Considérons le système non linéaire dynamique décrit par les équations suivantes [Youssef, 2005] :
f( ˙x, x, p) = 0 ; y =h(x, p) (2.2.1)
où
X y∈R représente la sortie mesurée qui est considérée dans ce cas comme scalaire.
X p∈P1×P2×. . .×Pm représente le vecteur de paramètres. Pi sont les ensembles des valeurs possibles de paramètres pi, i∈ {1, . . . , m}.
Principe de base
Considérons un ensemble de mesures du système acquises avec une période d’échantillon-nageτ >0, dans une fenêtre temporelle de longueur N (voir figure 2.1). La connaissance
des N mesures passées du système permet de déterminer la partie observable de l’état,
soit x(t−N τ). Par ailleurs comme les mesures futures ne dépendent que de cette partie de l’état, la sortie à l’instant t est obtenue uniquement par cette dernière. Notons le
Fig.2.1 – La connaissance deN mesures passées (vecteurY(t)) permet la détermination de l’état observable x(t) et donc la sortie à l’instant suivant t+ (N + 1)τ est obtenue uniquement par Y(t)
vecteur de mesures passées par :
Y(t) = (y(t−N τ), . . . , y(t−τ))T (2.2.2)
De plus soit la sortie suivante notée par :
y+(t) =y(t) (2.2.3)
Cette sortie dépend de Y(t) et du vecteur de paramètres p.
Par conséquent, La discussion précédente implique l’existence d’une application de la forme :
telle que
y+(t) =y(t) =F(Y(t), p) (2.2.5)
La relation précédente est non linéaire, multi-variable et dépend du vecteur des para-mètres.
Remarque 2.2.1. Dans le cas d’un système commandé, la relation (2.2.5) sera de la forme :
y+(t) =y(t) = F(Y(t), u, p) =Fu(Y(t), p) (2.2.6)
pour un scénario de u donné. De plus, cette relation est considérée dans le cas d’un
système avec une commande par retour d’état et observateur.
Afin de donner une caractérisation graphique de la fonction inconnue F (voir équation
(2.2.6)), une signature graphique est utilisée. L’intuition de base de la signature graphique ainsi que sa définition sont données dans les sous-sections suivantes.
Intuition de base de la signature graphique 2D
Supposons l’existence d’une application P appelée dans la suite Stylo ("Pencil" en an-glais), qui est définie de la façon suivante :
P : RN ×R→R2
(Y(t), F(Y(t), p))→P(Y(t), F(Y(t), p))∈R2 (2.2.7)
L’application P associe à chaque couple (Y(t), F(Y(t), p)) un point dans le plan bi-dimensionnel R2.
Soit un vecteur de mesures contenant NO instants de mesure. Notons par Yp ∈ RN
l’ensemble des valeurs prises par Y. Ces valeurs sont obtenues en glissant la fenêtre de
longueur N sur le vecteur de mesures de NO éléments. En prenant le Stylo P en main
et en l’appliquant sur les différentes valeurs de Y, une courbe bi-dimensionnelle sera obtenue (voir figure 2.2) :
P(Y(t), F(Y(t), p)) Y(t)∈Yp (2.2.8)
Cette courbe est constituée d’un nombre de points égal au nombre de valeurs prises par
Y introduites ci-dessus. Par ailleurs, cette courbe est considérée comme la signature
Fig. 2.2 – Signature graphique de la fonction F. A chaque couple (Y(t), y+(t)), il est associé un point dans un plan 2D (plan de la signature). La signature 2D obtenue contient un nombre de points égal au nombre de valeurs prises par Y(t) en glissant la fenêtre de longueur N sur le train de mesures considéré.
s’obtiennent : Notons que l’ensemble des valeurs prises par Y(t), Yp, précédemment défini dépend de l’état initial, de l’état considéré, ainsi que de la commande (dans le cas d’un système commandé).
Avant de présenter la formulation mathématique détaillée de l’application "Stylo", continuons avec la présentation de l’intuition de base de l’approche proposée. Ainsi, il s’avère intéressant de présenter l’utilisation de la signature graphique comme outil de diagnostic pour la détection des variations paramétriques dans les systèmes dynamiques.
Les signatures graphiques 2D comme outil de diagnostic
Supposons l’existence des valeurs de N pour lesquelles l’"allure" de la signature varie d’une façon détectable, lorsqu’un paramètre du système varie et ceci indépendamment des valeurs des autres paramètres. Dans ce cas, la signature graphique devient un outil de diagnostic, en particulier dans le cadre du diagnostic par opérateur. Par ailleurs, grâce au caractère graphique de la signature, il est possible d’utiliser les capacités de diagnostic naturelles et très considérables de la vision humaine dans le cadre d’un système d’aide au diagnostic à interface homme/machine. De plus, si la signature se déforme d’une façon corrélée à la variation du paramètre en question, la valeur de cette variation peut alors être estimée.
Afin de bien illustrer cette idée, considérons un système avec deux paramètres p1,
s’allonge de la façon montrée sur la figure 2.3 pour des variations du premier paramètre
p1, soit le défaut f1. Sur cette figure 2.3, le fonctionnement normal du système, c.à.dire pour des valeurs nominales (p0
1, p0
2) de (p1, p2), est représenté par la signature en trait continu, alors que la signature en pointillé correspond au fonctionnement défectueux du système (défaut f1).
D’autre part, supposons aussi que la signature subit une rotation grâce à des va-riations du second paramètre (soit le défaut f2) comme le montre la figure 2.4. Ainsi, cette signature permet la détection et la localisation de toutes variations mêmes
simultanées (défauts f1 et f2 en même temps), comme il est présenté sur la figure
2.5. De plus, il est possible de déterminer les valeurs des deux paramètres p1 et p2
respectivement à l’aide de l’allongement δ et l’angle de rotation θ de la signature. Par conséquent, δ et θ peuvent être considérés comme des résidus "géométriques".
Finalement il faut bien noter que même lorsque la signature tourne avec les va-riations des deux paramètres p1 et p2, il est possible de détecter et localiser les défauts multiples. En effet, l’allongement de la signature permet de détecter, localiser et estimer les variations de p1. De plus, les variations de p2 peuvent être détectées grâce à l’angle
de rotation de la signature. Dans ce qui suit, quelques définitions et notations sont
Fig. 2.3 – Exemple d’un système à deux paramètres p1, p2 : la signature s’allonge avec la variation de p1.
données. Ensuite, la technique de génération de la signature graphique est présentée. Finalement, un exemple illustratif "oscillateur de Van-der-Pol" modifié est donné pour bien illustrer la génération de la signature graphique et son utilisation dans la détection des variations paramétriques de ce système.
Fig. 2.4 – Exemple d’un système à deux paramètres p1, p2 : la signature tourne avec la variation de p2.
Fig. 2.5 – Exemple d’un système à deux paramètres p1, p2. La signature permet de
détecter et localiser les variations simultanées dep1 et p2.