Méthodes par transformées

Moments géométriques : Les moments géométriques permettent de décrire la forme

générale d’un maillage 3D. Leur utilisation pour l’indexation de modèles tridimensionnels apparait pour la première fois dans l’article de Paquet et Rioux [94] où ils sont calculés après une normalisation en rotation car ils ne sont pas invariants envers cette transforma- tion. Dans cet article les auteurs calculent les moments sur la surface discrétisée de l’objet

(a) Objet représentant un la- pin

(b) Echantillonnage de la boite englobante

(c) Représentation des coeffi- cients gijk

Figure 3.14 – Exemple du calcul du descripteur “3DGA”. (a) représente l’objet 3D, (b)

l’échantillonnage de la boite englobante en 83 _{cellule de centre q}

ijk (en bleu) et(c)montre

la contribution des cœfficients gijk (les boules rouges sont proportionnels aux cœfficients).

par la formule : Mqrs= m X i=1 Si(xi− xGi) q_(y i− yGi) r_(z i− zGi) s _(3.21)

Voir notation dans la section . L’ordre (q, r et s) choisi dépend de la granularité de description souhaitée et permet ainsi une recherche multi-échelle.

Dans le même esprit, Saupe et Vranic [107] utilisent, dans le descripteur “EXT”, des moments géométriques pour représenter une fonction sphérique permettant de capturer la forme des objets 3D. Le calcul des moments se fait avec la formule :

Mqrs=

m

X

i,j=1

r(uij)∆sijxq_ijyrijzijs (3.22) où r(uij) représente la distance maximale entre le centre de l’objet et sa surface en suivant la direction uij = (cosφisinθj, sinφisinθj, cosθj) et où ∆sij donne l’aire de cette surface sur la boule unité. Les expérimentations faites par les auteurs montrent qu’un ordre de 31 est suffisant pour caractériser la forme des modèles 3D et que l’augmentation de l’ordre tend même a réduire la pertinence de la méthode. Finalement, cette approche reste peu discriminante comme le montrent les comparaisons effectuées par Vranic [134].

Moments de Zernike 3D : Dans leur approche Novotni et Klein [84][85] utilisent les moments de Zernike 3D introduit par Canterakis [22] pour décrire la forme d’un objet 3D à l’aide de fonctions polynomiales dans le même esprit que les moments de Zernike 2D. L’un des principaux intérêts des moments de Zernike est leur invariance à la rotation facilitant ainsi le prétraitement des modèles. Les auteurs procèdent à l’extraction du descripteur sur l’objet voxelisé en quatre étapes distinctes :

2. Calcul des moments géométriques Mqrs d’ordre : q, r, s > 0 et q + r + s ≤ N (voir approche précédente).

3. Calcul des moments de Zernike 3D Ωm nlavec : Ωm nl= 3 4π X q+r+s≤n XnlmqrsMqrs (3.23) où Xqrs

nlm représente la combinaison linéaire des moments géométriques. 4. Calcul des normes Fnl= kΩnlk comme descripteur de l’objet.

Des expérimentations faites par les auteurs sur la base du Princeton Shape Benchmark [110] montrent des résultats équivalents ou meilleurs que les approches par harmoniques sphériques (voir figure3.15).

Recall Precision SH 3D Zernike a) 100%

(a) Classe des “avions”

Recall Precision SH 3D Zernike b) 100%

(b) Classe des “chaises”

Figure 3.15 – Graphique précision/rappel des méthodes “Zernike 3D” (en noir) et “har-

moniques sphériques” (en gris) pour la classe des “avions” (a)et des “chaises” (b).

Descripteurs par fonctions sphériques : L’ensemble de ces approches utilisées

entre autres par Kazhdan et al. [63] et Vranic [134], dans les descripteurs “SHD” et “GEDT”, permettent de caractériser un objet 3D par une fonction sphérique. Celle-ci est calculée sur un ensemble de cellules de la sphère unité qui peuvent être un échantillon- nage uniforme de sa surface ou de son volume. La fonction sphérique donne alors une description de l’objet pour chacune des cellules définies. Ces fonctions sont souvent la base d’approches plus complexes telles que les harmoniques sphériques ou les descripteurs de symétries.

