Modifications dans la formulation de l’élément UD

    Si ε_{barre ≥ ε}r

t alors rupture en traction Si ε_{barre ≤ ε}r

c alors rupture en compression ^(III.54)

Concernant la compression, [Carvalho et al., 2011] et [Ekçsi, 2017] ont caractérisé entre autres la rupture des fibres dans des stratifiés carbone/époxy et en ont déduit une relation (Eq-III.55). |σr c| σr t = 0.8 ou 0.75 (III.55) où σr t (resp. σr

c) est la contrainte à rupture en traction (resp. en compression). Ainsi, une fois un des deux critères trouvé, l’autre s’en déduit automatiquement.

III.4.7 Modifications dans la formulation de l’élément UD

L’introduction d’un élément intralaminaire a pour conséquence de modifier le compor-tement de l’élément UD et plus précisément celui de l’élément plaque. En effet, tous deux représentent le comportement de la résine, mais à des échelles différentes. L’élément plaque est “trop grand” pour capter des phénomènes aussi fins que les fissurations matricielles, c’est pourquoi l’élément intralaminaire a été développé. Le Tableau III.2 récapitule les endommagements repris par chaque type d’élément dans chacune des directions.

Direction Barres Plaque _{intralaminaire}^Interface _délaminage^Interface

L Oui Oui Non Non

T Non Non Oui Non

Z Non Non Non Oui

Plan (LT) Non Non Oui Non

Plan (LZ) Non Oui Non Oui

Plan (TZ) Non Non Oui Oui

Tableau III.2 – Récapitulatif des endommagements repris par chacun des éléments du modèle Semi-Continu

III.4.7.1 Matrices de comportement de la plaque

Le découplage des comportements en membrane et en flexion induit des changements dans l’élément UD. En effet, dans les travaux de [Mahmoud et al., 2017], la matrice de comportement de l’élément plaque en membrane est différente de celle en flexion. Avec les changements effectués, cette différence n’a plus lieu d’être. Ainsi, le comportement en mem-brane reste identique, que les barres soient décalées ou non, mais la matrice de comportement de la plaque en flexion dépend des cas : si un seul duo de barres est utilisé dans l’épaisseur alors cette matrice est identique à celle de [Mahmoud et al., 2017], sinon, elle est égale à celle en membrane (Eq-III.56), puisque la plaque ne représente que le comportement de la résine. Finalement, le comportement en flexion du pli numérique n’est représenté que par le décalage des barres : le découplage des comportements barre/plaque (i.e. toron/résine) est donc total.

[Cf] = [Cm] (III.56)

III.4.7.2 Suppression de l’endommagement de la plaque dans la direction travers Pour éviter une redondance des endommagements, l’endommagement dans la direction travers de la plaque ainsi que l’endommagement en cisaillement dans le plan (TZ) ont été supprimés, puisqu’ils sont désormais repris par la nouvelle l’interface développée.

III.4.7.3 Réécriture de l’endommagement de la plaque dans le sens longitudinal L’endommagement dl dans la direction longitudinale du pli est conservé et il est calculé comme suit (Eq-III.57).

d_l=          %^√Y_l−^√Y₀& √ Y_c−^√Y₀ si Yl≥ Y0 0 sinon (III.57) Avec Yl = Ym ll + Yf

ll + Ylz la fonction thermodynamique dans la direction L constituée des fonctions thermodynamiques en membrane, en flexion et en cisaillement hors plan dans le plan (lz).

Fonction thermodynamique en membrane

L’endommagement en membrane dans la direction longitudinale de la plaque n’est pas affecté par les décalages de barres. En effet, le module utilisé dans le calcul est celui de la résine et les déformations utilisées sont uniquement celles de la plaque : les barres n’interviennent pas dans cette fonction thermodynamique Ym

Fonction thermodynamique en flexion

Cependant, en ce qui concerne l’endommagement en flexion de la plaque dans la direction L, notée Yf

ll celui-ci n’est plus le même si les barres sont décalées. En effet, dans la fonction thermodynamique utilisée dans le cas où les barres sont dans le même plan que la plaque, le module utilisé est le module homogénéisé de l’élément (puisque, pour rappel, le comportement en flexion est repris par l’ensemble (barres+plaque)). Mais une fois les barres hors du plan moyen, il n’est plus nécessaire de prendre en compte ces dernières dans le calcul de l’endommagement de la plaque. Ainsi, la nouvelle fonction utilisée dans le calcul de Yf

ll donnée par l’équationEq-III.58.

