nous avons opt´e pour une approche B&B utilisant l’Arithm´etique des Intervalles.
Dans le paragraphe suivant, nous allons bri`evement donner quelques aspects th´eoriques fondamentaux sur les op´erations alg´ebriques de l’analyse par intervalles avant de les appliquer aux calculs des bornes sur les champs magn´etiques et de les impl´ementer dans l’optimisation topologique des PEHs avec le code IBBA.
4.3 Algorithme B&B par Intervalles
4.3.1 Arithm´ etique d’Intervalles
Les th´eories fondamentales de l’arithm´etique par intervalles modernes furent connues grˆace aux travaux de Ramon E. Moore (1966) [177, 178] qui a d´evelopp´e cet outil pour analyser et rendre robuste le codage num´erique des nombres r´eels repr´esent´es sur ordinateur par des nombres `a virgules flottantes. Cet outil permet d’´eliminer les erreurs de calculs num´eriques [179] mais cela n´ecessite un temps de calcul plus long et peut g´en´erer des encadrements de l’erreur peu pr´ecis. Le principe consiste `a encadrer un nombre issu d’un calcul num´erique xm par deux nombres flottants les plus proches possible xg etxd (tel que : xg ≤xd) ainsi xm ∈[xg, xd].
L’utilisation des techniques d’arithm´etique d’intervalles en optimisation globale a ´et´e rendu populaire grˆace aux travaux de Ichida et Fujii [180], Hansen [181,182], Ratschek, Rokne et Voller [184, 185, 186], Kearfott [187, 188].
Les op´erations alg´ebriques sur les intervalles s’inspirent de celles des r´eels.
Soit I = {[A,A] : A,A ∈ R}, l’ensemble des intervalles r´eels ferm´es et born´es.
Soient I,J∈I, et∈ {+,−, ., /}, alors on a :
IJ ={ab|a∈I;b ∈J}. (4.1)
L’image d’une op´eration alg´ebrique quelconque sur les intervalles contient toutes les valeurs possibles obtenues `a travers le croisement de tous les couples apparte-nant aux intervalles correspondants. Ainsi, de la continuit´e des intervalles r´eels, de celle des op´erateurs arithm´etiques et du fait que R soit totalement ordonn´e, alors le r´esultat obtenu est aussi un intervalle r´eel plus pr´ecis´ement un ´el´ement de I. Pour l’op´eration de division («= /»), `a l’image de la division dans R, z´ero ne doit pas appartenir au d´enominateur. Pour I,J ∈I, Moore d´efinit l’arithm´etique
d’intervalles dans [178] de la mani`ere suivante :
En particulier, on a la d´efinition suivante pour le carr´e de l’intervalle I :
I2 =
Les d´efinitions ci-dessus2 (4.2) montrent que dans la th´eorie des intervalles, la soustraction et la division ne sont pas les op´erations inverses de l’addition et de la multiplication. Comme nous pouvons le remarquer l’arithm´etique d’intervalles ne conserve pas toutes les propri´et´es de l’arithm´etique standard. En effet, la structure (I,+, .) est uniquement sous-distributive, c’est `a dire pour I,J,K∈I, on a :
I.(J+K)⊂I.J+I.K (4.4)
L’inclusion dans la relation (4.4) peut-ˆetre stricte, par exemple pour I = [−2,−1], J = [−1,1],K= [1,2], on a :
I.(J+K) = [−6,0]I.J+I.K= [−6,1].
De mani`ere g´en´erale, les structures alg´ebriques (I,+,0) et (I, .,1) sont des mo-no¨ıdes commutatifs [189] ; o`u pour tout x ∈ R, en arithm´etique d’intervalles, x devient [x, x] (par abus de notation on gardera x au sens des intervalles, ce type d’intervalle est connu sous le nom d’intervalle d´eg´en´er´e par Moore [179]). En re-vanche les op´erateurs ensemblistes (∪,⊂,∩,\, . . .) restent identiques au standard sur les parties de R. Ces op´erations ensemblistes et de calculs alg´ebriques se g´ e-n´eralisent sur les hypercubes, nomm´es aussi pav´es de Rn (avec n≥ 1). On notera
2. Dans les d´efinitions donn´ees dans les ´egalit´es (4.2), la division par un intervalle contenant 0 n’est pas d´efinie. Cependant, pour ´eliminer cette restriction, E. Hansen propose une arithm´etique d’intervalles ´etendue g´erant les bornes infinies, pour plus de d´etails voir [49,169,178,179].
4.3. Algorithme B&B par Intervalles 105 par In l’ensemble des intervalles ferm´es et born´es de Rn (de mˆeme une extension de la th´eorie des intervalles sur les matrices existe dans la litt´erature [190, 191]).
