Mod` eles de g´ en´ eration de microstructures biphas´ ees pour les

D’autres mod`eles de g´en´eration de microstructures sont utilis´es dans cette ´etude afin d’´etu- dier des ´eventuels effets de morphologie « extrˆeme » sur le comportement en fluage. Deux mod`eles classiques, de sph`eres bool´eennes et de polycristaux biphas´es sont pr´esent´es dans ce paragraphe. Deux autres mod`eles, bas´es comme le mod`ele repr´esentatif de la morphologie du M5® et des polycristaux biphas´es, sur les poly`edres de Vorono¨ı ont ´egalement ´et´e utilis´es.

174 4. Simulation du comportement du mat´eriau biphas´e

Figure 4.4 – Exemple de maillages mod´elisant la microstructure biphas´ee du M5® `a partir d’une mˆeme tesselation de Vorono¨ı (ng=1) et cinq valeurs du crit`ere de seuillage, s. Nota :

les artefacts observ´es au voisinage des interfaces sont associ´es `a la visualisation, sous Cast3M, sous forme continue, de champs discontinus

Pour tous les mod`eles de microstructure, la premi`ere ´etape consiste en la g´en´eration de germes par un processus ponctuel de Poisson. Leur nombre est suppos´e identique au nombre de germes moyen ng utilis´e dans le mod`ele de microstruture biphas´ees du M5® (´equation 4.2). Mis

`

a part pour le mod`ele des polycristaux biphas´e de Vorono¨ı, la seule ´etape al´eatoire des mod`eles de microstructures est ce processus ponctuel de Poisson, comme expliqu´e pr´ec´edemment.

Une contrainte de p´eriodicit´e aux fronti`eres du volume cubique peut simplement ˆetre ra- jout´ee `a ce mod`ele de microstructure en rendant p´eriodique le processus ponctuel de Poisson `a l’origine des centres des sph`eres.

Un mailllage cubique analogue est utilis´e et les diff´erents points de Gauss sont associ´es `

a l’une ou l’autre des phases et leur comportement respectif en fonction des mod`eles d´ecrits ci-dessous :

1. Mod`ele des polycristaux biphas´es de Vorono¨ı :

Ce mod`ele de microstructures a notamment ´et´e utilis´e par Kanit (2003), Kanit et al. (2003), Madi et al. (2005, 2006). Il s’agit d’un appauvrissement du mod`ele polycristallin bas´e sur les poly`edres de Vorono¨ı. Dans le cadre polycristallin, chaque grain poly´edrique poss`ede une orientation cristalline, distribu´ee al´eatoirement en fonction de la texture

4.1. Approche num´erique en fluage par VES 175 moyenne. Dans ce cas, il y a autant de phases que d’orientations cristallines consid´er´ees. Ici, pour les polycristaux biphas´es, seules deux phases existent et le tirage de l’appar- tenance de chaque grain `a l’une ou l’autre des phases se fait al´eatoirement avec une probabilit´e ´egale `a la fraction volumique vis´ee.

Le caract`ere al´eatoire du mod`ele r´eside donc dans le processus ponctuel de Poisson pour la construction des poly`eres de Vorono¨ı mais aussi dans l’attribution de la phase aux diff´erents grains.

La figure 4.5 pr´esente un exemple de microstructure obtenue `a partir d’une tesselation de Vorono¨ı d’environ 125 germes pour une fraction volumique vis´ee de phase β de 30%. Guering (1985) a propos´e pour ce mod`ele un seuil de percolation de 18,5% pour la phase β. Par sym´etrie, on en d´eduit un seuil de perte de percolation de la phase α `a 82,5% de phase β. Dans l’exemple de la figure 4.5, la structure est bi-percol´ee.

Figure 4.5 – Exemple de maillage mod´elisant la microstructure d’un polycristal biphas´e (`a droite, fvβvis´ee = 30%) `a partir d’une tesselation de Vorono¨ı (`a gauche, ng = 125)

2. Mod`ele des sph`eres bool´eennes :

Ce mod`ele de microstructures est bas´e sur des sph`eres de diam`etre donn´e identique d1

dont les centres sont g´en´er´es par un processus ponctuel de Poisson. L’union des sph`eres est constitu´ee de phase β, le compl´ementaire de phase α. D’apr`es Matheron (1975), pour une microstructure de cˆot´e L, contenant ng sph`eres de diam`etre d1, la fraction volumique

moyenne est donn´ee par (´equation 4.6) : fvβ = 1 − exp  −ng π 6 d13 L3  (4.6) La fraction volumique moyenne est donc donn´ee, pour un nombre ng de sph`eres, en fixant

leur diam`etre.