Y_ll^f = ^El^r 2(1 − ννm) !0 1^f_ll¹²+ νm|1^f_ll.1^f_tt| $ avec            E_l^r = Eh l − VfE_f ν^m = ^νEt^r Eh l . 1 + Vf . 1 −^El^r E_f / E_f Er l / (III.58) Avec Er

l la raideur de la résine dans le sens long, ν le coefficient de Poisson du pli réel, ν^m le coefficient de Poisson de la plaque en membrane. L’ensemble de ces paramètres sont présentés en détails dans le travail de thèse de [Mahmoud, 2017].

Cette fonction est en fait identique à Ym

ll utilisée en membrane. En effet, ceci est cohérent puisque la résine s’endommage de la même façon en membrane et en flexion, à ceci près que les déformations mises en jeu ne sont bien évidemment pas les mêmes.

III.4.7.4 Couplage entre les endommagements des barres et de la plaque

Une fois que la résine est endommagée, le pli perd sa raideur en flexion, ainsi seules les fibres permettent de reprendre les efforts dans le sens longitudinal. Pour bien représenter ce phénomène, il convient de dégrader la raideur en flexion du pli, qui est représentée par le décalage des barres. Ainsi, une fois l’élément plaque endommagé, les liens rigides qui entretenaient la raideur en flexion du pli, ne doivent plus renvoyer de moments aux nœuds réels de la part des éléments barres. L’idée est donc de renvoyer des moments nuls de la part des nœuds virtuels des éléments barres aux nœuds réels de la plaque. Finalement,(Eq-III.59): Si d_l = d_max , alors M_4j+k = 0 pour chaque noeud virtuel 4k + j connecté au noeud réel k

(III.59) De plus, si toutes les barres au sein d’un même élément UD sont rompues, alors l’élément plaque est détruit (Eq-III.60):

III.5 Conclusion

L

e travail qui a été présenté dans ce chapitre est consacré à la présentation, au développement et à l’implémentation d’un nouvel élément d’interface intralaminaire. Cet élément vient enrichir la stratégie Semi-Continue développée depuis une dizaine d’années dans l’équipe de recherche.

La stratégie, basée sur des observations expérimentales et le modèle proposé par

[Mahmoud, 2017], vient enrichir et élargir le champ d’application de la modélisation Semi-Continue. En effet, les précédents modèles ont été développés pour prédire le comportement à l’impact de stratifiés composites minces. Nonobstant les bons résultats obtenus pour ce type de stratifiés, les phénomènes physiques dans les stratifiés épais unidirectionnels ne sont pas captés. Plus particulièrement les fissurations matricielles résultant du cisaillement hors-plan de la résine inter-torons. Pour remédier à cela, un élément d’interface intralaminaire a été introduit entre les éléments UD déjà présents. Sa formulation est à la croisée entre un élément plaque, puisqu’il possède des degrés de liberté de translation et de rotation, et un élément cohésif, puisqu’il est piloté en sauts de déplacements et de rotations.

Ensuite, dans un premier temps, un lien entre l’interface intralaminaire et l’interface interlaminaire déjà présente, a été implémenté. Son rôle est représenter le plus correctement possible l’initiation des délaminages via la rupture des interfaces intralaminaires. Cette stratégie repose sur l’envoi d’un signal sur les nœuds en commun entre ce nouvel élément et l’interface de délaminage. Ce signal, une fois détecté, va induire l’initiation du délaminage. Dans un deuxième temps, une procédure de calcul permet de recalculer les variables liées à l’endommagement de l’interface interlaminaire une fois le délaminage initié.

Enfin, un certain nombre de modifications ont été apportées à l’élément UD. Tout d’abord, pour représenter correctement le comportement à l’impact de stratifiés épais et notamment la possibilité de ruptures graduelles de fibres au sein d’un même ensemble de plis orientés dans la même direction, un seul pli numérique modélise cet ensemble. Pour cela, les éléments barres sont décalés par rapport au plan moyen de l’élément plaque. Ce décalage nécessite un calcul précis de la position initiale de chacune des barres : c’est pourquoi une étude analytique a été proposée pour effectuer ce placement quelque soit la stratification utilisée. Ces changements induisent des modifications dans le comportement en flexion de l’élément plaque : la flexion du pli est maintenant entièrement reprise par le décalage des barres. Cela entraine une réécriture de la matrice de comportement en flexion de l’élément plaque. Pour finir, la fonction thermodynamique dans le sens longitudinal du pli, gérant l’évolution de l’endommagement de la plaque, a aussi dû être réécrite.

Dans le document Développement d'une stratégie d'endommagement intra/interlaminaire pour une approche semi-continue : application aux stratifiés unidirectionnels et hybrides (Page 137-142)