Harmoniques sphériques : Les harmoniques sphériques permettent de représenter,

avec une invariance en rotation, des fonctions calculées sur une sphère S2_{. Grâce à celles-} ci, il est possible de décomposer toutes fonctions sphériques f(θ, φ) comme la somme de ses harmoniques. La grande force des harmoniques sphériques est qu’elles permettent de construire des descripteurs invariants en rotation, simplifiant ainsi les étapes de normali- sation des modèles 3D. Il s’agit en quelque sorte d’une transformée de Fourier appliquée aux fonctions sphériques.

Cet outil a été largement utilisé par Vranic et al. [136][133][132], par exemple dans le descripteur “REXT”, pour la description d’un objet 3D. Afin de décrire la forme du modèle voxelisé, il a considéré plusieurs fonctions sphériques telles que par exemple : r(uij) qui représente la distance maximale entre le centre de l’objet et sa surface en suivant la direction uij, s(uij) qui est la norme du produit scalaire entre uij et la normale unitaire du triangle contenant le point r(uij)uij, ou encore la fonction complexe r(uij) + js(uij). Les résultats obtenus permettent une bonne robustesse tout en gardant un descripteur compact grâce à la décomposition en harmoniques sphériques (voir figure3.16).

(a) Objet 3D original (b) 42

harmoniques (c) 82

harmoniques (d) 122

harmoniques

2

(e) 162 _{harmoniques (f) 20}2 _{harmoniques (g) 24}2 _harmoniques

Figure 3.16 – Représentation multi-résolution d’une voiture avec la fonction r(uij) utilisée

pour calculer le descripteur avec les harmoniques sphériques.

Dans le même esprit, Funkhouser et al. [41] ont utilisé cette méthode pour coder l’in- formation contenue dans la fonction sphérique définie par l’intersection d’un ensemble de sphères concentriques avec les voxels du modèle 3D. Cette approche a l’inconvénient de dépendre fortement de la résolution de l’objet voxelisé.

Finalement, Kazhdan et al. [63][62] ont aussi utilisé les harmoniques sphériques pour rendre invariant en rotation un ensemble de descripteurs 3D existants. Leurs expérimen- tations se sont entre autres portées sur les “EGI” [51], les fonctions définies par Vranic précédemment [136], la fonction sur les sphères concentriques [41] ou encore les histo- grammes de forme [6]. Les principaux intérêts dégagés par les auteurs sont l’invariance en rotation qui améliore légèrement les résultats et la compacité accrue des descripteurs permettant ainsi une recherche plus efficace.

Descripteurs de symétrie : Ce type de descripteur est présenté par Kazhdan et al.

[60] pour décrire un objet 3D à partir de ses symétries de réflexion. Afin de mesurer cette propriété, les auteurs décrivent le modèle voxelisé avec une fonction sphérique avant de calculer la symétrie de cette description par rapport à l’ensemble des plans passant par le centre de masse de l’objet.

Kazhdan [62][61] généralise ce concept aux symétries à “k-plis” afin de calculer à la fois les symétries de réflexion et de rotation. Les auteurs utilisent toujours une description de

l’objet voxelisé par un ensemble de fonctions sphériques, mais y ajoutent une décomposi- tion en harmoniques sphériques qui garantie l’invariance en rotation. Les résultats obtenus montrent que ce descripteur, associés à un descripteur par harmoniques sphériques, offre de meilleures performances que toutes les autres approches basées sur ce dernier.

Finalement, Podolak et al. [97] améliorent cette approche en introduisant la trans- formée de symétrie de réflexion planaire. Grâce à celle-ci, les auteurs ne se limitent plus aux plans de symétrie passant par le centre de masse de l’objet comme dans [60] mais à l’ensemble des plans intersectant l’objet. Afin de réduire le coût de calcul, ils utilisent un algorithme de Monte-Carlo associé à une étape d’affinement par optimisation itérative locale pour calculer la transformée. Même si cette dernière approche offre des résultats satisfaisants, elle reste lourde à cause de sa complexité de calcul.

