xmax(E∗)−xˆ(E∗) xmax(E∗)−xmin(E∗) # ·yˆ(E∗|xmin(E∗)) + " ˆ x(E∗)−xmin(E∗) xmax(E∗)−xmin(E∗) # ·yˆ(E∗|xmax(E∗)) (3.5.7) 3.5.4 Résultats de validation
Les lois d’estimation (3.5.5) et (3.5.7) sont utilisées ici sur l’ensemble complet de points expérimentaux, afin de valider leur puissance d’extrapolation sur ces expériences qui n’étaient pas incluses dans la phase d’apprentissage. Les résultats sont présentés sur la figure 3.7 où l’erreur d’estimation pour chacune des positions (x, y) est représentée graphiquement par une ellipse. Notons que les points appartenant à l’ensemble :
{2,7,4,9,13,16,10,17,11,18}
n’ont pas été utilisés dans la phase d’apprentissage. Cela montre une bonne capacité d’interpolation de la stratégie proposée. Notons également que la précision augmente lorsque la sonde s’approche du mur, conformément avec les observations invoquées par [Baffet et al., 2009].
3.6 Conclusions générales
Dans ce chapitre, une validation préliminaire d’une méthodologie d’électrolocation sans modèle a été proposée et validée expérimentalement. Cette méthodologie se base sur
l’utilisation de la technique des signatures graphiques présentée dans le chapitre 2. Une investigation future portera sur la navigation en présence d’objets arbitraires où le pro-blème de classification sera défini par la présence ou non d’objets dans telle ou telle direction. Ces directions sont définies dans le système de référence du robot. Dans ce sens, l’ambition de positionnement absolu sera abandonnée vers un contexte plus réa-liste d’électrolocation. De plus, l’utilisation des sondes à électrodes multiples (jusqu’à 16 déjà disponibles sur une seule sonde) permettra d’éviter la nécessite d’un protocole assez complexe d’électrolocation.
Dans le chapitre suivant, d’autres exemples illustratifs où la technique des signatures graphiques est utilisée, sont présentés. Pour ces exemples, cette technique est utilisée comme outil permettant de réduire au moins partiellement la complexité du problème d’optimisation invoquée lors de l’utilisation des estimateurs à horizon glissant.
(a)
(b)
(c)
Fig.3.6 – Vue sur DiagSign des nuages obtenus pour la classification basée la coordonnée
verticale y. Les 3 subplot montrent les 3 sous problèmes de classification de y utilisés pour effectuer l’estimation conditionnelle de y lorsque (a) x = x6, (b) x = x5 or (c)
x=x3. La définition de sous-ensemble correspondant ày et utilisé pour la définition de chacun des sous-problèmes est donnée sur chaque sous-figure correspondante.
Fig. 3.7 – Vue de l’erreur d’estimation lorsque les lois d’estimation (3.5.5) et (3.5.7)
sont appliquées à l’ensemble complet des données expérimentales. Rappelons que la phase d’apprentissage utilise seulement 11 des 21 points où la sonde a été position-née et les donposition-nées mesurées sont acquises. On notera en particulier que les points
Estimation d’états/paramètres dans
les systèmes non linéaires
Dans ce chapitre, des exemples de validation sont donnés pour montrer l’efficacité de l’utilisation des signatures graphiques 2D pour la résolution des problèmes inverses dans les systèmes non linéaires. Deux exemples sont développés pour montrer la possibilité de la construction d’un observateur d’état complet basé sur les signatures. De plus, deux autres exemples illustratifs concrets sont présentés pour montrer l’efficacité de la signature comme outil permettant de réduire la complexité du problème d’optimisation invoqué lors de l’utilisation des techniques d’estimation à horizon glissant (MHE). Il s’agit donc de la construction d’un observateur d’état réduit.
