Normalisation en translation et en échelle

La normalisation en translation et en échelle permet de définir, pour chaque objet 3D, un centre et une échelle. Ces prétraitements consistent à déplacer le centre de l’objet au centre du repère 3D, d’une part, où la difficulté réside dans le choix du centre de l’objet 3D, et à définir une échelle locale à l’objet d’autre part. Nous dressons ici, une liste représentative, des méthodes de la littérature permettant de traiter ces deux notions.

Le centrage

– Le centre de gravité : C’est le moyen le plus simple de définir le centre pour un objet non maillé (voir chapitre 2) c’est-à-dire dont les sommets ne sont pas reliés entre eux. Pour son calcul, le centre de gravité, noté G, est calculé sur l’objet O discrétisé en m sommets notés Pi :

G = _m1 m

X

i=1

Pi (3.1)

Même si ce calcul est très peu coûteux en temps et simple à mettre en place, il est peu robuste aux changements de surface de l’objet 3D. En effet, ce centre ne tient pas compte de la surface de celui-ci,déf mais seulement de ses sommets. De ce fait, si les sommets du modèle ne sont pas uniformément répartis sur sa surface, le centre devient peu cohérent. Cette définition n’est donc à utiliser que dans le cas où aucun maillage n’est disponible et que les sommets sont uniformément répartis sur la surface. Ce type d’objet peut être obtenu au moyen d’un scanner 3D ou par une reconstruction à l’aide de photos (voir section2.3.1).

– Le centre de gravité surfacique : Aussi appelé centre d’inertie, il correspond au barycentre des sommets qui composent le maillage de l’objet 3D (voir section2.3.2). C’est grâce à l’utilisation de ce maillage, noté M, que cette définition se rapproche d’un calcul sur une surface continue de l’objet 3D. En effet, dans cette formulation, chaque facette qui contribue au calcul du centre, est pondérée par son aire. Posons Si l’aire d’une facette Fi composée de trois sommets Ai, Bi et Ci :

Si = 1 2k

−−→

Alors le centre de gravité surfacique Gs,i du maillage défini par les m facettes Fi vaut : Gs,i= 1 S m X i=1 SiGi = 1 S(S1G1+ ... + SmGm) (3.3) où S représente l’aire de l’objet 3D et avec :

Gi = 1

3(Ai+ Bi+ Ci) (3.4)

Ce centre de gravité surfacique est utile et robuste lorsqu’un maillage est disponible. Il est de plus assez peu coûteux car il demande uniquement de calculer l’aire des facettes.

– Le centre de la boite englobante : La boite englobante est définie comme étant la plus petite boite englobant l’intégralité de l’objet 3D. Son centre Cb est défini part : Cb = _x min+ xmax 2 , ymin+ ymax 2 , zmin+ zmax 2  (3.5) où xmin, xmax, ymin, ymax, zmin et zmax sont les coordonnées minimales et maxi- males de l’objet 3D. Cette définition de centre est identique à celle appelée “EBB”, pour Extended Bounding Box, par Vranic [134]. Cette notion d’objet englobant, ici une boite, est très utile lors des approches multi-vues où plusieurs projections de l’objet 3D sont nécessaires. En effet, dans ce cas, en plaçant les plans de projections sur la surface de cet objet englobant, il est facile de projeter l’objet dans son inté- gralité car son enveloppe est alors connue (voir figure3.1).

(a) Une chaise (b) Un chien

Figure 3.1 – Exemple de deux objets centrés dans leur cube englobant. (a) représente

une chaise tandis que(b) représente un chien. Ce cube n’étant pas nécessairement le cube

minimum englobant, cette enveloppe n’assure pas la maximisation de l’aire des projections

(voir chapitre 4.)

– Le centre de symétrie : Il a été défini par Podolak et al. [97] et se calcul après défi- nition des plans de symétrie miroir de l’objet. Il correspond à l’intersection des trois

plans orthogonaux de symétrie miroir maximale. Même si ce centre est robuste pour les objets comportant des symétries, il reste ambigu lorsque celui-ci n’en comporte pas.

La mise à l’échelle

– Le rayon maximum : En considérant l’un des centres C introduits ci-dessus, le rayon maximum est défini comme la distance maximale entre le centre et chacun des

m sommets_Pi de l’objet 3D :

Rmax= max

i kC − Pik2 (3.6)

Cette échelle est équivalente à celle nommée “CBC”, pour Canonical Bounding Cube, par Vranic [134] lorsque l’on choisit le centre de gravité surfacique pour C. Il est utile de noter que cette échelle permet de faire entrer l’objet 3D dans une sphère de rayon Rmax. Il est ainsi possible d’obtenir des projections 2D où l’objet est visible dans son intégralité.

– Le rayon moyen : En considérant l’un des centres C introduits ci-dessus, le rayon moyen est défini comme la distance moyenne entre le centre et chacun des m sommets Pi de l’objet 3D : Rmoy = 1 m m X i=1 kC − Pik2 (3.7)

Vranic [134] définit “CC2”, pour Canonical Cube 2, comme étant 4 ∗ Rmoy avec le centre de gravité. Même si dans cette définition, l’objet ne rentre pas dans l’enve- loppe définie par la sphère de rayon Rmoy, elle permet de supprimer les points trop éloignés du centre, éventuellement dû à des erreurs lors de l’acquisition du modèle 3D.

– Le rayon de la boite englobante : Il s’agit du rayon de la boite englobante défini ci-dessus et il est identique à celui de “l’EBB” défini par Vranic [134]. Dans le cas où l’on considère la boite englobante, le rayon vaut :

Rb = kCb− Pmaxk2 (3.8)

où Pmax représente le sommet de l’objet 3D le plus distant du centre de la boite englobante. Ce rayon est souvent utilisé, en association avec le centre de la même boite englobante, dans les approches “2.5D/3D” et “2D/3D”, car elle permet de définir les plans de projections comme étant les faces du cube.