Ces approches ont l’avantage d’être peu sensibles au bruit et à la résolution de l’objet, offrant ainsi des résultats intéressants pour la description d’information 3D. Elles peuvent, de plus, être une information appréciable pour l’alignement des objets 3D en vue de leur normalisation.

Transformée de Fourier 3D discrète : Les travaux de Vranic et Saupe [135] ap- portent un nouveau descripteur de forme 3D invariant aux translations, changements d’échelles, rotations, réflexions et peu sensible aux changements de résolution. Celui-ci est basé sur l’application de la transformée de Fourier 3D discrète (3D DFT) sur un mo- dèle voxelisé. Afin d’obtenir l’invariance aux transformations de l’espace, une analyse en composante principale continue est appliquée en prétraitement de l’extraction du descrip- teur. La transformée de Fourier 3D se calcule sur les N3 _{voxels q}

iklde l’objet par la formule suivante : guvw= √1 N3 −N 2+1 X i=−N 2 −N 2+1 X k=−N 2 −N 2+1 X l=−N 2 qikle−j 2π N(iu+kv+lw) (3.24)

où −K ≤ u, v, w ≤ K afin de ne garder que les basses fréquences qui encodent mieux la forme générale de l’objet.

Cette application de la transformée de Fourier, généralement appliquée à des images en deux dimensions, permet de décrire après un passage en 3D la forme d’objets complexes. Les résultats obtenus avec cette approche sont insuffisants comparés aux autres méthodes par transformées.

Transformée de Hough 3D : Le descripteur de Hough 3D a été proposé par Zaharia

et Preteux [141][144] afin de décrire les maillages 3D. Cette transformée est fondée sur un principe d’accumulation des points sur des plans de R3_{. En échantillonnant uniformément} l’espace des paramètres sphériques, un histogramme de taille Ns∗ Nθ∗ Nϕ est défini pour stocker le descripteur de Hough 3D. La composante h(sjk, θj, ϕk) est incrémentée de l’aire

des projections de chacune des facettes sur le plan d’orientation (θj, ϕk) passant par le centre de gravité des facettes et à une distance sjk du centre de l’objet.

Étant donné que la transformée de Hough est étroitement liée au repère canonique dans lequel elle est calculée, les auteurs considèrent les 48 configurations possibles de ce repère afin de s’affranchir des problèmes d’inversion d’axes et de réflexions. Cependant, afin de réduire la taille du descripteur ils ne considèrent que 3 configurations en exploitant les relations mathématiques liant l’ensemble des configurations.

Transformée radiale angulaire : Cette description de la forme d’un objet 3D intro-

duite par Ricard et al. [104][103][102] est basée sur la notion de transformation unitaire orthogonale complexe définie sur la boule unité. Celle-ci est une transformée radiale an- gulaire (ART) définie par trois fonctions séparables : une fonction radiale Rn(ρ) et deux fonctions angulaires Amθ(θ) et Amφ(φ). Les cœfficients ART 3D sont calculés, sur l’objet

normalisé au moyen d’une ACP, comme suit :

Fnmθmφ = Z 2π 0 Z π 0 Z 1 0 Amθ(θ) ∗ Amφ(φ) ∗ Rn(ρ)f(ρ, θ, φ)ρdρdθdφ (3.25)

où f est la fonction sphérique représentant la surface de l’objet. Afin de garantir un bon rapport performance/vitesse, les auteurs calculent la transformée d’ordre n = 3, mθ = 5 et mφ= 5.

Les expérimentations menées sur les bases de “Princeton” [110] et de “Renault” [109] montrent de très bons résultats en particulier pour la seconde avec tout de même une petite supériorité des harmoniques sphériques.