M´ ethode SIMP

La m´ethode SIMP a ´et´e introduite en optimisation topologique par Bendsøe sous les noms «direct approach» (approche directe), «fictitious material model» (mod`ele de mat´eriau fictif), «artificial material approach» (l’approche de mat´ e-riaux) [51,134,52]. Cette approche ditedirecteest une variante de la m´ethode d’ho-mog´en´eisation. Mais contrairement `a la m´ethode d’homog´en´eisation o`u beaucoup d’efforts sont effectu´es pour ´etablir l’existence et l’´elaboration de mat´eriaux com-posites induits par la moyennisation des propri´et´es microscopiques des mat´eriaux utilis´es pour le design, cette nouvelle approche se focalise plutˆot sur comment pr´ e-venir l’apparition des densit´es interm´ediairesdans la densit´e optimaleρ^opt(trouv´ee par le processus d’optimisation¹⁰). Bendsøe proposa une formulation polynomiale pour le sch´ema d’interpolation de mat´eriaux (SIM)g dans l’´equation (3.18) comme suit :

p(x) =f_n^c(ρ(x)) =p_min+ (p_max−p_min)[ρ(x)]ⁿ,∀x∈Ω. (3.22) La relation (3.22) est connue dans la litt´erature sous l’appellation de power-law que j’appellerai formulation polynomiale classique dans tout ce qui suit sauf indication contraire (car nous proposerons de nouvelles formulations g´en´eralis´ees).

En utilisant la formulation (3.22), l’id´ee est de rendre non attractives les densit´es interm´ediaires en les p´enalisant grˆace `a des valeurs relativement ´elev´ees de l’ex-posant n dans la formule (3.22). En effet, comme la fonction ρ est `a valeur dans

10. Surtout pour les approches algorithmiques continues de descente qui sont efficaces en g´en´eral mˆeme pour les probl`emes de grande taille, de plus il faut que l’on garde cette relaxation continue obtenue grˆace `a l’homog´en´eisation afin de toujours b´en´eficier des justifications rigoureuses de ce concept math´ematique puissant.

3.3. M´ethodes d’Optimisation Topologique 75 [0,1], augmenter le degr´e n du polynˆome g_n permettrait de r´epartir les valeurs de la densit´e entre les valeurs “0” et “1” ; c’est-`a-dire que cela favoriserait l’obtention de solutions binaires : c’est pourquoi l’exposant n est appel´e facteur ou degr´e de p´enalisation. Ce param`etre nous donne ainsi une sorte de contrˆole sur l’apparition de densit´es interm´ediaires donc de mat´eriaux composites dans la topologie opti-male (voir une illustration sur la Figure 3.6). C’est alors que l’approche a ´et´e par la suite d´esign´ee par l’acronyme SIMP par Rozvany en 1992 [53] qui donna la signi-fication Solide Isotropic Microstructure with Penalization (for intermediate den-sities). Par la suite Bendsøe donna la d´efinition suivante Solid Isotropic Material with Penalization (for intermediate densities). Cette derni`ere d´efinition est la plus utilis´ee dans la litt´erature car cela correspond en fait `a l’id´ee originale de l’au-teur [134,52] et c’est celle que l’on retiendra dans ce manuscrit. En effet, le mod`ele SIMP a pris forme suite aux difficult´es rencontr´ees lors de l’impl´ementation num´ e-rique de l’approche initiale d’homog´en´eisation pour le design optimal [130]. Bend-søe et Kikuchi furent parmi les pionniers `a mettre en pratique l’homog´en´eisation pour l’optimisation topologique num´erique. Le principe de la m´ethode consiste `a travailler avec l’´echelle macroscopique obtenue apr`es homog´en´eisation. Puis sur un maillage fixe (typiquement des ´el´ements finis) doit ˆetre d´etermin´ee la distribution optimale de mat´eriaux isotrope dans chaque cellule du domaine discret `a travers la valeur densit´eρ. A ce stade, introduire des consid´erations microscopiques des struc-tures cellulaires du milieu rendrait le probl`eme beaucoup plus complexe voire mˆeme impossible `a r´esoudre (surtout num´eriquement) car il n’y aurait plus d’harmonie, ni de continuit´e, ni de lin´earit´e du milieu. De plus il faudrait consid´erer l’orienta-tion et la forme g´eom´etrique de chaque micro-phase (ce qui implique naturellement l’ajout de nouvelles variables dans le probl`eme) [131, 132, 81, 144, 145, 147]. Du coup, on revient sur les difficult´es r´esolues avec l’application de la m´ethode d’ho-mog´en´eisation (ce qui serait dommage).

