Modélisation des fissures intralaminaires

G_I Gc I /_α + . G_S Gc II /_α = 1 (I.16)

Le deuxième critère est le critère de Benzeggagh-Kenane [Benzeggagh et Kenane, 1996]

et présenté par l’équation Eq-I.17 :

G_Ic+ (GIIc− GIc)^"GII+ GIII G_T

#η

= GT c (I.17)

où η est un paramètre du critère et GT = GI + GII + GIII. Ce critère permet de mieux représenter le comportement des interfaces de délaminage pour une large gamme de matériaux composites.

I.3.5 Modélisation des fissures intralaminaires

Les délaminages sont donc très largement modélisés avec des stratégies très diverses. Mal-gré qu’elles prédisent de façon très satisfaisante la propagation, l’initiation est quant à elle un sujet encore à étudier. En effet, dans l’ensemble de ces modèles les critères d’initiation sont basés sur des considérations macroscopiques. Or, la communauté scientifique affirme que ces délaminages sont initiés par les fissurations matricielles au sein des plis : les fissurations in-tralaminaires. Dans la section qui suit, nous présenterons trois principales approches utilisées pour modéliser ce type de fissurations. Ces approches sont :

— L’approche bi-phasique de [Airoldi et al., 2020]

— L’approche par modélisation inverse de l’endommagement de [Ren et al., 2019]

— L’approche statistique de [Kahla et al., 2018]

Approche bi-phasique

Cette approche a été proposée en 2020 par [Airoldi et al., 2020] pour modéliser le délaminage mais aussi les fissurations transverses de la résine dans un stratifié composite unidirectionnel. Cette stratégie repose sur le découplage2 des propriétés des fibres et de la résine dans le stratifié. Cette décomposition est implémentée dans un modèle éléments finis avec deux types d’éléments : les éléments membranes, représentant le comportement des fibres, sont insérés dans des éléments 3D représentant la résine.

L’approche développée a été initiée par d’autres auteurs de la même équipe de recherche comme[Baldi et al., 2011]. Les travaux initiaux s’étaient concentrés sur le choix des éléments à utiliser. Concernant le choix de la modélisation des fissures transverses, il a été décidé que son état de contrainte serait le même que celui de la phase résine. Ainsi, les degrés de liberté de translation ainsi que de rotation sont intégralement transmis entre la résine et cet élément. L’endommagement de cet élément est géré par une variable d’endommagement dépendant de l’état de déformation de la résine et suivant une loi bilinéaire. De plus, cet élément ne

s’endommage qu’en Mode II. Il est intéressant de noter que la contrainte d’initiation doit être calibrée en fonction du nombre de plis du stratifié, comme illustré par l’équation Eq-I.18.

σ₀ =

&

8G

πTΛ₂₂ξ (I.18)

où G est le taux de restitution d’énergie, T l’épaisseur totale des plis dans la même orientation, ξ un paramètre identifié par[Meer et Davila, 2013] et Λ₂₂ une variable reliée aux propriétés du matériau défini par l’équation Eq-I.19.

Λ₂₂ = 2 . 1 E₂₂ − ^ν 2 12 E₁₁ / (I.19) où E₁₁ (resp. E₂₂) est le module d’Young de la résine dans le sens long (resp. sens travers) et ν12 le coefficient de Poisson dans le plan (12). Ces relations permettent au modèle de simuler numériquement la densité de fissure au cours du temps.

Pour valider la stratégie, les auteurs ont eu recours à des “petits” modèles illustrés sur la

Figure I.47.

Figure I.47 – Modèles éléments finis d’une coupe transversale d’un pli d’unidirectionnel[Airoldi

et al., 2020]

Ce modèle a été confronté à un essai de traction sur un carbone/époxy [0/90₃/0]. La

Figure I.48 montre le lien entre endommagement matriciel et délaminage.

Figure I.48 – Modélisation de l’interaction entre une fissure transverse et un délaminage : (A) contour de déformation à l’initiation de la fissure, (B) contour de déformation après destruction totale de l’élément[Airoldi et al., 2020]

empêchent la propagation de la fissure. Une fois la fissure matricielle initiée, le chemin d’effort dans les plis à 90° s’en trouve modifié, puisqu’il arrête sa propagation dans l’épaisseur pour poursuivre sa route suivant deux mécanismes :

— Une partie des contraintes internes est transférée à la phase “matrice”(Figure I.48-A-a)

— Une autre partie est transférée à l’interface entre les plis de directions différentes. Ces contraintes vont initier un délaminage (Figure I.48-A-b)

Ce phénomène va se reproduire tout au long de la direction de sollicitation et créer donc un certain nombre de fissures. Cette densité de fissures est aussi bien captée par le modèle avec une légère dépendance au maillage, comme l’illustre la Figure I.49.

Figure I.49 – Comparaison expérimental-numérique de l’évolution de la densité de fissures dans un stratifié carbone/époxy pour différentes tailles de maille [Airoldi et al., 2020]

Ce modèle représente de façon très fidèle le comportement du stratifié vu en essais. De plus, l’évolution des fissures transverses est décrite avec précision et interagit avec les dé-laminages. Cette approche a l’avantage de simuler indépendamment le délaminage et les fissurations matricielles avec un seul modèle sans introduire de nouveaux éléments d’inter-faces et sans raffiner le maillage dans l’épaisseur ; elle ouvre aussi des possibilités dans la compréhension des phénomènes d’interaction fissurations matricielles/délaminage en ayant recours à des modèles à l’échelle mésoscopique.

