Conception d’une Pi` ece Polaire pour PEH

Dans cet exemple de probl`eme d’´electromagn´etisme, le but est de concevoir un circuit magn´etique optimal capable de g´en´erer dans la zone de mesure Ω_T un profil de cartographie de champ magn´etique B₀ de composante B₀y nulle et dont la composante B₀xest fix´ee et repr´esent´ee sur la la Figure 3.17(b). Le domaine de conception ´etudi´e est donn´e sur la Figure 3.17(a).

Dans ce probl`eme, le param`etre de conception est la perm´eabilit´e, les valeurs de courant et d’aimant restent identiques `a celles donn´ees dans la section3.8.2. Le volumeV<sub>0</sub> est fix´e `a 40% du volume de Ω_v. Ω_v est discr´etis´e en 20×16 mailles (soit N = 320 variable de conception). On utilise un point de d´epartρ⁰ = (0.1, . . . ,0.1), c’est-`a-dire que la densit´e 0.1 est uniform´ement r´epartie dans chaque cellule de Ω<sub>v</sub> discr´etis´e. Le degr´e de p´enalisation est fix´e `an = 5 pour chaque SIM utilis´e. Dans le tableau 3.8.3, la quantit´e f val d´esigne la valeur de la fonction objectif apr`es l’´elimination de toutes les densit´es composites dans le design topologique optimal trouv´e (c’est-`a-dire la valeur du coˆut pour la solution binaire r´esultante).

En plus du benchmarking effectu´e dans la sous-section 3.8.2, nous avons ob-tenu sur l’application num´erique pour le design de la pi`ece polaire des r´esultats confirmant ceux de cette section. De surcroˆıt, le sch´ema uniforme pr´esente des r´ e-sultats meilleurs par rapport `a ceux obtenus avec les autres sch´emas, voirf₅^u dans le Tableau 3.8.3. Sur cet exemple num´erique, on montre que lorsqu’il y a peu de densit´es interm´ediaires dans la solution continue, apr`es la phase de post-process la solution binaire reste tr`es proche de la solution continue. Dans le cas contraire, le design continu et le design discret sont tr`es diff´erents. Voir les Figures3.19 et3.18.

(a) Domaine de Conception

xx

(b) profil deB₀xdans la zone de mesure Ω_T.

Figure 3.17 – Probl`eme de conception d’une pi`ece polaire pour PEH.

SIM f opt τ f val Temps-CPU (min) f₅^c 4.01e-4 236 3.63e-3 45

f₅^u 4.97e-4 48 4.60e-4 150 f₅^g 8.84e-4 227 5.42e-3 54 f₅^ag 4.79e-4 118 4.28e-4 126

Table 3.2 – Les r´esultats num´eriques du probl`eme de conception de la pi`ece avec ATOP^TO suivant les quatre SIMs propos´es.

Remarques 3.3 (R´ealisation concr`ete des designs optimaux obtenus)

Les solutions optimales des Figures 3.13(b) et 3.13(c) pr´esentent des topologies

´

equivalentes aux blocs de mat´eriaux ferromagn´etiques s´epar´es. De mˆeme les solu-tions donn´ees sur les Figures 3.18(b) et 3.19(b) poss`edent aussi des cellules ferro-magn´etiques d´etach´ees. Ces solutions topologiques optimales sont difficiles `a r´ ea-liser directement (en g´en´eral). En effet, il faudrait trouver un moyen pour relier ces paries de mat´eriaux ferromagn´etiques d´econnect´ees ou les enlev´e lorsque les cellules correspondant ne sont pas majoritaires (group´ees, voir par exemple les Fi-gures 3.18(b) et 3.19(b)). Il faut aussi noter que ces exemples d’application sont plus th´eoriques, typiquement pour des illustrations d’ordre acad´emique. Cependant, dans le chapitres 5 des d´etails sont donn´es sur les possibilit´es d’´elaborations des designs optimaux en terme de leur r´ealisation concr`ete pour les configuration des pi`eces polaires d’un PEH.

3.9. Conclusion 99

Figure 3.18 – R´esultats num´eriques avec avec le SIM Classique.

−0.5 −0.45 −0.4 −0.35 −0.3 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1

Figure 3.19 – R´esultats num´eriques avec le SIM Uniforme.

0 100 200 300 400

(a) La carte des densit´es composites avec le SIM Classique.

(b) La carte des densit´es composites avec le SIM Uniforme.

Figure 3.20 – Comparaison de la distribution des densit´es composites dans la solution continue.

3.9 Conclusion

Au cours de ces ´etudes, nous avons explor´e les diff´erentes m´ethodes d’optimisa-tion topologique `a savoir la m´ethode du gradient topologique, la m´ethode des lignes de niveaux, la m´ethode d’homog´en´eisation et enfin la m´ethode SIMP. Notre choix s’est focalis´e sur cette derni`ere m´ethode pour la r´esolution num´erique de probl`eme

de conception d’un circuit magn´etique pour PEH. Nous avons expliqu´e en d´etails la nomenclature et le principe de fonctionnement du solveur d’optimisation topo-logique sp´ecifiquement d´evelopp´eATOP^TO. Ce programme se caract´erise entre autre par une bonne convergence au cours du processus d’optimisation (en comparant l’utilisation de SIMs classiques `a celle de SIM g´en´erais´es) et nous avons pu obtenir des topologies de circuit magn´etiques tout `a fait r´ealisables (c’est-`a-dire des proche de celle binaire).

Cependant nous avons pu constater que les designs r´esultants du processus d’optimisation d´ependaient fortement du point de d´epart. En effet, afin d’att´enuer cette d´ependance, il peut ˆetre int´eressant d’appliquer des techniques d’optimisation globales. Mais, au vu de la taille de ces probl`emes de conception optimale il est

´

evident qu’avec les m´ethodes globales habituelles la r´esolution sera difficile (surtout

`

a cause du Temps-CPU). Donc, il faudra d´evelopper des heuristiques afin de pouvoir d´eterminer des solutions globales pour ces probl`emes (lorsqu’elles existent).

Chapitre 4

Algorithme de B&B pour

l’Optimisation Topologique de PEHs

101

4.1 Introduction

Dans les proc´edures de conception optimale des structures m´ecaniques comme

´

electromagn´etiques, en g´en´erale l’int´erˆet se porte sur la solution exacte du pro-bl`eme. Dans le cas de la conception optimale des circuits magn´etiques pour PEHs, des maillages fins sont n´ecessaires. Cela implique naturellement la r´esolution de probl`emes d’optimisation de grande taille ce qui devient probl´ematique lorsque l’on envisage le d´eveloppement de m´ethodes notamment d´eterministes d’optimi-sation globale. En effet, les approches globales habituelles restent difficiles voire impossibles `a appliquer sur des probl`emes de grande taille de part la complexit´e exponentielle du probl`eme d’optimisation dans le cas g´en´eral. De plus, dans notre cas, la recherche de solutions globales est encore plus compliqu´ee car nous avons

`

a r´esoudre des probl`emes inverses d’´electromagn´etisme qui sont mal-pos´es comme nous l’avons soulign´e dans les chapitres pr´ec´edents. N´eanmoins, nous pr´esenterons dans ce chapitre un programme d’optimisation globale bas´e sur un algorithme par s´eparations et ´evaluations progressives de typeBranch and Bound(B&B) int´egrant des techniques de calculs des bornes en utilisant l’arithm´etique des intervalles.

4.2 M´ ethodes Globales pour l’Optimisation