La figure 4.6 pr´esente un exemple de microstructure obtenue `a partir d’environ 125 sph`eres bool´eennes pour une fraction volumique vis´ee de phase β de 30% (d1 ≈ 0, 176Lg). Jeulin et

176 4. Simulation du comportement du mat´eriau biphas´e Moreaud (2005) ont ´evalu´e num´eriquement le seuil de percolation du mod`ele de sph`eres bool´eennes `a 28,95%. Les auteurs proposent ´egalement la valeur de 94,6% de phase β comme seuil de perte de percolation de la phase α. La microstructure sur la figure 4.6 est bi-percol´ee, en accord avec ces seuils.

Figure 4.6 – Exemple de maillage mod´elisant la microstructure biphas´ee de sph`eres boo- l´eennes (fvβvis´ee= 30%) `a partir de 125 germes en moyenne

3. Mod`ele des arˆetes de Vorono¨ı :

Ce mod`ele de microstructure se base sur les arˆetes des poly`edres de Vorono¨ı. La micro- structure biphas´ee obtenue est constitu´ee par un squelette de cylindres de phase β de diam`etre d2 port´es par les arˆetes des poly`edres de Vorono¨ı (figure 4.8 et 4.7). Elle est

obtenue par seuillage d’un champ de distance aux arˆetes.

La fraction volumique moyenne est obtenue, pour une valeur Lg donn´ee, en fixant le dia-

m`etre d2 des cylindres (crit`ere de seuillage du champ distance). La d´etermination est faite

sur la base d’un grand nombre de simulations num´eriques. Par exemple, pour une fraction vis´ee de phase β de 30%, on obtient d2 ≈ 0, 175Lg.

Comme les arˆetes des poly`edres forment un r´eseau interconnect´e, la percolation de la phase β est effective d`es les premiers pourcents de phase. Le seuil de perte de percolation de la phase α est ´evalu´e entre 60 et 70% de phase β.

4.1. Approche num´erique en fluage par VES 177

Figure 4.7 – Exemple de microstructures biphas´ees obtenues `a partir d’environ 100 poly- `

edres de Vorono¨ı et les mod`eles des arˆetes (`a gauche) et des facettes (`a droite) de Vorono¨ı (Arns et al. (2002))

Figure 4.8 – Exemple de maillage mod´elisant la microstructure biphas´ee (`a droite, fvβvis´ee = 30% pour d2 ≈ 0, 175Lg) obtenue par seuillage du champ distance (au milieu)

par rapport aux arˆetes des poly`edres de Vorono¨ı (`a gauche, ng=1)

4. Mod`ele des facettes de Vorono¨ı :

Le mod`ele de microstructure des facettes de Vorono¨ı est ´egalement bas´e sur une tesselation de Vorono¨ı. La microstructure biphas´ee est constitu´ee de volumes de phase β d´elimit´es par des plans parall`eles aux facettes des poly`edres de Vorono¨ı et d’´epaisseur d3/2, centr´es

sur les dites facettes (figure 4.7 et 4.9). Elle est obtenue par seuillage d’un champ de distance aux facettes.

L’´epaisseur des facettes d3 est d´etermin´ee, en fonction de la fraction volumique moyenne

vis´ee, sur la base d’un grand nombre de simulations num´eriques, pour une valeur Lg don-

178 4. Simulation du comportement du mat´eriau biphas´e

Figure 4.9 – Exemple de maillage mod´elisant la microstructure biphas´ee (`a droite, fvβ ≈

30% pour d3 ≈ 0, 12Lg) obtenue par seuillage du champ distance (au milieu) par rapport

aux facettes des poly`edres de Vorono¨ı (`a gauche, ng=1)

De mˆeme que pour les arˆetes de Vorono¨ı, les facettes sont interconnect´ees, la phase β est percol´ee d`es les premiers pourcents de phase. Par contre, et contrairement aux autres mod`eles de microstructures biphas´ees, la phase α ne percole donc pour aucune fraction volumique.