Exemple 2

x₂ =−9x₁+p₂(1−7.5|x₁|2)^q|x₂| (4.6.10)

y=x₁ (4.6.11)

4.6.2 Exemple 2

Le système considéré est de la forme : ˙ x₁ =x₂−x₁|x₂|1/3 ˙ x₂ =x₃+x₂x₃ ˙ x₃ =c (4.6.12)

avec = 0.07 et c = 5. La sortie du système est défini par y = x₁. Considérons les définitions suivantes

z(1) ≡z := (x₁, x₂, x₃)T, n₁ ≡n.

Z(1) ≡Z:= [−3,3]×[−3,3]×[−3,3], N_O = 101, τ = 0.001

En se basant sur les hypothèses et définitions introduites dans ce chapitre, l’objectif est de construire la fonction d’inversion invoquée dans la proposition 4.3.1, notée par

Fig. ^{4.19 – Vue des signatures obtenues pour différentes structures du système non}

linéaire à deux états. Sur les deux subplot, les points signatures définissant les ensembles

E_1j et E_2j sont reliées par une même spline. La couleur noir correspond au système 1, la couleur rouge correspond au deuxième système et le vert correspond au troisième système.

• Définissons le sous ensemble discret deZ(1), noté Z⁽¹⁾d . Ce dernier peut être obtenu en utilisant des grilles uniformes sur les intervalles admissibles de x₁, x₂ et x₃, plus précisément :

Z⁽¹⁾d :=ⁿx₁₁, . . . , x_1ng^o×ⁿx₂₁, . . . , x_2ng^o×ⁿx₃₁, . . . , x_3ng^o

Il s’agit clairement d’un ensemble discret contenant n3

g éléments.

• A ces éléments de_Z⁽¹⁾_d , correspondent n³_g signatures représentées par : (

SN(z⁽¹⁾) )

z(1)∈_Z⁽¹⁾_d

(4.6.13)

Ces signatures sont obtenues en se basant sur la procédure proposée dans la section 4.3.

La figure 4.20 montre les n3

g signatures, obtenues pour n_g = 7 et N = 67, vues

différemment sur les subplot a), b) et c). Plus clairement, la figure 4.20.a) montre les signatures où celles partageant la même valeur de x₁ sont tracées en utilisant la même couleur. De même , les deux subplots b) et c) sur cette même figure sont colorées en se basant respectivement sur les valeurs de x₂ et de x₃. Par exemple,

Fig. ^{4.20 – Exemple 2 : Vue des signatures} S(z⁽¹⁾) pourz⁽¹⁾ ∈_Z⁽¹⁾_d . subplot a) regroupe toutes les signatures classifiées selon la valeur de x₁ alors que les subplot b) et c) les regroupent en se basant respectivement sur les valeurs dex₂ et de x₃.

l’ensemble de signatures coloré en noir (figure 4.20) correspond x₂ =−3, soit :

E₂₁ := (

(x_1i, x₂₁ =−3, x_3j)^T )7

i,j=1

Faisons un zoom sur cet ensemble : La figure 4.21.a) montre les signatures de l’ensemble précédent colorées suivant la valeur de x₁. De même, la figure 4.21.b) montre les signatures de cet ensemble colorées suivant la valeur dex₃. Par exemple, sur le subplot a) de cette figure les signatures partageant la même couleur mauve fait partie de l’ensemble E₂₁ qui correspond à x₁ = 0. De même pour la figure

Fig. ^{4.21 – Vue des signatures} S(z(1)) pour z(1) ∈ _Z⁽¹⁾_d de la classe E₂₁. subplot a) regroupe toutes les signatures classifiées selon la valeur de x₁ alors que les subplot b) et c) les regroupent en se basant respectivement sur les valeurs de x₃.

4.21.b) où les couleurs sont basées sur les valeurs de x₃. De plus, une signature donnée correspondant à un état initialz⁽¹⁾, contientM =N_O−N = 34 points. Par exemple, la signature entourée par une ellipse sur le subplot 4.21.b) est obtenue pour l’état initial définie par :

z⁽¹⁾ ≡       x₁₇ = 3 x₂₁ =−3 x31 =−3      

Cette signature est notée S(67)(z⁽¹⁾_i ).

• L’étape suivante est d’utiliser la signature obtenue afin de définir la fonction d’inversion nécessaire pour estimer les variables.

Procédure d’estimation

A tout instantk, un train de mesures est disponible. Définissons la signature obtenue pour ce train. Cette signature est composée de 34 points notés par S67

∗ :=ⁿ(ξ^∗_i, η_i^∗)^o34

i=1. Afin d’estimer les 3 états constituant z(1) il faut extraire à partir de la signatures des caractéristiques graphiques qui permettent de définir la fonction d’inversion appropriée. Pour ce faire, les démarches proposées sont les suivantes :

• Estimation de x₂ : des enveloppes bornées sont construites pour les ensembles des signatures correspondant aux valeurs dex₂ sur le subplot b) de la figure 4.20. Plus précisément, pour chaque ensemble E_2i, i∈ {1, . . . , n_g}, une enveloppe bornée est définie, comme le montre la figure 4.22, en suivant la procédure expliquée dans la section 4.5. Il est bien clair grâce au subplot b) de la figure 4.20 que la valeur de la

Fig. ^{4.22 – Enveloppes bornées définies pour l’ensemble des signatures colorées suivant}

la valeur de x₂.

coordonnée cartésienne horizontaleξd’une signature permet de décider, en premier lieu, le signe de la valeur dex₂. Plus précisément, sur ce subplot, les ensembles E_2i

correspondant à des valeurs négatives de x₂ ont tous lesξ négatifs et ceux repré-sentant des valeurs positives de x₂ ont les ξ positifs. Par exemple, sur le subplot

b), l’ensembleE₂₁ (en noir) correspondant à la valeurx₂ =−3 a tous lesξnégatifs.

