4.6 Design d’un Circuit Magn´ etique El´ ementaire
4.6.3 Application du Programme ATOP BBA->TO pour le Design Opti-
Nous nous proposons maintenant de tester la technique d’hybridation pr´esent´ee dans l’Algorithme 3 et illustr´ee sur la Figure 4.2 sur le mˆeme circuit magn´etique.
4.7. Conclusion 119
LB
Cas Cas 1 Cas 2 Cas 3 Cas 4
Iters T-CPU Iters T-CPU Iters T-CPU Iters T-CPU
LB1 1010 392 167 56 432 175 125 45
LB2 298 123 122 45 298 120 99 39
Gain (%) 70.5 58.7 26.9 19.6 31.0 31.4 20.8 13.3 Table 4.2 – Etudes comparatives entre bornes inf´erieures LB1 et LB2. Compte tenu des r´esultats pr´ec´edents, nous avons opt´e pour la borne inf´erieure LB2. Les r´esultats num´eriques de cet exemple d’application sont pr´esent´es sur la Figure 4.7.
L’utilisation de la contrainte de volume n’est pas toujours possible imm´ ediate-ment car il faudrait l’adapter au maillage grossier (pour le probl`eme r´eduit (P’), voir la Figure 4.2). En effet, cette contrainte est donn´ee pour le probl`eme de de-sign initial (P). Selon le type de maillage grossier choisi pour le second probl`eme de design (P’), on pourra si n´ecessaire faire quelques calculs suppl´ementaires afin d’´etablir la contrainte de volume correspondante pour (P’) et l’int´egrer dans le module de r´esolution de ATOPBBA. Le cas ´ech´eant cela ne constitue pas en soi une difficult´e pr´eoccupante car notre programme d’optimisation topologique globale peut converger sans la prise de cette contrainte de volume (en g´en´eral cela im-plique plus d’it´erations, voir la Section 4.6.2).
Finalement pour valider l’efficacit´e de notre technique d’hybridation, nous l’ap-pliquons sur un probl`eme de conception `a 40 variables pour lesquelles la solution globale est connue, voir [76] pour une description pr´ecise de ce probl`eme. Nous uti-lisons comme point de d´epart la solution optimale globale obtenue avecATOPBBA sur un probl`eme r´eduit (P’) `a 8 variables (voir la Figure 4.7(b)) et sans contrainte de volume. La solution obtenue en4.7(c)est convertie en un design initial4.7(d)pour ATOPTO, la solution globale en4.7(e) est obtenue grˆace au code hybrideATOPBBA->TO. La solution concr`ete pour le design de ce circuit magn´etique est illustr´ee sur la Figure 4.8.
4.7 Conclusion
Grˆace `a l’arithm´etique d’intervalles, nous avons effectu´e des calculs de bornes pour notre fonction coˆut. Ces bornes utilis´ees dans un code de type B&B plus pr´ecis´ement, le solveur d’optimisation globale d´eterministe IBBA, nous a permis d’´elaborer un code d’optimisation topologique ATOPBBA capable de r´esoudre globa-lement le mod`ele binaire de notre probl`eme de conception. Cela nous ´evite l’´etape de p´enalisation qui est normale en utilisant des approches continues bas´ee sur les m´ethodes d’optimisation de type gradient. Cependant ATOPBBA reste efficace uni-quement pour des probl`emes de la classe SSP. Afin d’exploiter ce code dans la r´esolution des probl`emes LSP, une technique d’hybridation ATOPBBA->TO a ´et´e mise
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
(a) Probl`eme initial : 40 variables
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
(b) Probl`eme r´eduit : 8 variables
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
(c) Solution avec ATOPBBA : Iters=98, CPU=20 min.
(e) Solution globale avec ATOPTO : Iters=57, CPU=22 min.
(f) La distribution du flux magn´etique dans le domaine de conception.
Figure 4.7 – Application de l’approche heuristique hybride ATOPBBA->TO.
Figure 4.8 – La r´ealisation 3D du circuit optimale correspondant `a la solution (en 2D) obtenue avec ATOPBBA->TO.
4.7. Conclusion 121 en place ; celle-ci consiste `a utiliser successivement les deux codesATOPBBAetATOPTO. Cette combinaison a ´et´e appliqu´e avec succ`es sur un vrai probl`eme de conception optimale de circuit magn´etique ´el´ementaire ´etudi´e dans [76].
Chapitre 5
Minimisation de la densit´ e de courant avec ATOP TO
123
5.1 Introduction
Dans ce chapitre, un nouveau crit`ere li´e `a la minimisation de la densit´e de cou-rant qui alimente les ´electro-aimants va ˆetre consid´er´e. La minimisation des densit´e de courant implique la minimisation de la puissance ´electrique consomm´ee par les propulseurs ´electriques). Ainsi, cette optimisation est fondamentale pour notre ap-plication de design de circuits magn´etiques de propulseurs plasmiques (PEHs). En effet, le plus souvent au cours de leur fonctionnement la mise en veille de la sonde ou de la navette spatiale est due `a un manque de ressource d’´energie ´electrique. Le plus souvent, les engins spatiaux sont ´equip´es de panneaux solaires larges et ou ro-tatifs (en fonction de la position des rayons solaire qui doivent charger leurs cellules photovolta¨ıques). `A force d’adapter ces panneaux au besoin de la navette en terme de sa consommation en puissance ´electrique, on se voit augment les charges de la mission spatiale. D’ou l’int´erˆet de consid´er´e de tel crit`ere d’optimisation pouvant r´eduire la consommation d’´energie de l’engin consid´er´e. Pour ce nouveau probl`eme, le codeATOPTO est utilis´e avec le SIM uniformefnu propos´e dans le Chapitre 3pour la r´esolution num´erique. Pour ce probl`eme de design associant des sources et des mat´eriaux, le probl`eme d’optimisation obtenu est mixte (variables continues et dis-cr`etes). Cependant, des techniques de relaxation identiques `a celles appliqu´ees aux formulations (℘) et (℘ρ) pr´ec´edemment ´etudi´ees seront utilis´ees. N´eanmoins, les densit´es de courant dans les bobines seront param´etr´es avec un SIM lin´eaire (ou sans ´etape de p´enalisation) car celles-ci sont d´ej`a des variables continues et n’ont donc pas besoin d’ˆetre relax´ees. Par cons´equent, ce mod`ele sera dit Mixed-SIMP (M-SIMP).