C’est pourquoi ce mod`ele est connu comme ´etant une variante de la m´ethode d’homog´en´eisation, que l’on peut r´esumer comme suit :

SIMP←Homog´en´eisation+P´enalisation des composites.

De plus, le sch´ema d’interpolation classiquef_n^cutilis´e pour contraindre les densit´es ρ`a prendre des valeurs discr`etes “0-1” (dans chaque cellule du maillage du domaine de conception `a topologie variable Ω_v) d´erive aussi de la combinaison lin´eaire¹¹par relaxation du couple {p_min,p_max}au segment [p_min,p_max] := [θp_min+ (1−θ)p_max: 0≤θ ≤1] (interpolation couramment utilis´ee en analyse convexe).

Au d´ebut des ann´ees 80, le mod`ele SIMP ´etait peu appr´eci´e car il ne pr´esentait pas de justification rigoureuse quant `a l’interpr´etation des densit´es interm´ediaires pr´esentes dans la structure optimale obtenue. C’est alors que ce mod`ele fut consi-d´er´e comme une m´ethode dite de mat´eriaux fictifs/artificiels ; de plus les r´esultats obtenus d´ependaient fortement du maillage utilis´e [132, 148]. R´ecemment des tra-vaux ont montr´e la possible ´elaboration de structure composite correspondant aux

11. C’est le cas lorsque n=1 dans la formulation (3.22),

p=g_n(ρ) =p_min+ (p_max−p_min)ρ, ∀ρ∈[0,1].

Figure 3.6 – SIM classique not´e par g_c,n(ρ) = ν_r(ρ) = ν_min+ (ν_max−ν_max)ρⁿ, avec ν_r la r´eluctivit´e relative,ν_min = 1/1000 et ν_max = 1.

valeurs de ρ dans ]0,1[. En g´en´eral, cela d´epend du domaine d’application et des propri´et´es effectives des mat´eriaux de conception. Par exemple dans [52] sur le probl`eme d’optimisation topologique de m´ecanique, Bendsøe et Sigmund utilisent le concept des bornes variationnelles sur les propri´et´es effectives des composites de Hashin et Shtrikman, et proposent des conditions et des solutions pour la faisabi-lit´e des topologies optimales contenant des valeurs interm´ediaires ; Ces conditions regroupent le facteur de p´enalisation n et le ratio de Poisson ν⁰ dans les in´egalit´es constitutives suivantes :

n≥max ₂

1−ν⁰,_1+ν⁴₀

en dimension 2, n≥max

15(1−ν⁰)

7−5ν⁰ ,₂₍₁³⁽¹₋⁻_2ν^ν0₀⁾₎

en dimension 3.

(3.23)

La Figure 3.7(de [52]) montre des conceptions de microstructures obtenues grˆace

`

a l’interpr´etation des densit´es interm´ediaires issues d’un algorithme d’optimisation utilisant la m´ethode SIMP, pour plus d´etails voir les documents [134,52].

De nos jours la m´ethode SIMP est la plus utilis´ee pour l’optimisation topo-logique `a cause de sa simplicit´e d’impl´ementation et de sa facilit´e de couplage avec d’autres proc´edures ou techniques d’optimisation num´erique. De plus, elle est destin´ee par essence `a l’obtention de solutions plus proches d’un design discret usinable. C’est ce qui explique l’engouement des chercheurs et des industriels pour cette m´ethode. De nombreux logiciels commerciaux d’optimisation topologique uti-lisent aussi cette approche de densit´e de mat´eriaux suivie de p´enalisation (tels que : OPTISTRUCT, ALTAIR, TOPOPT, TOSCA, . . . ). C’est cette approche que nous avons aussi choisie pour r´esoudre notre probl`eme de conception de circuits magn´ e-tiques pour propulseurs ´electriques. Contrairement `a certaines applications o`u les mat´eriaux composites sont accept´es, notre application en ´electromagn´etisme n’au-torise pas de telles structures.