4.1 Introduction
Le problème d’estimation des états et des paramètres d’un système dynamique est fondamentalement un problème inverse. Plus précisément, étant donné un ensemble de mesures disponibles, il est souhaité d’estimer l’état interne et les paramètres inconnus du système. En ce qui concerne les modèles non linéaires, le problème d’estimation est encore un problème ouvert et difficile à résoudre. Malgré cette difficulté, la résolution de ce problème est cruciale dans l’ingénierie de contrôle puisqu’il implique de nombreux paradigmes tels que l’asservissement de sortie, la détection des défauts, le diagnostic et la surveillance, etc. Les algorithmes qui réalisent cette tâche sont appelés observateurs. Pour les systèmes non linéaires, différents types d’observateurs ont été développés, parmi lesquels il est possible de citer les observateurs à grand gain [Gauthier et al., 1992a], les observateurs à mode glissant [Slotine et al., 1987], les estimateurs à horizon glissant (Moving Horizon Estimators MHE) [Michalska & Mayne, 1995], et bien sûr le filtre de Kalman étendu (Extended Kalman Filter (EKF)) largement utilisé. D’excellentes
références sur les techniques d’observation non linéaires peuvent être trouvées dans [Simon, 2006] et [Besancon, 2007].
Parmi toutes les alternatives possibles d’observateurs, la technique MHE a connu un intérêt croissant ces dernières années en raison de sa capacité à gérer des contraintes et à exploiter pleinement des modèles généraux non linéaires et précis des processus dynamiques étudiés. Cet observateur nécessite une solution en ligne d’un problème d’optimisation non convexe dans lequel la fonction coût est l’intégrale de l’erreur de prédiction alors que la variable de décision n’est autre que l’ensemble de quantités inconnues à estimer (les vecteurs d’état et de paramètres inconnus). La solution en ligne du problème d’optimisation conduit à des calculs lourds qui peuvent réduire l’applicabilité d’une telle approche, au moins pour une famille de problèmes qui ont besoin d’un taux de mise à jour élevé.
Afin de surmonter cet inconvénient, ce chapitre propose une étude qui porte sur un nouvel outil qui aide à aborder, au moins partiellement, le problème de la charge de calcul. La méthode proposée est basée sur l’utilisation des fonctions d’inversion explicite. Cela est rendu possible quand une partie du vecteur d’inconnus peut être explicitement exprimée comme dépendante de la partie restante. Il est suggéré qu’une telle fonction d’inversion puisse être réalisée à l’aide de l’outil de classification basé sur des signatures graphiques 2D présentées dans le chapitre 2, et qui sont récemment développées dans une série de papiers [Youssef & Alamir, 2003; Youssef & Alamir, 2005; Omar & Alamir, 2011]. En procédant de cette manière, il est possible de réduire fortement la dimension de la variable de décision à mettre à jour par une optimisation en ligne, et de renforcer l’application en ligne de la technique MHE. Dans la suite de ce chapitre, deux cas sont présentés :
- Dans le premier cas, il est montré que la signature graphique peut permettre de résoudre complètement le problème d’estimation ; il s’agit donc d’un observateur d’état complet basé sur les signatures. Pour ce faire, des exemples de validation sont donnés.
- Dans le deuxième cas, la signature graphique sert comme outil qui permet de réduire la dimension du problème d’estimation invoqué lors de l’utilisation de MHE, comme il est introduit dans ce qui précède. Cela est bien montré à travers des exemples de validation.
Ce chapitre est organisé de la façon suivante : dans la section 4.2, l’idée principale est clairement introduite. Le rôle essentiel assuré par les fonctions d’inversion est bien souli-gné dans la section 4.3. La section 4.4 rappelle le principe de classification par signatures graphiques et précise les conditions nécessaires pour qu’elles puissent être utilisées dans la dérivation des fonctions d’inversion. Des notions additionnelles associées aux
signa-tures graphiques sont données dans la section 4.5. Dans la section 4.6, des exemples sont donnés pour montrer la possibilité d’utilisation de la signature graphique pour l’obten-tion d’un observateur complet. Ensuite, la réducl’obten-tion du problème d’estimal’obten-tion d’état par MHE, en utilisant la technique de signature graphique est validée dans les deux sections 4.7 et 4.8 par deux exemples illustratifs détaillés dans le but de concrétiser l’ensemble de concepts invoqués tout au long de ce chapitre. La section 4.9 présente une conclusion dans laquelle des idées pour des futures investigations sont données.