Dans la suite de ce manuscrit la technique des signatures graphiques est utilisée dans deux contextes :
• Le premier consiste en la résolution du problème inverse d’électrolocation. Dans
ce cas, l’objectif est de déterminer la position dans un aquarium 2D d’un robot
anguille muni du sens électrique à partir de la simple connaissance des mesures des courants électriques perçus par l’épiderme du robot.
• Le deuxième consiste en l’estimation des états et des paramètres des systèmes
dynamiques non linéaires en utilisant les mesures disponibles du système. Plusieurs exemples d’application sont donnés dans le chapitre 4 pour la validation.
D’une façon générale, le problème inverse qu’on cherche à résoudre en utilisant la signa-ture graphique peut être formulé en général comme il est défini ci-après. Notons que pour chaque application présentée dans les chapitres suivants, les notations et les définitions sont réadaptées en fonction de la problématique, du système et des variables considérées. Le modèle du système non linéaire dynamique considéré dans ce cas est représenté d’une manière générale par le simulateur suivant :
x(k+i) =X(i, x(k), p) (2.6.1)
y(k) =h(x(k), p) (2.6.2)
] x∈Rn est le vecteur d’état.
] τ est la période d’échantillonnage.
] p ∈Rp est le vecteur de paramètres du système.
] y ∈Rny est le vecteur de mesures. Il est supposé que les mesures sont périodique-ment acquises et mémorisées sur une fenêtre temporelle de longueur T =NOτ.
Le problème inverse consiste en la détermination des variables inconnues du système (paramètres, états) en utilisant les mesures acquises du système. Plus précisément, l’ob-jectif est de déterminer à tout instant k l’estimation des variables inconnues en utilisant les mesures passées qui ont été acquises pendant [k−NO, k]. Ces mesures définissent un seul vecteur appelé Ym(k) tel que :
Ym(k) = y(k−1) .. . y(k−NO) (2.6.3)
Étant donné la diversité des applications sur lesquelles la technique des signature gra-phiques est appliquée, la formulation du problème inverse et le schéma de résolution proposé ne sont pas présentés dans ce chapitre. Cependant, l’accent est mis sur la pré-sentation de l’outil (les signatures graphiques). Le schéma de base adopté lors d’une résolution basée sur les signatures graphiques est présenté d’une façon appropriée au moment de la présentation des applications (chapitres 3 et 4).
2.7 Conclusions
Dans ce chapitre, un outil pour la résolution des problèmes dynamiques inverses dans les systèmes non linéaires a été rappelé. Son principe de base est de proposer des signatures graphiques bi-dimensionnelles générées à partir des mesures d’un système donné. La définition de cette signature est basée sur l’utilisation d’une application d’un espace de grande dimension, contenant les mesures passées, dans le plan R2. La grande capacité de classification humaine permet d’extraire des caractéristiques graphiques à partir de ces signatures. Elles sont traduites ensuite en termes de fonctions analytiques afin de permettre la résolution du problème inverse considéré (estimation des inconnus d’un système, détection des variations paramétriques, diagnostic,etc.). La technique de signature graphique a été développée récemment et appliquée dans différents contextes (voir [Youssef, 2005; Youssef & Alamir, 2003; Youssef & Alamir, 2005; Youssef et al., 2005])
l’état est bien montrée grâce à des exemples d’application illustratifs et d’autres corres-pondants à des procédés réels. Le chapitre suivant présente l’utilisation de la technique des signatures graphiques pour la résolution du problème inverse d’électrolocation.
Problème inverse d’Électrolocation
Ce chapitre présente des résultats préliminaires concernant la solution des problèmes inverses qui se posent lors de la navigation basée sur le sens électrique. Ce sens est utilisé par les poissons électriques pour se déplacer dans les eaux sombres en utilisant les me-sures du courant électrique, perçus par les capteurs épidermiques qui sont affectés par la présence des obstacles. Ces derniers modifient les courants induits résultants en pertur-bant instantanément le champ électrique auto-produit par le poisson. Afin de surmonter la charge de calcul associée à une inversion explicite des équations mathématiques, l’ap-proche proposée dans ce chapitre, repose sur une méthodologie de classification, récem-ment développée, et basée sur les signatures graphiques 2D. Une validation préliminaire de la solution proposée est obtenue en utilisant un banc expérimental dédié.
3.1 Introduction
La capacité des poissons électriques à chasser et naviguer sans repères visuels a été reconnue depuis longtemps [Heiligenberg, 1973; der Emde et al., 1998]. Les efforts des chercheurs pour comprendre le mécanisme d’électrolocation sous-jacent, ont permis d’établir que cela est fait en percevant les effets des signaux électriques auto-produits au moyen des électrorécepteurs épidermiques. Le signal reçu par ces récepteurs dépend de la configuration de l’environnement (présence des objets, leurs propriétés électriques, leur taille, leur forme, etc). La figure 3.1 montre bien l’effet des caractéristiques des corps immergés dans l’environnement du poisson électrique sur le signal reçu par ses capteurs épidermiques.
Plus récemment, l’idée d’utiliser ce principe d’électrolocation à bords des robots sous-marins a émergé [Maciver & Nelson, 2001], puisqu’elle présente plusieurs avantages. En effet, au-delà de la possibilité d’explorer, sans repères visuels, les eaux sombres, le carac-tère instantané du sens électrique (en comparaison aux solutions basées sur le signal de
Fig. 3.1 – Influence de caractéristiques des objets sur le champ électrique reçu par les
capteurs épidermiques du poisson électrique. a) cas sans objets. b) cas avec présence d’objets conducteurs. c) cas avec présence d’objets non conducteurs
sonar) évoque la possibilité de reproduire un comportement de type réflexe dans de tels robots. En outre, la possibilité d’utiliser différents profils de tension électrique ouvre la porte à une sorte d’investigation active basée sur la redondance, qui peut être précieuse lors de la présence d’ambiguïtés, comme pour la perception de l’environnement du robot.
Le projet national français ANR-RAAMO ("Robot Anguille Autonome en Milieux
Opaques") a pour objectif d’effectuer des recherches conduisant à un robot ressemblant à une anguille capable de l’électrolocation. En particulier, plusieurs réseaux électro-sensoriels ont été développés, ainsi qu’un banc expérimental simplifié, afin de faire des applications de validation. Ces derniers concernent, à la fois, la méthode de modélisation des équations d’électrolocation (les équations directes) mais aussi les algorithmes qui visent à reconstruire l’information sur l’environnement en se basant sur les mesures disponibles (problèmes inverses). Plus précisément, le problème direct est décrit par l’équation de Laplace
∆U = 0
oùU est le potentiel qui définit le champ électrique à traversE=−∇U (la nature irro-tationelle du champ en régime quasi-stationnaire). La solution de l’équation de Laplace nécessite que des conditions aux limites soient définies selon les propriétés des objets qui sont immergés dans l’environnement près de la sonde de détection [Williams et al., 1990]. Ces conditions aux limites impliquent, soitU ou sa pente normale aux nœuds qui appar-tiennent aux frontières du domaine (comprenant les frontières des objets). La solution directe des équations d’électrolocation nécessite une charge de calcul numérique (La mé-thode des éléments aux frontières par exemple (BEM : "Boundary elements method"),
ce qui donne un système d’équations qui prend la forme suivante :