En particulier, les calculs par intervalles s’effectuent aussi `a travers l’extension naturelle des fonctions (forme g´en´erale des fonctions d’inclusion) sur les fonctions analytiques standards telles que : cosinus,sinus, logarithme, . . . .
Exemples:
• sin([0, π/2]) = [sin(0),sin(π/2)] = [0,1].
• exp([0,1]) = [exp(0); exp(1)] = [1, e].
• arccos([−1,1]) = [arccos(1),arccos(−1)] = [0, π].
4.3.2 Fonction d’Inclusion
L’une des phases importante et centrale d’un algorithme de type B&B est le calcul des bornes, que l’on effectue ici en utilisant l’arithm´etique d’intervalles. Dans les calculs de ces bornes, on est amen´e `a ´evaluer des expressions fonctionnelles, pouvant avoir des comportements structurels divers (polynomiales, exponentielles, logarithmiques, trigonom´etriques,. . . ). Pour mener `a bien ces calculs, on se base sur la d´efinition suivante :
D´efinition 4.1 Soient, I ∈ In, f : I −→ R, une fonction continue. La fonction d’inclusion aux intervalles de f est l’application not´ee F :In ⇒I, tel que :
f(I) :=
La fonction d’inclusion F def v´erifie les propri´et´es suivantes :
1. La fonction d’inclusion F(I) co¨ıncide avec la fonction f(I) si I est un intervalle d´eg´en´er´e, c’est `a dire :
f(x) = F(x),∀x∈R( ou Rn). (4.6) 2. La fonction d’inclusion est croissante sur l’ensemble des parties de l’en-semble de base par rapport `a l’ordre ensembliste «inclusion : ⊂», c’est-` a-dire :
∀I,J ∈In, I⊂J=⇒ F(I)⊂ F(J). (4.7) 3. Cas des fonctions monotones sur R : soit f ∈ C(R), si f est strictement monotone alors F(I) =f(I) pour tout intervalle I. Plus pr´ecis´ement, on a
f(I) =
⎧⎨
⎩
f(I), f(I)"
, si f est d´ecroissante, f(I), f(I)"
, si f est croissante.
(4.8)
Cette propri´et´e sera utile pour notre ´etude de conception des circuits magn´ e-tiques dans les d´emonstrations car on aura une monotonie (plus pr´ecis´ement
une croissance) induite par l’augmentation du module du champ magn´ e-tique dans le canal plasma (entrefer magn´etique) du dispositif en fonction de l’augmentation du volume de mat´eriaux ferromagn´etiques dans le do-maine de conception (en consid´erant le domaine `a traiter de la Figure 4.3).
Remarque 4.1 (Difficult´es de l’analyse des intervalles) En g´en´eral dans le cadre de la d´etermination des bornes pour faire l’optimisation globale utilisant l’arithm´etique des intervalles, on est int´eress´e par des intervalles les plus petits possibles, (si possible avoir une ´egalit´e dans la d´efinition (4.1)). C’est l`a que r´eside la principale difficult´e dans le maniement des intervalles avec la non unicit´e de l’extension naturelle. En effet, pour une mˆeme expression fonctionnelle donn´ee, le r´esultat des calculs alg´ebriques d´ependent de l’ordre dans lequel le d´eveloppement a ´et´e effectu´e. Cela conduit surtout `a la surestimation des minorants et majorants obtenus trop distants des bornes r´eelles. L’une des principales causes est notam-ment la non distributivit´e de la multiplication par rapport `a l’addition (et aussi par rapport `a la soustraction, voir l’´equation (4.4)).
• Exemple : Pour la fonction quadratique q(x) = ax2+bx+c, le meilleur encadrement est obtenu avec l’expression suivante :
q(x) =a
% x+ b
2a 2
−b2−4ac 4a2
&
. (4.9)
• En effet : pour a=b =c= 1, avec les deux expressions qd (forme d´ evelop-p´ee) etqc(forme canonique (4.9)) :
qd(x) =x2+x+ 1, qc(x) = (x+12)2 +34,
qd([−1,1]) = [−1,1]2+ [−1,1] + [1,1], qc([−1,1]) = ([−1,1] + [12,12])2+ [34,34], qd([−1,1]) = [−1,3]. qc([0,1]) = [0,3].
Il est clair que le plus petit intervalle est celui obtenu avec la forme cano-nique (4.9) ci-dessus. Ainsi, on voit `a quel point le maniement des intervalles est complexe. Ces propri´et´es seront utilis´ees pour les demonstrations que l’on effec-tuera dans ce manuscrit et plus pr´ecis´ement pour le calcul des bornes inf´erieures par intervalles car la fonction objectif de notre probl`eme d’optimisation topolo-gique est quadratique en B (champ magn´etique g´en´er´e par le circuit `a conce-voir). Cependant dans la litt´erature, on trouvera d’autres propri´et´es fort int´ eres-santes [176,177,178,189,190,191].