Méthodes par partitions de l’espace

Histogrammes de forme : Ankerst et al. [6] propose une façon de partitionner uniformément l’espace selon trois représentations (voir figure3.12) :

1. Coquilles “SHELLS” : Ce partitionnement permet, au moyen de coquilles concen- triques autour du centre de l’objet, de s’affranchir d’éventuelles rotations de celui-ci. Afin de pouvoir englober l’ensemble du modèle, la dernière coquille n’a pas de fron- tière supérieure.

(a) Ombilic minimal : IF = 0.0

(b) Vallée : IF = 0.25 (c) Selle : IF = 0.5

(d) Crête : IF = 0.75 (e) Ombilic maximal : IF = 1.0

Figure 3.11 – Formes élémentaires et leur indice de forme “IF” associé pour le point p

de cordonnée x = 25 et y = 25.

2. Secteurs “SECTORS” : Cette représentation basée sur une décomposition angulaire de taille homogène est calculée en projetant les faces d’un polyèdre régulier sur la sphère unité.

3. Combinés “SECSHEL” : Cette dernière décomposition est la combinaison des deux premières alliant ainsi les forces de chacune.

(a) 4 coquilles (b) 4 secteurs (c) combinaison co- quilles/secteurs

Figure 3.12 – Représentation des trois partitionnements proposés : par coquilles, par

secteurs et leur combinaison (coquilles + secteurs).

Finalement, chaque descripteur est un histogramme représentant la répartition du ti- rage d’un ensemble de points uniformément répartis sur la surface de l’objet 3D.

Évalués sur la base du Princeton Shape Benchmark [110], les résultats du descripteur “SECSHEL” sont meilleurs que “SECTORS” ainsi que “SHELLS” et se place dans la

moyenne des autres approches testées.

Statistiques sur les axes principaux : Dans leur approche, Ohbuchi et al. [89] décrivent la forme d’un objet 3D en calculant des statistiques le long des trois axes prin- cipaux de l’objet. Ils partitionnent chacun d’eux en N composantes et calculent pour chacune trois statistiques (voir figure 3.13) :

1. Le moment d’inertie autour de l’axe.

2. Le distance moyenne entre la surface du modèle et l’axe. 3. Le variance de la distance entre la surface du modèle et l’axe.

(a) Objet 3D (b) Moment d’inertie autour de l’axe (c) Distance moyenne de la surface à l’axe (d) Variance de la dis- tance de la surface à l’axe

Figure 3.13 – Exemples de statistiques autour d’un des axes principaux. (a) représente

l’objet 3D, (b)le moment d’inertie autour de l’axe, (c) la distance moyenne de la surface

à l’axe et(d)la variance de la distance de la surface à l’axe. Les statistiques sont évaluées

sur une partition de l’axe −→x en N = 15 composantes.

Le descripteur final est donc composé de neuf histogrammes, trois par axe, calculés après une normalisation de l’objet en échelle et en rotation. Afin de garantir la mise en cor- respondance robuste de deux descripteurs, les auteurs basent leur mesure de dissimilarité sur la distance euclidienne associée à une mesure élastique par programmation dynamique. Le descripteur proposé par les auteurs est robuste aux petites déformations du maillage et ne nécessite pas que l’objet soit correctement maillé. En revanche cette description est trop fortement liée au calcul des axes principaux, ce qui reste une étape difficile et nécessite un temps de calcul important lié à la mise en correspondance élastique.

Points saillants : Afin de capturer l’information de forme d’un modèle 3D, Tangelder

et Veltkamp [117] représentent l’objet par un ensemble de points saillants pondérés. Après une normalisation par analyse en composantes principales, le cube unité est partitionné uniformément en 25 ∗ 25 ∗ 25 cellules, permettant ainsi la construction d’un histogramme. Afin de sélectionner un point saillant pour chacune d’entre elles ainsi qu’un poids, les auteurs comparent trois approches :

1. Le point ayant la courbure Gaussienne la plus forte avec comme poids cette mesure en valeur absolue.

2. La position des facettes de la cellule pondérée par leur aire. Le poids correspond ici à la variation moyenne des normales.

3. Le centre de masse de tous les sommets appartenant à la cellule avec un poids fixé à 1.

Afin de prendre en compte les petites déformations, les auteurs utilisent une version modifiée de la distance “EMD” afin de construire une distance (voir annexeA). Cette nou- velle mesure apporte le principal inconvénient de l’approche, à savoir son coût de calcul.

Contextes de forme 3D : Initialement introduit en deux dimensions, les contextes de

forme permettent de décrire localement la forme d’un objet. Kortgen et al. [65] appliquent ce principe à un modèle 3D normalisé en décrivant le voisinage de N points uniformément répartis sur la surface de l’objet 3D. Pour chacun d’entre eux, les auteurs construisent un histogramme qui décrit la position des N − 1 autres points. Afin de coder la notion de position, ils utilisent la décomposition en “coquilles/secteurs” faite par Ankerst et al. [6]. Ainsi, le descripteur final est un ensemble de N = 200 histogrammes de C = 432 composantes (“coquilles/secteurs”).

En plus du manque de pertinence de la description, cette approche est très coûteuse en espace mémoire et en temps de calcul. En effet, afin de comparer les différents histo- grammes, les auteurs proposent de rechercher le meilleur appariement entre ceux-ci d’une complexité proche de O(N3_).

Descripteur Gaussien 3D : Le principe du descripteur “3DGA” introduit par

Chaouch [24] est de caractériser et d’amplifier localement le voisinage de la surface 3D. Pour cela, l’auteur définit des fonctions gaussiennes qui mesurent l’influence des points de la surface, des objets 3D, sur des cellules régulièrement réparties dans l’espace englobant le modèle. À partir d’un échantillonnage de la boite englobant l’objet 3D en N3 _cellules, représentées par leur centre qijk, l’auteur calcul la contribution de la surface M du modèle envers chaque cellule, avec σ la bande, comme suit :

gijk(qijk,M, σ) =

ZZ

p∈Me

−|p−qijk|2

σ2 dp (3.20)

Ce descripteur compact, illustré sur la figure 3.14, a montré sa robustesse par rapport aux autres méthodes “3D/3D” et se place à la première position sur la base Princeton

Shape Benchmark pour ce type d’approche.