, le terme "observateurs dans le cas

Fig. ^{5.2 – Génération des résidus par utilisation des observateurs d’état.}

déterministe" réfère aux observateurs classiques de Luenberger [Lunberger, 1966; Lunber-ger, 1971; Beard, 1971; Frank, 1990; Clark, 1979; Clark, 1975; Patton & Chen, 1997; Pat-ton et al., 1989], et des filtres de Kalman [Basseville, 1988; Da & Lin, 1996; Mehra & Pes-chon, 1971; Sohlberg, 1998; Tzafestas & Watanab, 1990; Willsky, 1976; Zolghadri, 1996] dans le cas stochastique. Notons que l’utilisation de la méthode de diagnostic à base d’observateur est conditionnée par l’existence de ce dernier. Plusieurs techniques

d’ob-servation ont été appliquées au diagnostic des systèmes. Dans la suite, les observateurs à entrées inconnues sont rappelés.

- Les observateurs à entrées inconnues. Souvent, il existe des cas où certaines entrées du système ne sont pas mesurables mais qui agissent sur le système. Dans ce cas, les observateurs utilisés portent le nom d’observateurs à entrées inconnues (Unknown Input Observer : UIO) [Chang & Lsu, 1995; Hou & Muller, 1992; Ta-kahashi & Peres, 1999]. Ces observateurs visent à annuler l’erreur d’estimation d’une ou de plusieurs combinaisons linéaires des états du système étudié, et ce, indépendamment de la présence d’entrées inconnues (perturbations) [Chen et al., 1996]. La conception d’un observateur à entrées inconnues permettra de s’affranchir de ces incertitudes sous réserve de l’observabilité du système. Il faut noter que les observateurs à entrées inconnues utilisent les principes de base des observateurs de Luenberger avec des conditions structurelles supplémentaires. Des travaux concernant les observateurs à entrées inconnues sont initiés par [Wang et al., 1975] et les premiers travaux publiés utilisant ce type d’observateur pour la détection et la localisation des défauts sont dus à [Wiswanadham & Srichander, 1987].

Le principe général s’inspire du modèle d’état représenté par le système d’équations suivant :

˙

x(t) =Ax(t) +Bu(t) +Ef(t)

y(t) =Cx(t) (5.3.2)

où x(t) ∈ Rn est le vecteur d’état du système, y(t) ∈ Rm le vecteur de sorties,

u(t) ∈ Rp le vecteur de commandes et f(t) ∈ Rq désigne le vecteur d’entrées inconnues.A,B, C etE sont des matrices de dimensions appropriées.

La description générale d’un observateur à entrées inconnues d’ordre plein est donnée par l’expression suivante :

˙

z(t) =F z(t) +T Bu(t) +Ky(t)

ˆ

x(t) =z(t) +Hy(t) (5.3.3)

et le résidu est ainsi défini par l’équation suivante :

r(t) =P z(t) +V y(t) (5.3.4)

où z(t) ∈ Rn est l’état de l’observateur, ˆx(t) est l’état estimé du système. F, T,

l’erreur d’estimation par rapport aux entrées inconnues. Le résidur(t) doit vérifier limt→∞r(t) = 0 pour répondre à l’objectif de l’insensibilité par rapport aux entrées inconnues.

Un observateur à entrées inconnues permet en plus de donner une estimation des entrées inconnues dans certaines conditions.

Dans certains cas, et dans l’optique d’assurer une bonne isolation des défauts à l’aide de résidus structurés, des batteries d’observateurs sont mises en place (voir figure 5.3). Chaque observateur génère un résidu sensible à un défaut (voire à un ensemble de défauts) particulier et insensible aux entrées inconnues. Une réponse différente sera donnée par chacun des observateurs, ce qui permettra un meilleur découplage des résidus.

Fig. ^{5.3 – Architecture du banc d’observateurs.}

Dans la littérature, il est possible de trouver aussi les observateurs adaptatifs [Quinghua, 2000; Wang et al., 1997] qui peuvent être utilisés pour la détection et la localisation des défauts. Ces observateurs donnent une estimation des variables d’état et de quelques paramètres du système.

Un autre type d’observateurs existe sous le nom d’observateurs à mémoire finie. Dans ces observateurs, les résidus sont générés en utilisant le passé du système. Afin de donner plus de poids aux mesures récentes susceptibles de contenir l’information sur le défaut, ces observateurs utilisent des fenêtres glissantes de taille finie. En plus, la notion de fenêtre de taille finie permet réduire l’effet de mémoire infinie du reconstructeur qui entraîne l’accumulation de l’erreur d’estimation et provoque ainsi une divergence. Dans ce cas d’observateur, l’état peut être estimé à partir d’un nombre fini de mesures sous la condition d’observabilité du système comme l’a montré Ragot et al. ([Ragot et al., 1992]) par exemple. Le choix d’un horizon fini a pour avantage le nombre réduit de mesures nécessaires au diagnostic favorisant ainsi le calcul et donc la détection en ligne. Dans la littérature, différents travaux utilisant ce type d’observateurs se trouvent, parmi lesquels

on peut citer [Medvedev & Toivonen, 1992; Kratz & Aubry, 2003; Hocine et al., 2004] Afin de remédier aux limites inhérentes à une modélisation linéaire, des travaux portant sur la génération des observateurs pour le diagnostic des systèmes non linéaires ont été largement développés dans les dernières années. Une introduction à ces approches peut être trouvée dans [Frank et al., 2000], [Garcia & Frank, 1997] et [Krishnaswami & Rizzoni, 1994]. En effet, la construction des observateurs pour les systèmes non linéaires est difficile même en absence de défauts. D’une manière générale, les conditions nécessaires et suffisantes pour la construction de ces observateurs ne sont pas connues [Quinghua, 2000]. Il y a eu de nombreux chercheurs qui ont étudié le problème de conception d’observateurs non linéaires pour une classe restreinte de systèmes non linéaires possédant des structures assez particuliers : dans [Yang & Saif, 1995], des observateurs basés sur des méthodes géométriques différentielles pour des modèles affines en entrée se trouvent. La synthèse d’observateurs grand gain pour des systèmes uniformément observables est étudiée dans [Hammouri et al., 1999] et la synthèse d’observateurs à mode glissant est présentée dans [Floquet et al., 2004].