Modélisation du délaminage

δ_h.(kq h− 1) 2.δ.(kq− 1) (₋q 2 (I.11) L’auteur suppose que le ratio des déformations moyennes n’est pas utile dans la quanti-fication de l’effet hybride. De plus, les facteurs de concentration de contraintes ainsi que les longueurs inefficaces sont calculées avec une meilleure précision au regard des valeurs expé-rimentales.

[Chou et Fukuda, 1983] a repris les études de [Hedgepeth et Jhon, 1961] et a calculé l’état des concentrations de contraintes dans une zone autour d’un paquet de fibres rompu. Il en conclut que les hybrides (fibres avec haute module et faible module)1 présentent des fac-teurs de concentrations de contraintes plus faibles que les composites constitués uniquement de fibres à haut module d’élasticité. Cela permet de rallonger la déformation à rupture des fibres à haut module et produit donc un effet hybride positif.

Jusque là c’est l’effet hybride qui a été présenté, mais il est aussi intéressant de s’attarder sur les endommagements générés par ces hybrides mais surtout leur modélisation. En utilisant la méthode de Monte Carlo,[Fukuda et Chou, 1982]ont montré que l’initiation de la rupture des fibres a lieu à la même déformation pour les hybrides et non-hybrides, cependant les hybrides rompent de façon graduelle contrairement aux non-hybrides où la rupture est plus brutale. Cette observation a aussi été faite par [Zeng, 1994], qui en plus affirme que la perturbation du chemin d’effort autour d’une zone où les fibres ont rompu est plus localisée dans les hybrides. Ceci est dû au fait que les fibres à grande déformation empêchent la propagation du dommage.

I.3.4 Modélisation du délaminage

La revue précédente s’est centrée sur les méthodes de modélisation d’une structure com-posite et plus particulièrement des plis. Cependant, pour “relier” ces plis, il est nécessaire d’utiliser des éléments spécifiques pouvant les lier. C’est pourquoi plusieurs méthodes existent et elles sont majoritairement fondées sur deux concepts. Il y a ceux qui utilisent la mécanique linéaire de la rupture avec la Virtual Crack Closure Technique (VCCT) et il y a les Cohesive Zone Model (CZM) qui reposent à la fois sur la mécanique linéaire de la rupture et sur la mécanique continue de l’endommagement. Une large revue a été effectuée par[Abrate, 2015]

sur ces derniers.

1. Pour les auteurs, les fibres à haut module (resp. faible module) correspondent à des fibres à faible déformation (resp. grande déformation)

I.3.4.1 Les éléments cohésifs

Les éléments cohésifs sont positionnés entre deux éléments séparables et on en distingue deux types : les éléments dits continus qui peuvent lier les côtés des éléments adjacents ou leurs faces s’il s’agit d’éléments volumiques, puis les éléments dits discrets où là ce sont les nœuds des éléments qui sont liés entre eux représentant généralement des ressorts non-linéaires.

On considère une interface entre deux plis maillés avec des éléments volumiques. L’objectif est de présenter la construction de cet élément cohésif. Classiquement, ces éléments sont représentés comme sur la Figure I.46. L’élément est défini par sa normale x₃ et son plan (x_{1 − x2}). Ainsi, cet élément travaille en traction/compression (Mode I) via la contrainte σ₃₃ et en cisaillement hors-plan via τ₁₃ et τ₂₃ (Mode II). Cette interface est pilotée en sauts de déplacements donnés par δ = [δ1, δ₂, δ₃]T c’est-à-dire le déplacement relatif entre la face supérieure et la face inférieure.

Figure I.46 – Schéma d’un élément cohésif dans un maillage volumique

La particularité de ce type d’élément est que son épaisseur est nulle, caractéristique im-possible pour des éléments volumiques standards, car cela engendrerait des problèmes nu-mériques importants, comme une diminution drastique du pas de temps critique en calcul explicite ou encore un ratio entre les longueurs trop important. C’est pourquoi leur formu-lation diffère des éléments “classiques”. En effet, la notion de saut de déplacement couplée à une intégration surfacique permet d’éviter ce genre de désagrément. L’équation Eq-I.12 exprime le saut de déplacement d’un point m situé sur la surface médiane de l’interface en fonction des fonctions de formes Nk(m) de la surface médiane ainsi que de la différence de déplacement entre le nœud inférieur k et son correspondant k + 4 sur la face supérieure.

δ(m) = ^%4 k=1

N_k(m)δk (I.12)

I.3.4.2 Les critères de rupture

Après avoir défini l’élément cohésif, il faut s’attarder sur les lois qui régissent son com-portement, particulièrement l’initiation et la propagation de son endommagement. Une revue succincte sera présentée par la suite concernant tout d’abord les critères d’initiation puis sur les critères de propagation.

L’initiation du délaminage dépend de l’état de contraintes (σ₃₃, τ₁₃, τ₂₃) dans l’élément co-hésif.[Christensen et Teresa, 2004]utilise un critère en contrainte maximale pour la contrainte normale et un critère quadratique en contraintes pour le cisaillement (Eq-I.13):

           σ₃₃ Z_T ≥ 1 "_τ 13 S₁₃ #₂ +^"τ23 S₂₃ #₂ ≥ 1 (I.13) où ZT est la contrainte à rupture en traction, S₁₃ et S₂₃ les contraintes maximales en cisaillement. Cependant, ce modèle dissocie les deux types de contraintes, c’est pourquoi il n’est pas très répandu dans la littérature contrairement au critère proposé par [Brewer et Lagace, 1988], qui en plus de combiner les contraintes normales et de cisaillement, intègre la compression de l’interface sur son axe normal (Eq-I.14).

"_σ 33 Z #₂ +^"τ13 S₁₃ #₂ +^"τ23 S₂₃ #₂ ≥ 1 (I.14) Avec -Z = ZT si σ₃₃ >0 Z = ZC si σ₃₃ <0

où ZT et ZC sont respectivement les contraintes à rupture en traction et en compression. D’autres auteurs proposent d’intégrer le comportement en traction ou en compression dans un seul critère et de lier les contraintes de cisaillement avec une seule limite à rupture[Hou, 2001]. Enfin, [Fenske et Vizzini, 2001] ou encore [Chen et al., 2004] incluent l’effet des contraintes calculées directement dans le plan du pli. Cependant, ces stratégies nécessitent la “discussion” entre les éléments pour accéder aux états de contraintes adjacents ; cela n’est pas possible dans tous les codes de calcul commerciaux.

Critères de propagation

Une fois initiées, les interfaces de délaminage ont besoin de savoir comment propager l’endommagement au cours du temps. Les critères de propagation sont basés sur la méca-nique de la rupture et permettent de propager des fissures en mode mixte. Les équations utilisées sont écrites en fonction des taux de restitution d’énergie en mode I (GI), en mode II (Gll) et en mode III (GllI). Il existe plusieurs critères dans la littérature résumés par

[Reeder, 1992], mais nous ne présenterons que les deux critères les plus communément utilisés. Le premier est la loi puissance. Initialement développée par[Wu, 1965], elle a été largement utilisée sous sa forme la plus générale présentée par l’équation Eq-I.15.

. G_I Gc I /_αI + . G_II Gc II /_αII + . G_III Gc III /_αIII = 1 (I.15)

où Gic est le taux de restitution d’énergie critique pour le mode i = (I, II, III) et αi une constante expérimentale associée à chacun des modes de ruine. Ce critère est généralement utilisé sous sa forme linéaire, i.e. lorsque αI = αII = αIII.[Camanho et al., 2003]l’a simplifié en considérant GS = GII+ GIII et devient :

. G_I Gc