Mod´ elisation des Ph´ enom` enes Electromagn´ etiques

L’´electromagn´etisme est l’´etude des champs ´electromagn´etiques, leurs variations temporelles et spatiales, et leur interaction sur les particules charg´ees ´ electrique-ment. Dans le Chapitre 1, on a montr´e l’action du champ ´electromagn´etique avec la dynamique des particules charg´ees. Dans la formulation du probl`eme d’optimi-sation visant `a dimensionner le circuit magn´etique, il est n´ecessaire de r´epertorier les ´equations relatives `a la physique du dispositif. En notant ρ_´el¹⁵ et J, la densit´e de charge ´electrique et la densit´e de courant respectivement, la forme locale des

´

equations de Maxwell dans un milieu donn´e est :

• L’´equation de Maxwell-Faraday :

rot(E) + ∂B

∂t = 0. (2.34)

• L’´equation de Maxwell-Amp`ere :

rot(H)−∂D

∂t =J. (2.35)

• L’´equation de Maxwell-Gauss (magn´etique) :

div(B) = 0. (2.36)

• L’´equation de Maxwell-Gauss (´electrique) :

div(D) =ρ_´el. (2.37)

15. ρ_´el est la densit´e de charge ´electrique, `a ne pas confondre avec ρ dont utilisera par suite pour la densit´e de mat´eriaux.

2.5. Description et Mise en Place de Mod`eles de Simulations 47 Avec :

• H : le vecteur induction magn´etique,

• D : le vecteur d´eplacement ´electrique.

Pour permettre une mod´elisation compl`ete des ph´enom`enes, on introduit les lois constitutives qui caract´erisent le comportement des milieux qui conduisent ces ondes ´electromagn´etiques, ainsi que la loi d’Ohm qui lie le courantJ au champE:

⎧⎪

⎨

⎪⎩

D =εE, B =μH,

E= 1 σJ.

(2.38)

∗ ε=ε₀ε_r est la permittivit´e di´electrique absolue ; avec ε_r etε₀ (sa valeur est estim´ee `a 1/(36π×10⁹)F/m) la permittivit´e relative du milieu et la permit-tivit´e du vide respectivement.

∗ μ=μ₀μ_r est la perm´eabilit´e magn´etique absolue ; avec μ₀(= 4π×10⁻⁷H/m) etμ_r la perm´eabilit´e relative du milieu/mat´eriau et la perm´eabilit´e du vide respectivement.

∗ σ est la conductivit´e ´electrique du mat´eriau.

Les ´equations (2.34) - (2.38) peuvent ˆetre non-lin´eaires ou anisotropes. Dans ce cas, les param`etre caract´eristiquesε,μetσ sont des quantit´es tensorielles [66,67].

Dans ces travaux, on se placera principalement dans le cas des milieux lin´eaires et isotropes pour les simulations num´eriques. Il est possible de mod´eliser le probl`eme de conception des PEHs en utilisant les mat´eriaux ferromagn´etiques non satur´es car en pratique le champ magn´etique requis par ces moteurs plasmique est de quelques centaines de Gauss.

On travaillera aussi en r´egime permanent¹⁶ qui sont des r´egimes o`u les va-riations temporelles des termes sources du champ sont nulles. En effet, dans ces r´egimes aussi dits statiques, on obtient un d´ecouplage des ph´enom`enes ´electriques caract´eris´es par les champs E et D ayant pour source la densit´e de charge ρ_´el, et pour source magn´etique des champs B et H la densit´e de courant J, tout ceci est donn´e par les ´equations de Maxwell [67, 68]. Ainsi, on pourra faire uniquement de mani`ere s´epar´ee une approche ´electrostatique ou une approche magn´etostatique du probl`eme ´etudi´e. En ce qui concerne le d´eveloppement architectural des propulseurs de Hall, le ph´enom`ene pr´epond´erant est le magn´etisme.

2.5.2.1 Cas de la Magn´etostatique

En magn´etostatique, les termes comportant une d´erivation par rapport au temps sont n´eglig´es. Les ´equations ´etudi´ees dans ce cas sont les suivantes :

rot(H) = J, div(B) = 0, etB=μH. (2.39)

16. Cela est une des caract´eristiques principales des moteurs plasmiques ´etudi´es dans mes tra-vaux, c’est ainsi qu’ils sont aussi appel´es PPS (Propulseur `a Plasma Stationnaire).

Pour mener `a bien le calcul des grandeurs magn´etiques, on introduit le poten-tiel vecteur A. L’existence d’un tel potentiel est justifi´e par l’´equation de Max-well (2.36) et par la topologie du domaine consid´er´e. Par ailleurs, si le domaine est connexe, et que le champ magn´etique est nul<sup>17</sup>au niveau des fronti`eres avec la rela-tion (2.36), on d´emontre l’existence d’un potentiel vecteur Av´erifiant rot(A)=B, voir [69]. En ce qui concerne son unicit´e, physiquement on peut ajouter une condi-tion de jauge telle que la jauge de Coulomb (div(A) = 0), ou on peut aussi ajouter une condition aux limites surA. Sans perte de g´en´eralit´e, on ajoutera une condition aux limites de type Dirichlet homog`ene sur le potentiel vecteur, voir la Figure2.10.

Ce choix se justifie en pratique, par le d´esir d’imposer des champs nuls `a l’infini.

2.5.2.2 Utilisation des Aimants Permanents

Dans notre mod`ele, nous pouvons ˆetre amen´es `a introduire les aimants per-manents pour 2 raisons. D’une part l’utilisation des aimants perper-manents peut contribuer `a r´eduire significativement le volume et la masse du circuit magn´etique.

