2.5 Description et Mise en Place de Mod` eles de Simulations
2.5.6 Interpr´ etation Physique du Mod` ele Adjoint
a λ donne le syst`eme primal dont le potentielA est solution.
3. Calcul du gradient topologique : Pour tout couple (p, A) tel que p ∈ Dadm
etA le potentiel vecteur associ´e, on a : L(p, A, λ) =F(p)∀λ,=⇒ ∂L
∂p(p, A, λ) =F(p). (2.64) De l’ind´ependance des variables p, A et λ, dans la d´efinition de L, et du fait que les fonctionnelles d´efinissant les champs magn´etiques, les propri´et´es des mat´eriaux et les sources soient born´ees, alors en utilisant les propri´et´e de d´erivation sous le signe int´egrale, on trouve :
∂L En comparant les ´equations (2.64) et (2.65), le r´esultat de la Proposition2.1 sur le calcul de la sensibilit´e du probl`eme s’ensuit.
Remarque 2.5 (sur le calcul de la sensibilit´e)
— Dans la formulation du Lagrangien L, on peut int´egrer la condition de Di-richlet homog`ene A|∂Ω en ajoutant le terme
∂ΩλAd∂Ω. Dans ce cas, on obtient le mˆeme r´esultat, seulement il y a plus de calculs suppl´ementaires `a faire, voir par exemple [81].
— Il est possible aussi d’obtenir des r´esultats similaires avec des conditions aux limites de type Neumann, ou mixte. En g´en´erale, on obtient les mˆemes types de conditions pour les deux ´etats primal et adjoint, voir [75, 77].
2.5.6 Interpr´ etation Physique du Mod` ele Adjoint
En toute g´en´eralit´e, l’´etat adjoint n’a pas de sens physique concret. Ce syst`eme est per¸cu comme un moyen permettant de calculer la sensibilit´e. En ce qui concerne notre mod`ele magn´etostatique, le mod`ele adjoint correspondant ainsi trouv´e n’est pas vide de sens. En effet, en comparant les ´equations (2.47) et (2.54), il apparait que, l’´etat adjoint (2.54) est aussi de type«maxwellerien»(c’est-`a-dire une ´ equa-tion de type d’´electromagn´etisme de Maxwell, notamment similaire `a l’equation
2.6. Conclusion 59
Figure 2.11 – (`a gauche) la distribution de mat´eriaux et de sources magn´etiques pour le domaine primal o`u le potentiel vecteurAest calcul´e ; (`a droite) le domaine d´edi´e au mod`ele adjoint obtenu, o`u le pseudo-potentiel vecteur λ est calcul´e.
de Maxwell (2.45)). Ce nouveau probl`eme magn´etostatique a les mˆemes propri´et´es magn´etiques au niveau des mat´eriaux que le probl`eme initial. Par contre, ils n’ont aucune source magn´etique en commun. La distribution de sources du syst`eme ad-joint est la quantit´eMa1ΩT donn´e dans l’´equation (2.54) et analogue `a des aimants permanents qui mesure l’´ecart entre les champs magn´etiques calcul´es B et celui impos´e B0. Ainsi les modules B(λ) des champs magn´etiques adjoints servent d’indicateur de bonne convergence vers une meilleure approximation de B0 au cours du processus d’optimisation. De plus, Ma1ΩT se comporte en aimant perma-nent plac´e dans la region cible ΩT. Une illustration est donn´ee dans la Figure 2.11 comparant les domaines d’´etude primal et adjoint.
2.6 Conclusion
Nous avons rappel´e les notions essentielles de l’optimisation math´ematique et les op´erateurs diff´erentiels n´ecessaires `a l’´elaboration d’un mod`ele magn´ etosta-tique de design de circuits magn´etiques. Pour la conception optimale structurale, il existe principalement 3 classes de m´ethodes qui sont l’optimisation de dimensionne-ment, l’optimisation de forme g´eom´etrique et l’optimisation topologique. Nous nous sommes focalis´es sur l’optimisation topologique pour trouver des solutions `a notre probl`eme inverse de conception car elle est beaucoup plus g´en´erale et elle permet l’obtention de formes complexes et vari´ees sans aucun a priori restrictif explicite ou implicite. Les simulations num´eriques des PEHs sont assez complexes, et peuvent se faire selon deux niveaux principaux `a savoir : la configuration architecturale globale du circuit magn´etique et l’analyse du comportement des plasmas dans le canal plasma du moteur. Chacune de ces simulations en 3D demande des temps de r´esolutions relativement ´elev´es. Ainsi, il est important de s’appuyer sur des mod`eles r´eduits typiquement en 2D, afin d’effectuer des simulations en temps raisonnable.
La mise en place des mod`eles r´eduits fait appel `a des hypoth`eses simplificatrices qui rendent possible la validation des probl`emes r´eduits pour la r´ealisation concr`ete du PEH. Avec la donn´ee d’un champ requiertB0 associ´e `a une topographie au sein du canal plasma et `a ses environs formant une zone cible ΩT, nous avons propos´e une formulation de ce probl`eme de conception du circuit magn´etostatique capable de g´en´erer un tel champ magn´etique. Cette formulation (℘) a un crit`ere de type moindres carr´es qui est d´edi´e `a la r´esolution de probl`emes inverses notamment de conception par l’optimisation topologique. Par la suite, les calculs du gradient to-pologique ont ´et´e faits avec une MVA. Le gradient analytique calcul´e est tr`es utile dans l’utilisation d’algorithmes de descente au cours du processus d’optimisation.
L’impl´ementation num´erique du mod`ele d’optimisation (℘), passe par une nou-velle formulation associ´ee `a une discr´etisation (en ´el´ements finis), ensuite des ap-proches de densit´e de mat´eriaux seront utilis´ees dans le domaine de conception pour d´eterminer les distributions de sources et mat´eriaux sur un maillage du do-maine `a topologie variable Ωv. Le chapitre suivant fera l’object de plus d´etails sur cette approche de densit´e de mat´eriaux couramment connu sous le nom de mod`ele SIMP propos´e par Bendsøe [51, 52].
Chapitre 3
R´ esolution Num´ erique du Probl` eme de Conception
Topologique par la M´ ethode de Densit´ e de Mat´ eriaux
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3.1 Introduction
Apr`es avoir propos´e le mod`ele th´eorique continu pour la r´esolution de pro-bl`emes inverses de conception de circuits magn´etiques pour PEHs dans le chapitre 2, dans ce chapitre, nous allons pr´esenter les principales m´ethodes d’optimisation