En effet, à tout instant k, considérons le point médian de S67

∗ comme étant

son représentatif. Les distances de ce point par rapport aux enveloppes précé-dentes sont calculées. La définition de ces distances sont données dans la section 4.5. Ces distances seront notées {d^∗_i}^Ne

i=1 où Ne est le nombre des enveloppes

considérées. Plus précisément, soit le cas où ξ du point médian de la signature

en question est négatif, ainsi les enveloppes considérées sont celles des ensembles colorés en noir (x₂₁ = −3), bleu (x₂₂ = −2), rouge (x₂₃ = −1) et magenta (x2₄ = 0)(voir figures 4.20.b) et 4.22), alors Ne= 4 dans ce cas.

Une fois les distances précédentes sont calculées, la valeur de x₂ peut être

déterminée en interpolant l’information grâce à la formule suivante : ˆ x_2s = ^d ∗ k∗x_2j+d^∗_j ∗x_2k d_k+d_j ^(4.6.14) où

- d^∗_k et d^∗_j (j 6=k) sont les distances les plus petites.

- x_2k et x_2j sont les valeurs de x₂ correspondant aux enveloppes qui donnent res-pectivement les distances les plus petites d^∗_k et d^∗_j.

- L’indice s dans ˆx2s fait référence à l’estimation obtenue à travers les signatures.

• Estimation de x₁ : Sur la base de la procédure suivie pour estimer x₂, l’estimation de x₁ est effectuée. En effet, comme avant, la valeur de ξ du point médian de la signature S67

∗ permet de choisir les ensembles de signatures à utiliser parmi les E_2i,

i ∈ {1, . . . , n_g}. Prenons le même cas qu’avant où ξ du point médian est négatif ainsi les mêmes ensembles noir (x₂₁ = −3), bleu (x₂₂ = −2), rouge (x₂₃ = −1) et magenta (x₂₄ = 0) de la figure 4.20.b) sont à utiliser. Plus précisément, les en-sembles classifiés selon x₂ sont choisis. Ensuite, le subplot a) de cette même figure 4.20 est considéré :

En effet, les N_e = 4 ensembles des signatures de x₂ sont considérés. Pour ces en-sembles, des lignes médianes sont définies fonction dex₁ comme le montre la figure 4.23. Ces lignes sont des splines qui regroupent les médianes des signatures possé-dant la même valeur de x₁. Ensuite, l’idée est de définir des distances euclidiennes du point médian de la signature en question par rapport aux lignes médianes précé-dentes. De la même façon appliquée pour l’estimation dex₂,x₁ sera déterminée par interpolation de l’information en considérant les lignes médianes les plus proches. La formule d’estimation est donnée par :

ˆ

x1s = ^d ∗

k∗x_1j+d^∗_j ∗x_1k

Fig.^{4.23 – Lignes médianes regroupant les médianes des signatures partageant les mêmes}

valeurs de x₁.

où

- d^∗_k et d^∗_j (j 6=k) sont les distances les plus petites.

- x_1k etx_1j sont les valeurs de x₁ correspondant aux lignes médianes qui donnent respectivement les distances les plus petites d^∗_k etd^∗_j.

- L’indice s dans ˆx_1s fait référence à l’estimation obtenue à travers les signatures.

• Estimation de x₃ : L’estimation de x₃ s’effectue en utilisant les deux valeurs précédentes ˆx1 et ˆx2. En effet, la pente d’une signature donnée varie, pourx2 etx1

donnés, de façon monotone fonction des valeurs de x₃ comme le montre la figure

4.24 où un exemple de cette caractéristique est donné pourx₂ = 3. Ainsi la pente de la signature S67

∗ est calculée en premier. Les valeurs ˆx_1s et ˆx_2s et la pente sont uti-lisées pour déterminer la valeur dex3, notéex3s par interpolation de l’information.

• En conclusion, les propriétés définissant la fonction d’inversion dans le cas de cet exemple ne sont autres que les valeurs estimées des 3 états comme c’est le cas pour l’exemple précédent 1.

Afin de valider la procédure expliquée précédemment, soit un scénario du système démar-rant à l’état initialx₀ = (2,−2.7,0.7)^T. En faisant passer la fenêtre glissante de longueur

N sur le train de mesures résultantes, les signatures correspondantes sont calculées et la procédure d’estimation précédente est appliquée. Les résultats d’estimation sont montrés sur la figure 4.25 où le formule de filtrage (4.6.8) est appliquée avec q= 0.1.

Fig. ^{4.24 – Caractéristique donnant la valeur dex}3 connaissant les valeurs dex₂ etx₃ : La pente d’une signature définie en fonction de x₃ pour les différentes valeurs de x₁ et pour un x₂ donné dans ce casx₂ =x₂₇ = 3.