D’autre part, l’analyse de la sensibilit´e de notre mod`ele d’optimisation se fera par l’utilisation de la M´ethode dite de la Variable Adjointe (MVA), et cela n´ecessitera l’introduction d’un nouveau syst`eme (dit ´etat adjoint) dont la source d’´energie pro-vient d’un pseudo-aimant. Ce qui donne un sens fondamental (au moins th´eorique)

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a la prise en compte d’aimants permanents dans notre mod`ele d’´etude. Par ailleurs, en ce qui concerne l’application physique pour les PEHs, des travaux r´ecents sur le design des propulseurs sugg`erent d´ej`a de remplacer en partie ou enti`erement les

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electroaimants par des aimants permanents [70, 71, 72].

L’aimant permanent est caract´eris´e par une aimantation not´e M et d´efini par le moment magn´etique par unit´e de volume du mat´eriau. Cette aimantation M est li´ee au champ magn´etique H par la susceptibilit´e magn´etique¹⁸ χ `a travers la relation M = χH. Finalement, avec les conventions de Sommerfeld¹⁹ et de Kennelly [66,73, 74], on obtient la relation constitutive qui lie les champs B,H et M comme suit :

B =μ(H+M) (2.40)

Dans un milieu aimant´e, ces quantit´es vectorielles magn´etiques sont orient´ees diff´ e-remment. Une illustration graphique de leur orientation en un pointPd’un milieu magn´etis´e par un aimant est donn´e sur la Figure2.8 (voir [74]).

En tirant l’intensit´e du champ magn´etique H dans l’´equation (2.40) et en le rempla¸cant dans l’´equation de Maxwell-Amp`ere (cas statique), on obtient :

rot(νB−M) =J, (2.41)

17. Dans notre cas, cette condition est v´erifi´ee car on impose une topographie de champ magn´ e-tique nulle dans les voisinages lointains du v´ehicule spatial (sinon il y a fort risque de probl`emes de compatibilit´e magn´etique avec d’autres composantes ´electromagn´etique de la navette spatiale ou de probl`emes d’interf´erence avec d’autres objects fortement magn´etis´es dans l’espace tels que les d´ebris d’autres engins spatiaux).

18. C’est l’´equivalent de la perm´eabilit´e magn´etique. En effet, on a : B=μHet M=χH.

19. Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld (5 D´ecembre 1868 - 26 Avril 1951) : physicien th´ eo-ricien Allemand.

2.5. Description et Mise en Place de Mod`eles de Simulations 49

Figure 2.8 – R´epresentation des vecteurs champs du champB,H etM pour un milieu magn´etis´e uniform´ement par un aimant permanent.

o`u : ν = ¹_μ est la r´eluctivit´e magn´etique.

Compte tenu de la lin´earit´e des op´erateurs diff´erentiels, en d´eveloppant l’ex-pression `a gauche de la relation (2.41), on exprime rot(M), que l’on posera ´egal `a J_M. Cette quantit´e J_M est un courant de magn´etisation Amp´erien caract´eristique du milieu magn´etis´e [74], aussi appel´e courant de polarisation magn´etique. J_M d´esigne le courant contributif de l’aimant, source naturelle du champ magn´etique.

2.5.2.3 R´eduction `a la Dimension 2 des Champs Magn´etostatiques La cons´equence naturelle du passage des g´eom´etries complexes aux g´eom´etries classiques (ayant des sym´etries et des directions d’invariance) est la r´eduction des variations majeures dans certaines composantes des champs magn´etiques, rendant relativement simple leur d´etermination. Ainsi, ce paragraphe compl`ete celui de la sous-section2.5.1, pour la consid´eration 2D des champs dans un rep`ere associ´e `a la section plane consid´er´ee. On choisira un rep`ere cart´esien²⁰(x, y), voir les figures2.6 et 2.7.

Dans la r´ealit´e physique, la consid´eration 2D des ´equations de Maxwell correspond

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a la situation o`u le champ ´electromagn´etique est invariant par translation dans la direction z. On peut aussi penser `a des champs cr´e´es par des particules charg´ees qui se d´eplacent seulement dans des plans parall`eles (x, y). En ce qui concerne la configuration magn´etique des PEHs, on aura le vecteur champ B= (B<sub>x</sub>,B<sub>y</sub>) principalement radial donc tr`es important dans la direction (x), le vecteur champ

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electriqueE= (E_x,E_y) essentiellement axial ; c’est-`a-dire important dans la direc-tion (y) notamment dans l’entre-fer. Dans ce cas, on a les ´equivalences suivantes :

∗ pour la densit´e de courant :

J = (0,0, J(x, y))≡J(x, y). (2.42)

20. Dans la litt´erature d’autre choix de r´ef´erentiel sont faits tels que (θ, r), (r, z), (r, x).

∗ pour le potentiel vecteur :

∗ L’´equation magn´etostatique de Maxwell-Amp`ere (2.41) devient alors :

−∇ ×[νB(A)−M] +J = 0 (2.45)

Dans l’´equation (2.45), on a :

1. associ´e la direction du champ magn´etique B `a l’op´erateur rot(.). En effet, on travaillera dans les cas o`u l’existence du potentiel vecteur est toujours v´erifi´ee.

2. not´e l’op´erateur rot(.) par ∇ ×(.) pour simplifier la distinction entre le cas o`u l’argument de l’op´erateur rotationnel est une fonction vectorielle du cas o`u celui-ci est une fonction scalaire.

Ainsi, on vient de donner les hypoth`eses et d´efinir les bases sur lesquelles, on formulera le probl`eme de conception comme la r´esolution d’un probl`eme inverse par de l’optimisation topologique.