Approche par modélisation inverse de l’endommagement

Ce type d’approche fait partie d’un ensemble de développements effectués par[Ren et al., 2019]. Sa particularité est qu’il tient compte de l’endommagement des fibres et de la résine en traction mais aussi en compression. Ce choix a été fait en se basant sur les mécanismes vus en essais. En effet, durant la remontée de l’impacteur lors d’un impact, certaines fissures se referment et créent donc des zones de transition entre les endommagements intralaminaires en traction et les endommagements en compression. Pour représenter ce phénomène, trois modèles d’endommagement sont présentés ci-dessous par les équations Eq-I.20, Eq-I.21 et Eq-I.22 :

— Coupled Tension-Compression (CTC) : d_i = dt i+ dc i − d^ti.d^c_i (I.20) — Semi-Stiffness Recovery (SSR) : d_i= max . d^t_i%σij& |σij|^{, d} c i / (I.21) — Full-Stiffness Recovery (FSR) : d_i = dt i %σij& |σij| + dc i %−σij& |σij| (I.22)

où i = (1, 2) représente les deux directions du pli. Les contraintes sont définies suivant l’opérateur de McCauley où %x& = ^{(x + |x|)}₂ .

Les trois modèles ont été confrontés aux essais d’impact pour notamment comparer les seuils de délaminage, l’énergie dissipée durant l’impact mais aussi la forme des délaminages générés. La Figure I.50représente la réponse à un impact 5 J d’une plaque graphite/époxy.

Figure I.50 – Réponse à un impact 5 J d’un stratifié graphite/époxy : (a) Courbe effort-temps, (b) Courbe déflexion-temps au centre de la plaque impactée[Ren et al., 2019]

Les trois modèles ont été testés et l’auteur conclut que le modèle le plus correct est le SSR au vu de ces courbes. La déflexion est bien captée par le modèle grâce notamment à la dégradation des raideurs des interfaces intralaminaires lors de la remontée de l’impacteur où les contraintes dans ces zones peuvent être négatives. Cependant, les méthodes CTC et SSR surestiment les zones délaminées contrairement à la méthode FSR. En effet, avec SSR lorsque le dommage initié par la traction se referme lors de la remontée de l’impacteur, cette dernière s’en trouve donc dégradée (Figure I.51-a). Dans le cas de la méthode FSR, l’état

d’endommagement demeure inchangé lorsqu’il y a une inversion dans le chargement (Figure I.51-b).

Figure I.51 – Lois d’endommagement intralaminaire : (a) Loi Semi-Stiffness Recovery [SSR], (b) Loi Full-Stiffness Recovery [FSR] [Ren et al., 2019]

Ce modèle présente donc l’avantage de modéliser les endommagements intralaminaires pour mieux capter la réponse d’un impact basse vitesse sur une structure unidirectionnelle. Approche statistique

Cette dernière approche a été développée par [Kahla et al., 2018] dans le cadre de recherches pour prédire le comportement des fissurations intralaminaires dans un UD soumis à un chargement cyclique. Le fait que ce modèle soit basé sur une approche statistique est que la résistance dans la direction transverse du pli n’est pas uniforme à cause des inhomogénéités dans la distribution des fibres dans le pli.

L’initiation de ces fissures n’est plus considérée comme une donnée intrinsèque mais une variable statistique. L’endommagement étant généralement caractérisé par une densité de fissure noté ρk dans le kième pli, l’auteur se base sur cette définition pour choisir la taille de maille de ses éléments. Une fois choisie, il est nécessaire de choisir la distribution des contraintes. Pour cela, une loi de Weibull (Eq-I.23)est utilisée pour définir la probabilité Pi qu’a un élément de volume V ayant une contrainte σi d’initier une fissure.

Pi = 1 − e⁻V^V0 0_σt 0 σi 1m (I.23) où σt

0 est la contrainte d’initiation identifiée sur un essai de traction à 90°, m et σ_i respectivement des paramètres de forme et d’échelle de la loi, identifiés sur des essais de référence sur un élément de volume V0. L’identification des paramètres de la loi est effectuée en linéarisant la relation de Weibull.

Cette méthode, initialement développée pour des cas de charge statique, a été étendue à des chargements de fatigue après quelques hypothèses, notamment en supposant que l’ini-tiation des fissures se produit au même endroit en statique et en fatigue. La Figure I.52

représente l’évolution de la densité de fissures en fonction du nombre de cycles pour le jeu de paramètres identifié par l’auteur.

Figure I.52 – Comparaison expérimental-numérique de la densité de fissures en fonction du nombre de cycles dans un stratifié UD[Kahla et al., 2018]

Ce graphe montre que le modèle capte assez bien l’évolution de la densité de fissures mais il reste limité à des niveaux de charges assez bas et des densités de fissures assez faibles. En effet, une fois initiées, les fissures vont interagir entre elles ; dès lors, ce n’est plus du ressort du modèle, puisqu’il ne permet de capter que l’initiation des endommagements matriciels.